Помните мою прошлую схему рассуждений при анализе ряда на сходимость? Пришло время добавки!
Изучение высшей математики начинается с первичных понятий, закладываемых в фундамент дальнейшего курса. Одним из таких ключевых моментов является понятие предела функции в точке.
Многие студенты, сталкиваясь с пределами функций, впервые ощущают настоящую сложность математики. В школе всё было понятно: формулы, алгоритмы, шаблонные задачи. Тут же - абстракции, всякие эпсилоны и дельты, рассуждения про бесконечно малые... Кажется, будто требуется мыслить как-то иначе, но как именно - никто не объясняет.
Впрочем, спешу обрадовать: правильная организация процесса изучения помогает навести ясность.
В этой связи речь пойдёт о схеме рассуждений, помогающей эффективно находить предел функции в точке. Этот инструмент позволит лучше структурировать ваши мысли и повысить уверенность в решении задач.
Конечно, она не заменит вашего личного умения критически мыслить и понимания темы, но поможет чётко понять, как начать своё рассуждение. Схема в особенности пригодится тем, кто сталкивается со страхом чистого листа. Даже если схема не поможет вам получить ответ, лист уже точно не будет чистым - рассуждение начато.
Как вы мыслите при работе с пределами: по алгоритму или по интуиции?
#ёжик_решает
#пределы #матан
Изучение высшей математики начинается с первичных понятий, закладываемых в фундамент дальнейшего курса. Одним из таких ключевых моментов является понятие предела функции в точке.
Многие студенты, сталкиваясь с пределами функций, впервые ощущают настоящую сложность математики. В школе всё было понятно: формулы, алгоритмы, шаблонные задачи. Тут же - абстракции, всякие эпсилоны и дельты, рассуждения про бесконечно малые... Кажется, будто требуется мыслить как-то иначе, но как именно - никто не объясняет.
Впрочем, спешу обрадовать: правильная организация процесса изучения помогает навести ясность.
В этой связи речь пойдёт о схеме рассуждений, помогающей эффективно находить предел функции в точке. Этот инструмент позволит лучше структурировать ваши мысли и повысить уверенность в решении задач.
Конечно, она не заменит вашего личного умения критически мыслить и понимания темы, но поможет чётко понять, как начать своё рассуждение. Схема в особенности пригодится тем, кто сталкивается со страхом чистого листа. Даже если схема не поможет вам получить ответ, лист уже точно не будет чистым - рассуждение начато.
Как вы мыслите при работе с пределами: по алгоритму или по интуиции?
#ёжик_решает
#пределы #матан
Предлагаю подумать и обсудить интересные темы в области основ физики и ее математических основ, которые в учебниках обычно либо совсем не рассказываются, либо рассказывается ошибочно. Всё это связано с тем, чем математическая физика отличается от математики - если честно решать физические уравнения, как математик, чаще всего ничего хорошего не получится, будут физически бессмысленные решения. А чтобы были осмысленные - надо добавлять условия на решения, которые соответствуют физическому смыслу и эксперименту.
В конце своего рассказа упомяну в эту тему и недавние дебаты Савватеева с Панчиным, с описанием собственного численного эксперимента.
Известный физик-теоретик Цвелик (физикам, наверное, он больше всего известен своим крутым учебником по методам квантовой теории поля в физике конденсированного состояния) является православным верующим и обосновывает свои убеждения физикой. Самый главный его аргумент - аргумент от невозможности мира.
Суть вот в чем:
Для устойчивости и упорядоченности привычного нам макромира необходима тонкая настройка констант.
Подгон констант без разумного замысла можно объяснить через мультивселенную - но через нее нельзя объяснить устойчивость сложной материи, потому что она основана на решении УШ, в котором подгонять вообще нечего, тут имеет место быть невероятно сложный и элегантный замысел
Второй аргумент достаточно интересен. Дело в том, что из написанного на скриншоте уравнения устойчивость сложной материи не следует - более того, макроскопический предел этого уравнения (через теорему Эренфеста, например) дает абсолютную невозможность существования вещества, так как в макропределе это система точечных классических зарядов, к которой теорема Ирншоу применима. Устойчивость сложной материи вытекает не из этого уравнения, а из квантовой термодинамики и статфизики, которая основана на
1. Постулате о равновероятности всех микросостояний для одного макросостояния
2. Принципе неразличимости тождественных частиц
Первое ниоткуда не выводится и моделированием не получается совсем (ни в классике, ни к квантах - если хотите сделать модель вещества, которая похожа на реальное вещество, распределения энергий и импульсов придется руками в модель писать, сами они не получаются).
Второе, вообще говоря, противоречит уравнению Шредингера.
Иногда привлекают КТП, чтобы это противоречие объяснить, но 1) это ничего не объясняет 2) у КТП есть свое противоречие с этим принципом - если учесть, что частицы все эти были рождены в определенных реакциях конечное время назад и то, что "частица" - это асимптотический предел ВФ в такой реакции при t->inf, выходит, что никакой неразличимости частиц и вовсе быть не может.
Я помню, что в МФТИ на лекциях по общей физике объясняют распределение Максвелла и прочие штуки через центральную предельную теорему, показывают демонстрации типа падения гвоздиков и т.п. Но тут сразу возникают две проблемы
Обоснование подменяют другой задачей, это, короче говоря, не доказательство, а аналогия
Если на компьютере правильно всё промоделировать, распределения Максвелла совсем не получится в классической физике
Итак, у нас есть две основы устойчивости сложной материи и порядка в макромире - равновероятность микросостояний и принцип неразличимости частиц. Обе ниоткуда не выводятся из фундаментальных законов - более того, они им противоречат и накладываются лишь как внешнее условие в случаях, когда необходимо получить работающую модель.
Я бы предположил, что неразличимость частиц - что-то более фундаментальное, а равновероятность микросостояний как-то из нее выводится (но я не знаю как - интуитивно кажется, что за счет неразличимости частиц в эргодических системах как-то усреднение вероятностей микросостояний может происходить, но неизвестно, каким именно образом).
Далее термодинамическая стрела времени получается, если ко всему этому добавить еще квантовую редукцию волновой функции - макросистема постоянно измеряется, претерпевая за счет этого непрерывную неунитарную эволюцию, которая асимметрична относительно обращения времени.
Это всё гипотеза 1.
Предложу гипотезу 2.
В конце своего рассказа упомяну в эту тему и недавние дебаты Савватеева с Панчиным, с описанием собственного численного эксперимента.
Известный физик-теоретик Цвелик (физикам, наверное, он больше всего известен своим крутым учебником по методам квантовой теории поля в физике конденсированного состояния) является православным верующим и обосновывает свои убеждения физикой. Самый главный его аргумент - аргумент от невозможности мира.
Суть вот в чем:
Для устойчивости и упорядоченности привычного нам макромира необходима тонкая настройка констант.
Подгон констант без разумного замысла можно объяснить через мультивселенную - но через нее нельзя объяснить устойчивость сложной материи, потому что она основана на решении УШ, в котором подгонять вообще нечего, тут имеет место быть невероятно сложный и элегантный замысел
Второй аргумент достаточно интересен. Дело в том, что из написанного на скриншоте уравнения устойчивость сложной материи не следует - более того, макроскопический предел этого уравнения (через теорему Эренфеста, например) дает абсолютную невозможность существования вещества, так как в макропределе это система точечных классических зарядов, к которой теорема Ирншоу применима. Устойчивость сложной материи вытекает не из этого уравнения, а из квантовой термодинамики и статфизики, которая основана на
1. Постулате о равновероятности всех микросостояний для одного макросостояния
2. Принципе неразличимости тождественных частиц
Первое ниоткуда не выводится и моделированием не получается совсем (ни в классике, ни к квантах - если хотите сделать модель вещества, которая похожа на реальное вещество, распределения энергий и импульсов придется руками в модель писать, сами они не получаются).
Второе, вообще говоря, противоречит уравнению Шредингера.
Иногда привлекают КТП, чтобы это противоречие объяснить, но 1) это ничего не объясняет 2) у КТП есть свое противоречие с этим принципом - если учесть, что частицы все эти были рождены в определенных реакциях конечное время назад и то, что "частица" - это асимптотический предел ВФ в такой реакции при t->inf, выходит, что никакой неразличимости частиц и вовсе быть не может.
Я помню, что в МФТИ на лекциях по общей физике объясняют распределение Максвелла и прочие штуки через центральную предельную теорему, показывают демонстрации типа падения гвоздиков и т.п. Но тут сразу возникают две проблемы
Обоснование подменяют другой задачей, это, короче говоря, не доказательство, а аналогия
Если на компьютере правильно всё промоделировать, распределения Максвелла совсем не получится в классической физике
Итак, у нас есть две основы устойчивости сложной материи и порядка в макромире - равновероятность микросостояний и принцип неразличимости частиц. Обе ниоткуда не выводятся из фундаментальных законов - более того, они им противоречат и накладываются лишь как внешнее условие в случаях, когда необходимо получить работающую модель.
Я бы предположил, что неразличимость частиц - что-то более фундаментальное, а равновероятность микросостояний как-то из нее выводится (но я не знаю как - интуитивно кажется, что за счет неразличимости частиц в эргодических системах как-то усреднение вероятностей микросостояний может происходить, но неизвестно, каким именно образом).
Далее термодинамическая стрела времени получается, если ко всему этому добавить еще квантовую редукцию волновой функции - макросистема постоянно измеряется, претерпевая за счет этого непрерывную неунитарную эволюцию, которая асимметрична относительно обращения времени.
Это всё гипотеза 1.
Предложу гипотезу 2.
Предположим, что процесс получения макромира из микромира определяется наличием некого шума, истинно случайного процесса возмущения траекторий. На роль такого шума квантовые флуктуации вакуума, видимо, не годятся, а вот что-то в духе процесса множества актов объективной квантовой редукции волновой функции может быть. Для эргодических систем этот шум может вызывать случайные перескоки между перемешанными фазовыми траекториями и его достаточно, чтобы вызвать равновероятность состояний.
Отсюда принцип неразличимости квантовых частиц, может быть, вытекает уже не как фундаментальный принцип, а как некий ошибочный постулат, из которого получается правильная волновая функция, причина которой не в нем, а в усреднении вероятностей микросостояний макросистемы.
Ну и со стрелой времени тогда в гипотезе 2 вопрос решен автоматически, этот шум представляет из себя асимметричный относительно обращения времени процесс.
Что вы думаете по этому поводу?
По теме рекомендую, например книгу: Абаимов С.Г., Ахатов И.Ш., Белоусов Ю.М., Михеенков А.В., Полищук И.Я. Рост энтропии в аналитической и квантовой механике: Фундаментальные основы механики.
Я решил спросить LLM, после того, как написал. Gemini подтвердил мои рассуждения и дал им больше обоснований, но отдал предпочтение гипотезе 1. По его мнению, непонятно, как гипотеза 2 могла бы объяснить принцип Паули для электронов. Кроме того, он пишет, что гипотеза 2 противоречит, возможно, физике низких температур
"уравнение Шрёдингера для системы многих частиц должно быть дополнено постулатом о (анти)симметризации волновой функции по перестановке тождественных частиц. Само уравнение допускает любые решения, но физически реализуются только (анти)симметричные. Это требование накладывается извне, исходя из экспериментальных наблюдений"
Тут тонкий вопрос, я вот не думаю, что низкие температуры вообще являются препятствием для гипотезы 2. Но для проверки этого нужно моделирование.
Я прикрепил три скриншота с ответом от LLM - там здравые вещи в основном написаны. Но LLM может писать чушь.
Например, недавние дебаты Панчина и Савватеева, LLM дружно опровергают Савватеева, рассказывая, что в модели болота с кочками связность легко достижима из-за многомерности фазового пространства, но если запустить симуляцию (а я вчера честно провел численный эксперимент), то оказывается, что Савватеев полностью прав, а LLM дружно пишут одно и то же ошибочное утверждение.
Дело в том, что LLM не учитывают, что топология множtства строк принципиально отличается от топологии Rn.
Добавление - о роли выбора метрики и структуры фазового пространства.
Если пространство евклидово, то там при больших размерностях слишком быстро растет число соседей с ростом расстояния близости, так что даже при большом радиусе "близости к кочке" в эту окрестность будет попадать ничтожно малый объем болота. Из-за этого связности достичь очень легко и при условии крайне малого числа "ближайших соседей".
Например, если в 40-мерном пространстве Rn я беру четверть от максимального радиуса, то доля соседних будет 2^(-80) от всех, а практически все случайные кочки лежат где-то на поверхности гипершара.
В случае расстояния Левенштейна всё совсем не так.
Во-первых, случайно выбранные кочки могут бы где угодно.
Во-вторых, с ростом расстояния количество ближайших соседей растет по совсем другому закону. В 40-мерном пространстве на четверти от максимального расстояния соседей получилось около миллиарда из триллиона, а на половине от максимального расстояния их будет чуть больше половины триллиона, а не 2^(-40).
Пример рассуждения с евклидовой метрикой, которое не работает из-за этой особенности
Отсюда принцип неразличимости квантовых частиц, может быть, вытекает уже не как фундаментальный принцип, а как некий ошибочный постулат, из которого получается правильная волновая функция, причина которой не в нем, а в усреднении вероятностей микросостояний макросистемы.
Ну и со стрелой времени тогда в гипотезе 2 вопрос решен автоматически, этот шум представляет из себя асимметричный относительно обращения времени процесс.
Что вы думаете по этому поводу?
По теме рекомендую, например книгу: Абаимов С.Г., Ахатов И.Ш., Белоусов Ю.М., Михеенков А.В., Полищук И.Я. Рост энтропии в аналитической и квантовой механике: Фундаментальные основы механики.
Я решил спросить LLM, после того, как написал. Gemini подтвердил мои рассуждения и дал им больше обоснований, но отдал предпочтение гипотезе 1. По его мнению, непонятно, как гипотеза 2 могла бы объяснить принцип Паули для электронов. Кроме того, он пишет, что гипотеза 2 противоречит, возможно, физике низких температур
"уравнение Шрёдингера для системы многих частиц должно быть дополнено постулатом о (анти)симметризации волновой функции по перестановке тождественных частиц. Само уравнение допускает любые решения, но физически реализуются только (анти)симметричные. Это требование накладывается извне, исходя из экспериментальных наблюдений"
Тут тонкий вопрос, я вот не думаю, что низкие температуры вообще являются препятствием для гипотезы 2. Но для проверки этого нужно моделирование.
Я прикрепил три скриншота с ответом от LLM - там здравые вещи в основном написаны. Но LLM может писать чушь.
Например, недавние дебаты Панчина и Савватеева, LLM дружно опровергают Савватеева, рассказывая, что в модели болота с кочками связность легко достижима из-за многомерности фазового пространства, но если запустить симуляцию (а я вчера честно провел численный эксперимент), то оказывается, что Савватеев полностью прав, а LLM дружно пишут одно и то же ошибочное утверждение.
Дело в том, что LLM не учитывают, что топология множtства строк принципиально отличается от топологии Rn.
Добавление - о роли выбора метрики и структуры фазового пространства.
Если пространство евклидово, то там при больших размерностях слишком быстро растет число соседей с ростом расстояния близости, так что даже при большом радиусе "близости к кочке" в эту окрестность будет попадать ничтожно малый объем болота. Из-за этого связности достичь очень легко и при условии крайне малого числа "ближайших соседей".
Например, если в 40-мерном пространстве Rn я беру четверть от максимального радиуса, то доля соседних будет 2^(-80) от всех, а практически все случайные кочки лежат где-то на поверхности гипершара.
В случае расстояния Левенштейна всё совсем не так.
Во-первых, случайно выбранные кочки могут бы где угодно.
Во-вторых, с ростом расстояния количество ближайших соседей растет по совсем другому закону. В 40-мерном пространстве на четверти от максимального расстояния соседей получилось около миллиарда из триллиона, а на половине от максимального расстояния их будет чуть больше половины триллиона, а не 2^(-40).
Пример рассуждения с евклидовой метрикой, которое не работает из-за этой особенности
"
Если взять N-мерный шар радиуса 1 (фазовое пространство) и накидать в него M N-мерных шаров радиуса r «1 (кочки), то при M=(2r)^-N получится "парадокс пустоты". Касание - это попадание центра другого шара не дальше чем r+r. Мат ожидание касания двух шаров можно посчитать как отношение объёмов V(2r) / V(1) == (2r)^N, где V(x) это объём N мерного шара радиуса x. Если взять M=(2r)^-N, то у каждого шара будет в среднем по одному соседнему шару (кочки) которого он касается. Но в тоже время, отношение объёмов будет M * V(r) / V(1) = 2^-N. А поскольку, в данном контексте размерность N это длинна генома (очень большое число), то отсюда и получаются 2^-N → 0.
Если же взять M в 100 раз больше, то отношение объёмов приварится в 100 * 2^-N (всё ещё стремиться к 0), а вот среднее количество соседних кочек для каждой будет 100. И к слову, большинство кочек будет вблизи поверхности шара радиуса 1.
Говоря простыми словами, такой N-мерный шар будет почти пустой, но при этом почти все кочки будут связанны между собой. Подобные закономерности в пространствах с большими размерностями широко исследуются для обучения нейронных сетей. Там важно положение и глубина локальных минимумов функции ошибок в многомерном пространстве ("ландшафте") параметров.
"
P.S. Народ в интернете как под копирку пишет ошибочные суждения от LLM, и это делают даже выпускники МФТИ с научными степенями
"Надо было у Саватеева спросить: "Какую часть объёма занимают плотно упакованные сферы в тысячемерном пространстве?" Как математик он может знать, что они занимают часть меньше, чем 10 в минус 300 степени. Что не только совершенно не мешает непрерывно перемещаться по ним в любую область пространства, но и выбирать каждый раз направление движения из огромного числа разных вариантов. И это только для такого небольшого числа размерностей как 1000."
Спорить с ними довольно сложно, так как они все доверяют ИИ, а не своему разуму.
Судя по всему, императив Канта "имей мужество пользоваться собственным разумом" обретает новое звучание в эпоху ИИ.
P.S.2.
А я прикрепил результаты моделирования блуждания по кочкам, о котором в дебатах говорит Савватеев.
Численный эксперимент в блокноте в комментарии к посту.
Скрипт считал почти ровно 4 часа.
Строки длины 40, расстояние Левенштейна, кидаю 10 раз подряд до успешного результата. Сколько нужно сгенерировать точек, чтобы они были связным множеством, если условие связности - расстояние между ними строго меньше эпсилон.
Расстояние 10 - на нем примерно миллиард соседей, из общего пространства в триллион. Это прям слишком много, никакого простого соединения не получится.
В случае 100-мерного пространства и большей мерности макроэволюция подобным методом практически невозможна.
P.S.3
Вооруженные LLM, собеседники стали писать про теорему о гигантской компоненте и якобы ее надо использовать вместо полной связности. Гигантская компонента не означает, что она очень большая, этот термин лишь значит, что она сильно больше любой другой связной компоненты. Поэтому правильнее связность всего графа считать, и там другая асимптотика. Вот эта константа гамма очень маленькая может быть в теореме о гигантской компоненте (последний скриншот). Либо , например, связность не всего графа из кочек считать, а какой-то заметной доли, например половины, но это не влияет на асимптотику
#ёжик_пишет
#ёжик_дискутирует
#уравнения_математической_физики
Если взять N-мерный шар радиуса 1 (фазовое пространство) и накидать в него M N-мерных шаров радиуса r «1 (кочки), то при M=(2r)^-N получится "парадокс пустоты". Касание - это попадание центра другого шара не дальше чем r+r. Мат ожидание касания двух шаров можно посчитать как отношение объёмов V(2r) / V(1) == (2r)^N, где V(x) это объём N мерного шара радиуса x. Если взять M=(2r)^-N, то у каждого шара будет в среднем по одному соседнему шару (кочки) которого он касается. Но в тоже время, отношение объёмов будет M * V(r) / V(1) = 2^-N. А поскольку, в данном контексте размерность N это длинна генома (очень большое число), то отсюда и получаются 2^-N → 0.
Если же взять M в 100 раз больше, то отношение объёмов приварится в 100 * 2^-N (всё ещё стремиться к 0), а вот среднее количество соседних кочек для каждой будет 100. И к слову, большинство кочек будет вблизи поверхности шара радиуса 1.
Говоря простыми словами, такой N-мерный шар будет почти пустой, но при этом почти все кочки будут связанны между собой. Подобные закономерности в пространствах с большими размерностями широко исследуются для обучения нейронных сетей. Там важно положение и глубина локальных минимумов функции ошибок в многомерном пространстве ("ландшафте") параметров.
"
P.S. Народ в интернете как под копирку пишет ошибочные суждения от LLM, и это делают даже выпускники МФТИ с научными степенями
"Надо было у Саватеева спросить: "Какую часть объёма занимают плотно упакованные сферы в тысячемерном пространстве?" Как математик он может знать, что они занимают часть меньше, чем 10 в минус 300 степени. Что не только совершенно не мешает непрерывно перемещаться по ним в любую область пространства, но и выбирать каждый раз направление движения из огромного числа разных вариантов. И это только для такого небольшого числа размерностей как 1000."
Спорить с ними довольно сложно, так как они все доверяют ИИ, а не своему разуму.
Судя по всему, императив Канта "имей мужество пользоваться собственным разумом" обретает новое звучание в эпоху ИИ.
P.S.2.
А я прикрепил результаты моделирования блуждания по кочкам, о котором в дебатах говорит Савватеев.
Численный эксперимент в блокноте в комментарии к посту.
Скрипт считал почти ровно 4 часа.
Строки длины 40, расстояние Левенштейна, кидаю 10 раз подряд до успешного результата. Сколько нужно сгенерировать точек, чтобы они были связным множеством, если условие связности - расстояние между ними строго меньше эпсилон.
Расстояние 10 - на нем примерно миллиард соседей, из общего пространства в триллион. Это прям слишком много, никакого простого соединения не получится.
В случае 100-мерного пространства и большей мерности макроэволюция подобным методом практически невозможна.
P.S.3
Вооруженные LLM, собеседники стали писать про теорему о гигантской компоненте и якобы ее надо использовать вместо полной связности. Гигантская компонента не означает, что она очень большая, этот термин лишь значит, что она сильно больше любой другой связной компоненты. Поэтому правильнее связность всего графа считать, и там другая асимптотика. Вот эта константа гамма очень маленькая может быть в теореме о гигантской компоненте (последний скриншот). Либо , например, связность не всего графа из кочек считать, а какой-то заметной доли, например половины, но это не влияет на асимптотику
#ёжик_пишет
#ёжик_дискутирует
#уравнения_математической_физики