Помните мою прошлую схему рассуждений при анализе ряда на сходимость? Пришло время добавки!
Изучение высшей математики начинается с первичных понятий, закладываемых в фундамент дальнейшего курса. Одним из таких ключевых моментов является понятие предела функции в точке.
Многие студенты, сталкиваясь с пределами функций, впервые ощущают настоящую сложность математики. В школе всё было понятно: формулы, алгоритмы, шаблонные задачи. Тут же - абстракции, всякие эпсилоны и дельты, рассуждения про бесконечно малые... Кажется, будто требуется мыслить как-то иначе, но как именно - никто не объясняет.
Впрочем, спешу обрадовать: правильная организация процесса изучения помогает навести ясность.
В этой связи речь пойдёт о схеме рассуждений, помогающей эффективно находить предел функции в точке. Этот инструмент позволит лучше структурировать ваши мысли и повысить уверенность в решении задач.
Конечно, она не заменит вашего личного умения критически мыслить и понимания темы, но поможет чётко понять, как начать своё рассуждение. Схема в особенности пригодится тем, кто сталкивается со страхом чистого листа. Даже если схема не поможет вам получить ответ, лист уже точно не будет чистым - рассуждение начато.
Как вы мыслите при работе с пределами: по алгоритму или по интуиции?
#ёжик_решает
#пределы #матан
Изучение высшей математики начинается с первичных понятий, закладываемых в фундамент дальнейшего курса. Одним из таких ключевых моментов является понятие предела функции в точке.
Многие студенты, сталкиваясь с пределами функций, впервые ощущают настоящую сложность математики. В школе всё было понятно: формулы, алгоритмы, шаблонные задачи. Тут же - абстракции, всякие эпсилоны и дельты, рассуждения про бесконечно малые... Кажется, будто требуется мыслить как-то иначе, но как именно - никто не объясняет.
Впрочем, спешу обрадовать: правильная организация процесса изучения помогает навести ясность.
В этой связи речь пойдёт о схеме рассуждений, помогающей эффективно находить предел функции в точке. Этот инструмент позволит лучше структурировать ваши мысли и повысить уверенность в решении задач.
Конечно, она не заменит вашего личного умения критически мыслить и понимания темы, но поможет чётко понять, как начать своё рассуждение. Схема в особенности пригодится тем, кто сталкивается со страхом чистого листа. Даже если схема не поможет вам получить ответ, лист уже точно не будет чистым - рассуждение начато.
Как вы мыслите при работе с пределами: по алгоритму или по интуиции?
#ёжик_решает
#пределы #матан
Предлагаю подумать и обсудить интересные темы в области основ физики и ее математических основ, которые в учебниках обычно либо совсем не рассказываются, либо рассказывается ошибочно. Всё это связано с тем, чем математическая физика отличается от математики - если честно решать физические уравнения, как математик, чаще всего ничего хорошего не получится, будут физически бессмысленные решения. А чтобы были осмысленные - надо добавлять условия на решения, которые соответствуют физическому смыслу и эксперименту.
В конце своего рассказа упомяну в эту тему и недавние дебаты Савватеева с Панчиным, с описанием собственного численного эксперимента.
Известный физик-теоретик Цвелик (физикам, наверное, он больше всего известен своим крутым учебником по методам квантовой теории поля в физике конденсированного состояния) является православным верующим и обосновывает свои убеждения физикой. Самый главный его аргумент - аргумент от невозможности мира.
Суть вот в чем:
Для устойчивости и упорядоченности привычного нам макромира необходима тонкая настройка констант.
Подгон констант без разумного замысла можно объяснить через мультивселенную - но через нее нельзя объяснить устойчивость сложной материи, потому что она основана на решении УШ, в котором подгонять вообще нечего, тут имеет место быть невероятно сложный и элегантный замысел
Второй аргумент достаточно интересен. Дело в том, что из написанного на скриншоте уравнения устойчивость сложной материи не следует - более того, макроскопический предел этого уравнения (через теорему Эренфеста, например) дает абсолютную невозможность существования вещества, так как в макропределе это система точечных классических зарядов, к которой теорема Ирншоу применима. Устойчивость сложной материи вытекает не из этого уравнения, а из квантовой термодинамики и статфизики, которая основана на
1. Постулате о равновероятности всех микросостояний для одного макросостояния
2. Принципе неразличимости тождественных частиц
Первое ниоткуда не выводится и моделированием не получается совсем (ни в классике, ни к квантах - если хотите сделать модель вещества, которая похожа на реальное вещество, распределения энергий и импульсов придется руками в модель писать, сами они не получаются).
Второе, вообще говоря, противоречит уравнению Шредингера.
Иногда привлекают КТП, чтобы это противоречие объяснить, но 1) это ничего не объясняет 2) у КТП есть свое противоречие с этим принципом - если учесть, что частицы все эти были рождены в определенных реакциях конечное время назад и то, что "частица" - это асимптотический предел ВФ в такой реакции при t->inf, выходит, что никакой неразличимости частиц и вовсе быть не может.
Я помню, что в МФТИ на лекциях по общей физике объясняют распределение Максвелла и прочие штуки через центральную предельную теорему, показывают демонстрации типа падения гвоздиков и т.п. Но тут сразу возникают две проблемы
Обоснование подменяют другой задачей, это, короче говоря, не доказательство, а аналогия
Если на компьютере правильно всё промоделировать, распределения Максвелла совсем не получится в классической физике
Итак, у нас есть две основы устойчивости сложной материи и порядка в макромире - равновероятность микросостояний и принцип неразличимости частиц. Обе ниоткуда не выводятся из фундаментальных законов - более того, они им противоречат и накладываются лишь как внешнее условие в случаях, когда необходимо получить работающую модель.
Я бы предположил, что неразличимость частиц - что-то более фундаментальное, а равновероятность микросостояний как-то из нее выводится (но я не знаю как - интуитивно кажется, что за счет неразличимости частиц в эргодических системах как-то усреднение вероятностей микросостояний может происходить, но неизвестно, каким именно образом).
Далее термодинамическая стрела времени получается, если ко всему этому добавить еще квантовую редукцию волновой функции - макросистема постоянно измеряется, претерпевая за счет этого непрерывную неунитарную эволюцию, которая асимметрична относительно обращения времени.
Это всё гипотеза 1.
Предложу гипотезу 2.
В конце своего рассказа упомяну в эту тему и недавние дебаты Савватеева с Панчиным, с описанием собственного численного эксперимента.
Известный физик-теоретик Цвелик (физикам, наверное, он больше всего известен своим крутым учебником по методам квантовой теории поля в физике конденсированного состояния) является православным верующим и обосновывает свои убеждения физикой. Самый главный его аргумент - аргумент от невозможности мира.
Суть вот в чем:
Для устойчивости и упорядоченности привычного нам макромира необходима тонкая настройка констант.
Подгон констант без разумного замысла можно объяснить через мультивселенную - но через нее нельзя объяснить устойчивость сложной материи, потому что она основана на решении УШ, в котором подгонять вообще нечего, тут имеет место быть невероятно сложный и элегантный замысел
Второй аргумент достаточно интересен. Дело в том, что из написанного на скриншоте уравнения устойчивость сложной материи не следует - более того, макроскопический предел этого уравнения (через теорему Эренфеста, например) дает абсолютную невозможность существования вещества, так как в макропределе это система точечных классических зарядов, к которой теорема Ирншоу применима. Устойчивость сложной материи вытекает не из этого уравнения, а из квантовой термодинамики и статфизики, которая основана на
1. Постулате о равновероятности всех микросостояний для одного макросостояния
2. Принципе неразличимости тождественных частиц
Первое ниоткуда не выводится и моделированием не получается совсем (ни в классике, ни к квантах - если хотите сделать модель вещества, которая похожа на реальное вещество, распределения энергий и импульсов придется руками в модель писать, сами они не получаются).
Второе, вообще говоря, противоречит уравнению Шредингера.
Иногда привлекают КТП, чтобы это противоречие объяснить, но 1) это ничего не объясняет 2) у КТП есть свое противоречие с этим принципом - если учесть, что частицы все эти были рождены в определенных реакциях конечное время назад и то, что "частица" - это асимптотический предел ВФ в такой реакции при t->inf, выходит, что никакой неразличимости частиц и вовсе быть не может.
Я помню, что в МФТИ на лекциях по общей физике объясняют распределение Максвелла и прочие штуки через центральную предельную теорему, показывают демонстрации типа падения гвоздиков и т.п. Но тут сразу возникают две проблемы
Обоснование подменяют другой задачей, это, короче говоря, не доказательство, а аналогия
Если на компьютере правильно всё промоделировать, распределения Максвелла совсем не получится в классической физике
Итак, у нас есть две основы устойчивости сложной материи и порядка в макромире - равновероятность микросостояний и принцип неразличимости частиц. Обе ниоткуда не выводятся из фундаментальных законов - более того, они им противоречат и накладываются лишь как внешнее условие в случаях, когда необходимо получить работающую модель.
Я бы предположил, что неразличимость частиц - что-то более фундаментальное, а равновероятность микросостояний как-то из нее выводится (но я не знаю как - интуитивно кажется, что за счет неразличимости частиц в эргодических системах как-то усреднение вероятностей микросостояний может происходить, но неизвестно, каким именно образом).
Далее термодинамическая стрела времени получается, если ко всему этому добавить еще квантовую редукцию волновой функции - макросистема постоянно измеряется, претерпевая за счет этого непрерывную неунитарную эволюцию, которая асимметрична относительно обращения времени.
Это всё гипотеза 1.
Предложу гипотезу 2.
Предположим, что процесс получения макромира из микромира определяется наличием некого шума, истинно случайного процесса возмущения траекторий. На роль такого шума квантовые флуктуации вакуума, видимо, не годятся, а вот что-то в духе процесса множества актов объективной квантовой редукции волновой функции может быть. Для эргодических систем этот шум может вызывать случайные перескоки между перемешанными фазовыми траекториями и его достаточно, чтобы вызвать равновероятность состояний.
Отсюда принцип неразличимости квантовых частиц, может быть, вытекает уже не как фундаментальный принцип, а как некий ошибочный постулат, из которого получается правильная волновая функция, причина которой не в нем, а в усреднении вероятностей микросостояний макросистемы.
Ну и со стрелой времени тогда в гипотезе 2 вопрос решен автоматически, этот шум представляет из себя асимметричный относительно обращения времени процесс.
Что вы думаете по этому поводу?
По теме рекомендую, например книгу: Абаимов С.Г., Ахатов И.Ш., Белоусов Ю.М., Михеенков А.В., Полищук И.Я. Рост энтропии в аналитической и квантовой механике: Фундаментальные основы механики.
Я решил спросить LLM, после того, как написал. Gemini подтвердил мои рассуждения и дал им больше обоснований, но отдал предпочтение гипотезе 1. По его мнению, непонятно, как гипотеза 2 могла бы объяснить принцип Паули для электронов. Кроме того, он пишет, что гипотеза 2 противоречит, возможно, физике низких температур
"уравнение Шрёдингера для системы многих частиц должно быть дополнено постулатом о (анти)симметризации волновой функции по перестановке тождественных частиц. Само уравнение допускает любые решения, но физически реализуются только (анти)симметричные. Это требование накладывается извне, исходя из экспериментальных наблюдений"
Тут тонкий вопрос, я вот не думаю, что низкие температуры вообще являются препятствием для гипотезы 2. Но для проверки этого нужно моделирование.
Я прикрепил три скриншота с ответом от LLM - там здравые вещи в основном написаны. Но LLM может писать чушь.
Например, недавние дебаты Панчина и Савватеева, LLM дружно опровергают Савватеева, рассказывая, что в модели болота с кочками связность легко достижима из-за многомерности фазового пространства, но если запустить симуляцию (а я вчера честно провел численный эксперимент), то оказывается, что Савватеев полностью прав, а LLM дружно пишут одно и то же ошибочное утверждение.
Дело в том, что LLM не учитывают, что топология множtства строк принципиально отличается от топологии Rn.
Добавление - о роли выбора метрики и структуры фазового пространства.
Если пространство евклидово, то там при больших размерностях слишком быстро растет число соседей с ростом расстояния близости, так что даже при большом радиусе "близости к кочке" в эту окрестность будет попадать ничтожно малый объем болота. Из-за этого связности достичь очень легко и при условии крайне малого числа "ближайших соседей".
Например, если в 40-мерном пространстве Rn я беру четверть от максимального радиуса, то доля соседних будет 2^(-80) от всех, а практически все случайные кочки лежат где-то на поверхности гипершара.
В случае расстояния Левенштейна всё совсем не так.
Во-первых, случайно выбранные кочки могут бы где угодно.
Во-вторых, с ростом расстояния количество ближайших соседей растет по совсем другому закону. В 40-мерном пространстве на четверти от максимального расстояния соседей получилось около миллиарда из триллиона, а на половине от максимального расстояния их будет чуть больше половины триллиона, а не 2^(-40).
Пример рассуждения с евклидовой метрикой, которое не работает из-за этой особенности
Отсюда принцип неразличимости квантовых частиц, может быть, вытекает уже не как фундаментальный принцип, а как некий ошибочный постулат, из которого получается правильная волновая функция, причина которой не в нем, а в усреднении вероятностей микросостояний макросистемы.
Ну и со стрелой времени тогда в гипотезе 2 вопрос решен автоматически, этот шум представляет из себя асимметричный относительно обращения времени процесс.
Что вы думаете по этому поводу?
По теме рекомендую, например книгу: Абаимов С.Г., Ахатов И.Ш., Белоусов Ю.М., Михеенков А.В., Полищук И.Я. Рост энтропии в аналитической и квантовой механике: Фундаментальные основы механики.
Я решил спросить LLM, после того, как написал. Gemini подтвердил мои рассуждения и дал им больше обоснований, но отдал предпочтение гипотезе 1. По его мнению, непонятно, как гипотеза 2 могла бы объяснить принцип Паули для электронов. Кроме того, он пишет, что гипотеза 2 противоречит, возможно, физике низких температур
"уравнение Шрёдингера для системы многих частиц должно быть дополнено постулатом о (анти)симметризации волновой функции по перестановке тождественных частиц. Само уравнение допускает любые решения, но физически реализуются только (анти)симметричные. Это требование накладывается извне, исходя из экспериментальных наблюдений"
Тут тонкий вопрос, я вот не думаю, что низкие температуры вообще являются препятствием для гипотезы 2. Но для проверки этого нужно моделирование.
Я прикрепил три скриншота с ответом от LLM - там здравые вещи в основном написаны. Но LLM может писать чушь.
Например, недавние дебаты Панчина и Савватеева, LLM дружно опровергают Савватеева, рассказывая, что в модели болота с кочками связность легко достижима из-за многомерности фазового пространства, но если запустить симуляцию (а я вчера честно провел численный эксперимент), то оказывается, что Савватеев полностью прав, а LLM дружно пишут одно и то же ошибочное утверждение.
Дело в том, что LLM не учитывают, что топология множtства строк принципиально отличается от топологии Rn.
Добавление - о роли выбора метрики и структуры фазового пространства.
Если пространство евклидово, то там при больших размерностях слишком быстро растет число соседей с ростом расстояния близости, так что даже при большом радиусе "близости к кочке" в эту окрестность будет попадать ничтожно малый объем болота. Из-за этого связности достичь очень легко и при условии крайне малого числа "ближайших соседей".
Например, если в 40-мерном пространстве Rn я беру четверть от максимального радиуса, то доля соседних будет 2^(-80) от всех, а практически все случайные кочки лежат где-то на поверхности гипершара.
В случае расстояния Левенштейна всё совсем не так.
Во-первых, случайно выбранные кочки могут бы где угодно.
Во-вторых, с ростом расстояния количество ближайших соседей растет по совсем другому закону. В 40-мерном пространстве на четверти от максимального расстояния соседей получилось около миллиарда из триллиона, а на половине от максимального расстояния их будет чуть больше половины триллиона, а не 2^(-40).
Пример рассуждения с евклидовой метрикой, которое не работает из-за этой особенности
"
Если взять N-мерный шар радиуса 1 (фазовое пространство) и накидать в него M N-мерных шаров радиуса r «1 (кочки), то при M=(2r)^-N получится "парадокс пустоты". Касание - это попадание центра другого шара не дальше чем r+r. Мат ожидание касания двух шаров можно посчитать как отношение объёмов V(2r) / V(1) == (2r)^N, где V(x) это объём N мерного шара радиуса x. Если взять M=(2r)^-N, то у каждого шара будет в среднем по одному соседнему шару (кочки) которого он касается. Но в тоже время, отношение объёмов будет M * V(r) / V(1) = 2^-N. А поскольку, в данном контексте размерность N это длинна генома (очень большое число), то отсюда и получаются 2^-N → 0.
Если же взять M в 100 раз больше, то отношение объёмов приварится в 100 * 2^-N (всё ещё стремиться к 0), а вот среднее количество соседних кочек для каждой будет 100. И к слову, большинство кочек будет вблизи поверхности шара радиуса 1.
Говоря простыми словами, такой N-мерный шар будет почти пустой, но при этом почти все кочки будут связанны между собой. Подобные закономерности в пространствах с большими размерностями широко исследуются для обучения нейронных сетей. Там важно положение и глубина локальных минимумов функции ошибок в многомерном пространстве ("ландшафте") параметров.
"
P.S. Народ в интернете как под копирку пишет ошибочные суждения от LLM, и это делают даже выпускники МФТИ с научными степенями
"Надо было у Саватеева спросить: "Какую часть объёма занимают плотно упакованные сферы в тысячемерном пространстве?" Как математик он может знать, что они занимают часть меньше, чем 10 в минус 300 степени. Что не только совершенно не мешает непрерывно перемещаться по ним в любую область пространства, но и выбирать каждый раз направление движения из огромного числа разных вариантов. И это только для такого небольшого числа размерностей как 1000."
Спорить с ними довольно сложно, так как они все доверяют ИИ, а не своему разуму.
Судя по всему, императив Канта "имей мужество пользоваться собственным разумом" обретает новое звучание в эпоху ИИ.
P.S.2.
А я прикрепил результаты моделирования блуждания по кочкам, о котором в дебатах говорит Савватеев.
Численный эксперимент в блокноте в комментарии к посту.
Скрипт считал почти ровно 4 часа.
Строки длины 40, расстояние Левенштейна, кидаю 10 раз подряд до успешного результата. Сколько нужно сгенерировать точек, чтобы они были связным множеством, если условие связности - расстояние между ними строго меньше эпсилон.
Расстояние 10 - на нем примерно миллиард соседей, из общего пространства в триллион. Это прям слишком много, никакого простого соединения не получится.
В случае 100-мерного пространства и большей мерности макроэволюция подобным методом практически невозможна.
P.S.3
Вооруженные LLM, собеседники стали писать про теорему о гигантской компоненте и якобы ее надо использовать вместо полной связности. Гигантская компонента не означает, что она очень большая, этот термин лишь значит, что она сильно больше любой другой связной компоненты. Поэтому правильнее связность всего графа считать, и там другая асимптотика. Вот эта константа гамма очень маленькая может быть в теореме о гигантской компоненте (последний скриншот). Либо , например, связность не всего графа из кочек считать, а какой-то заметной доли, например половины, но это не влияет на асимптотику
#ёжик_пишет
#ёжик_дискутирует
#уравнения_математической_физики
Если взять N-мерный шар радиуса 1 (фазовое пространство) и накидать в него M N-мерных шаров радиуса r «1 (кочки), то при M=(2r)^-N получится "парадокс пустоты". Касание - это попадание центра другого шара не дальше чем r+r. Мат ожидание касания двух шаров можно посчитать как отношение объёмов V(2r) / V(1) == (2r)^N, где V(x) это объём N мерного шара радиуса x. Если взять M=(2r)^-N, то у каждого шара будет в среднем по одному соседнему шару (кочки) которого он касается. Но в тоже время, отношение объёмов будет M * V(r) / V(1) = 2^-N. А поскольку, в данном контексте размерность N это длинна генома (очень большое число), то отсюда и получаются 2^-N → 0.
Если же взять M в 100 раз больше, то отношение объёмов приварится в 100 * 2^-N (всё ещё стремиться к 0), а вот среднее количество соседних кочек для каждой будет 100. И к слову, большинство кочек будет вблизи поверхности шара радиуса 1.
Говоря простыми словами, такой N-мерный шар будет почти пустой, но при этом почти все кочки будут связанны между собой. Подобные закономерности в пространствах с большими размерностями широко исследуются для обучения нейронных сетей. Там важно положение и глубина локальных минимумов функции ошибок в многомерном пространстве ("ландшафте") параметров.
"
P.S. Народ в интернете как под копирку пишет ошибочные суждения от LLM, и это делают даже выпускники МФТИ с научными степенями
"Надо было у Саватеева спросить: "Какую часть объёма занимают плотно упакованные сферы в тысячемерном пространстве?" Как математик он может знать, что они занимают часть меньше, чем 10 в минус 300 степени. Что не только совершенно не мешает непрерывно перемещаться по ним в любую область пространства, но и выбирать каждый раз направление движения из огромного числа разных вариантов. И это только для такого небольшого числа размерностей как 1000."
Спорить с ними довольно сложно, так как они все доверяют ИИ, а не своему разуму.
Судя по всему, императив Канта "имей мужество пользоваться собственным разумом" обретает новое звучание в эпоху ИИ.
P.S.2.
А я прикрепил результаты моделирования блуждания по кочкам, о котором в дебатах говорит Савватеев.
Численный эксперимент в блокноте в комментарии к посту.
Скрипт считал почти ровно 4 часа.
Строки длины 40, расстояние Левенштейна, кидаю 10 раз подряд до успешного результата. Сколько нужно сгенерировать точек, чтобы они были связным множеством, если условие связности - расстояние между ними строго меньше эпсилон.
Расстояние 10 - на нем примерно миллиард соседей, из общего пространства в триллион. Это прям слишком много, никакого простого соединения не получится.
В случае 100-мерного пространства и большей мерности макроэволюция подобным методом практически невозможна.
P.S.3
Вооруженные LLM, собеседники стали писать про теорему о гигантской компоненте и якобы ее надо использовать вместо полной связности. Гигантская компонента не означает, что она очень большая, этот термин лишь значит, что она сильно больше любой другой связной компоненты. Поэтому правильнее связность всего графа считать, и там другая асимптотика. Вот эта константа гамма очень маленькая может быть в теореме о гигантской компоненте (последний скриншот). Либо , например, связность не всего графа из кочек считать, а какой-то заметной доли, например половины, но это не влияет на асимптотику
#ёжик_пишет
#ёжик_дискутирует
#уравнения_математической_физики
Дорогие коллеги!
Представляем вам пост Ман Дарина, который он прислал на конкурс новых авторов Ёжика. Просим поддержать коллегу реакциями/комментариями/перепостами!
------------------------------------------------------------------
Если ещё в школе вас не смущал отрицательный дискриминант, и вы смело говорили: «решение есть, но лежит в комплексной плоскости», то вы невольно приоткрывали для себя завесу к целому непаханому полю новых областей математики. Начнём с простого. Пусть у нас есть полином f(x) = x^2 + 1. На вещественной оси решений нет, в комплексной плоскости x1 = i, x2 = -i. А вот в кватернионах, то есть для чисел вида; z = a + ib + jc + kd. Где a,b,c,d – вещественные числа, а i,j,k аналог числовых осей, где каждое число из этой тройки является корнем из -1. Так, постойте! Есть вещественное число – т.е. одна ось, есть комплексная плоскость – т.е. две оси, есть кватернионы – 4 оси. Куда делось число с 3 осями?! А всё дело в его величестве симметрии и инвариантах. Умножение вещественных и комплексных чисел ассоциативно и коммутативно. Но куда важнее то, что для них можно определить операцию обратную делению и для чисел размерности 1, 2, 4, 8 (т.е. октав) возможно построить алгебру с нормированным делением. То есть для них умножение сохраняет норму |a*b| = |a|*|b|, и для которых aa+ = |a|^2 (+ - комплексное сопряжение). А по теореме Гурвица в пространствах размерности 3, 5, 6 и т.д. невозможно построить такую алгебру. Но при этом, умножение кватернионов не коммутативно. Зато оно имеет связь с линейной алгеброй, если разделить вещественную ось и комплексную часть (i,j,k) и представить её как вектор. a = a1 + a2, b = b1 + b2, где a1 и a2 – вещественные и комплексные части числа соответственно, то a*b = a1*b1 – (a2, b2) + a1*b2 + b1*a2 + [a2, b2]. В круглых скобках скалярное умножение векторов, в квадратных – векторное. Вернёмся к поиску корней полинома f(x). Кватернион в квадрате это z^2 = a^2 – b^2 – c^2 – d^2 + 2iab + 2jac + 2kad. Вы можете получить эту формулу, если примените умножение a*b с условием, что a1 = b1, a2 = b2. Итак, теперь ищем корни уравнения. Так как комплексная часть 2iab + 2jac + 2kad по условию ровна 0, то а = 0, b^2 + c^2 + d^2 = 1. То есть решение x^2 + 1 = 0 представляет собой сферу единичного радиуса в комплексном объёме. Теперь у читателя могут появиться новые вопросы; В комплексной плоскости решений 2, потому что полином разлагается на сомножители (x+i)(x-i) = 0. Тут всё понятно. А теперь решений целый континуум! Мне что теперь представлять функцию от полинома как бесконечное произведение, которое, между прочим расходится и имеет несчётное множество множителей?! И читатель прав, если использует алгебру с коммутативным умножением! Основная теорема алгебры гласит; полином n степени с комплексными коэффициентами имеет n корней в поле комплексных чисел. Но комплексные числа по теореме Фробениуса – это максимальное расширение поля вещественных чисел с коммутативным умножением. Таким образом, потеряв коммутативность, мы потеряли и справедливость основной теоремы алгебры. А зачем нам нужна такая бесполезная алгебра, где даже такие вечные истины теряются? Но любая потеря чем-то восполнима! А если ничто не истинно, то всё дозволено. Если у уравнения x^2 + 1 = 0 целая сфера решений, то кто мешает нам взять кватернионы a, b, c и искать решения ax^2 + bx + c = 0. Но перед отдалением от бога зададим наводящий вопрос; сфера – частный случай поверхности второго порядка. Будут ли нули любого квадратного уравнения в кватернионах поверхностями второго порядка?! Итак, найдём дискриминант, а ой, случайно алгеброй ошибся. Хотя… Как говорил мастер Угвей; случайности не случайны. В виде уравнения ax^2 + bx + c = 0 нам бы хотелось уменьшить количество параметров. Ввиду свойств нормированного деления мы всегда можем найти c* такое, что cc* = 1 (спойлер, с* = с+/|c|^2). Тогда, рассмотрев уравнения ax^2 + bx + 1 = 0 – мы рассмотрим все семейства квадратных уравнений. Возьмём какое-либо уравнение. И решим его, что называется «в лоб».
Представляем вам пост Ман Дарина, который он прислал на конкурс новых авторов Ёжика. Просим поддержать коллегу реакциями/комментариями/перепостами!
------------------------------------------------------------------
Если ещё в школе вас не смущал отрицательный дискриминант, и вы смело говорили: «решение есть, но лежит в комплексной плоскости», то вы невольно приоткрывали для себя завесу к целому непаханому полю новых областей математики. Начнём с простого. Пусть у нас есть полином f(x) = x^2 + 1. На вещественной оси решений нет, в комплексной плоскости x1 = i, x2 = -i. А вот в кватернионах, то есть для чисел вида; z = a + ib + jc + kd. Где a,b,c,d – вещественные числа, а i,j,k аналог числовых осей, где каждое число из этой тройки является корнем из -1. Так, постойте! Есть вещественное число – т.е. одна ось, есть комплексная плоскость – т.е. две оси, есть кватернионы – 4 оси. Куда делось число с 3 осями?! А всё дело в его величестве симметрии и инвариантах. Умножение вещественных и комплексных чисел ассоциативно и коммутативно. Но куда важнее то, что для них можно определить операцию обратную делению и для чисел размерности 1, 2, 4, 8 (т.е. октав) возможно построить алгебру с нормированным делением. То есть для них умножение сохраняет норму |a*b| = |a|*|b|, и для которых aa+ = |a|^2 (+ - комплексное сопряжение). А по теореме Гурвица в пространствах размерности 3, 5, 6 и т.д. невозможно построить такую алгебру. Но при этом, умножение кватернионов не коммутативно. Зато оно имеет связь с линейной алгеброй, если разделить вещественную ось и комплексную часть (i,j,k) и представить её как вектор. a = a1 + a2, b = b1 + b2, где a1 и a2 – вещественные и комплексные части числа соответственно, то a*b = a1*b1 – (a2, b2) + a1*b2 + b1*a2 + [a2, b2]. В круглых скобках скалярное умножение векторов, в квадратных – векторное. Вернёмся к поиску корней полинома f(x). Кватернион в квадрате это z^2 = a^2 – b^2 – c^2 – d^2 + 2iab + 2jac + 2kad. Вы можете получить эту формулу, если примените умножение a*b с условием, что a1 = b1, a2 = b2. Итак, теперь ищем корни уравнения. Так как комплексная часть 2iab + 2jac + 2kad по условию ровна 0, то а = 0, b^2 + c^2 + d^2 = 1. То есть решение x^2 + 1 = 0 представляет собой сферу единичного радиуса в комплексном объёме. Теперь у читателя могут появиться новые вопросы; В комплексной плоскости решений 2, потому что полином разлагается на сомножители (x+i)(x-i) = 0. Тут всё понятно. А теперь решений целый континуум! Мне что теперь представлять функцию от полинома как бесконечное произведение, которое, между прочим расходится и имеет несчётное множество множителей?! И читатель прав, если использует алгебру с коммутативным умножением! Основная теорема алгебры гласит; полином n степени с комплексными коэффициентами имеет n корней в поле комплексных чисел. Но комплексные числа по теореме Фробениуса – это максимальное расширение поля вещественных чисел с коммутативным умножением. Таким образом, потеряв коммутативность, мы потеряли и справедливость основной теоремы алгебры. А зачем нам нужна такая бесполезная алгебра, где даже такие вечные истины теряются? Но любая потеря чем-то восполнима! А если ничто не истинно, то всё дозволено. Если у уравнения x^2 + 1 = 0 целая сфера решений, то кто мешает нам взять кватернионы a, b, c и искать решения ax^2 + bx + c = 0. Но перед отдалением от бога зададим наводящий вопрос; сфера – частный случай поверхности второго порядка. Будут ли нули любого квадратного уравнения в кватернионах поверхностями второго порядка?! Итак, найдём дискриминант, а ой, случайно алгеброй ошибся. Хотя… Как говорил мастер Угвей; случайности не случайны. В виде уравнения ax^2 + bx + c = 0 нам бы хотелось уменьшить количество параметров. Ввиду свойств нормированного деления мы всегда можем найти c* такое, что cc* = 1 (спойлер, с* = с+/|c|^2). Тогда, рассмотрев уравнения ax^2 + bx + 1 = 0 – мы рассмотрим все семейства квадратных уравнений. Возьмём какое-либо уравнение. И решим его, что называется «в лоб».
Решая квадратное уравнений, например (1+i)x^2 + (1-i)x + 1 = 0 мы увидим, что оно не имеет решений. Да что ж это такое?! Мы уже и от коммутативности умножения отказались, и от основной теоремы алгебры отказались, а оно всё не решается! Может, тогда проще отказаться от кватернионов и остановится на хоть немного понятных комплексных числах?! Нет! Надо стоически выдержать удары судьбы и найти такие условия, при которых корни будут существовать. Математик – настоящий самурай! У него нет цели. Только путь! Разложив кватернионы на вещественную и комплексную часть по отдельности можно решить одно квадратичное и одно векторное уравнение. Есть работы, показывающие, что решение имеет два корня или ни одного если уравнение в кватернионах можно свести к решению квадратного уравнения в вещественных числах. То есть для них есть свой аналог детерминанта. В частности, Если векторные части коэффициентов a и b ортогональны, то решение можно получить по специальной формуле, аналогичной квадратному корню, но с учётом особенностей умножения кватернионов. Так что как бы далеко мы не отстранялись от вещественных чисел, изобретая сложные геометрии, алгебры, поля и кольца на алгебраических множествах, мы не так уж и сильно уходим от знакомых понятий. В общем случае решение сводится к уравнению, включающему норму кватернионов и их скалярные и векторные части. То есть мы отдельно составляем уравнение на векторные и вещественные составляющие. Ну и само собой, как же я могу оставить читателя без красивых картинок и экспоненциального представления кватернионов!1) Решение квадратного уравнения (1+i-2j-k)z^2 + (1-i)z + 1 = 0
Решение этого уравнения представляет собой кривую второго порядка. На рисунке изображён сегмент решения в срезе, где вещественная часть равна 0, ось симметрии кривой второго порядка и касательный вектор в точке. (Надеюсь, что геометрическое понимание этих понятий даст читателю представление об этом геометрическом множестве хотя бы локально).
2) Решение кубического уравнения. Решим кубическое уравнение в кватернионах с вещественными коэффициентами. az^3 + bz^2 + cz + d = 0. Возьмём понравившиеся числа, а там и не сложно распространить вывод на общий случай. z^3-2z^2+z+d = 0. Показательная форма для кватернионов выглядит следующим образом; q = r*(cos(θ/2)+u*sin(θ/2)) где u – единичный вектор в комплексном пространстве. Аналог формулы Муавра для кватернионов выглядит так: q^n = r^n*(cos(nθ/2)+u*sin(nθ/2)). Если векторная сумма полинома равна нулю, то отсюда следует; r^2*(sin(3θ/2)) – 2*r*(sin(θ)) + sin(θ/2) = 0. Ну и такое квадратное уравнение уже решать не страшно и приятно. Ниже представлен график r = r(θ). Учтём, что радиус не может быть меньше нуля по определению. R на графике это решение с минус корень от дискриминанта, r соответственно с плюсом. Теперь, посмотрим на функцию модуля и аргумента от параметра d. Она изображена на объёмном графике. Во-первых; можно увидеть, что при d = 0 наблюдается разрыв кривой. Во-вторых; решением уравнения так же, как и в случае с полиномом x^2 + 1 = 0 является сфера. С той лишь разницей, что она смещена по вещественной оси и радиус её зависит от параметра d. А для лучшего понимания геометрии решения советую читателю представить, как будет меняться радиус комплексной сферы и смещение вдоль вещественной оси при спуске и подъёме по графику. Для этого достаточно представить, что кривые на объёмном графике это ползунок, с помощью которого вы регулируете радиус сферы и движение по вещественной оси.
Решение этого уравнения представляет собой кривую второго порядка. На рисунке изображён сегмент решения в срезе, где вещественная часть равна 0, ось симметрии кривой второго порядка и касательный вектор в точке. (Надеюсь, что геометрическое понимание этих понятий даст читателю представление об этом геометрическом множестве хотя бы локально).
2) Решение кубического уравнения. Решим кубическое уравнение в кватернионах с вещественными коэффициентами. az^3 + bz^2 + cz + d = 0. Возьмём понравившиеся числа, а там и не сложно распространить вывод на общий случай. z^3-2z^2+z+d = 0. Показательная форма для кватернионов выглядит следующим образом; q = r*(cos(θ/2)+u*sin(θ/2)) где u – единичный вектор в комплексном пространстве. Аналог формулы Муавра для кватернионов выглядит так: q^n = r^n*(cos(nθ/2)+u*sin(nθ/2)). Если векторная сумма полинома равна нулю, то отсюда следует; r^2*(sin(3θ/2)) – 2*r*(sin(θ)) + sin(θ/2) = 0. Ну и такое квадратное уравнение уже решать не страшно и приятно. Ниже представлен график r = r(θ). Учтём, что радиус не может быть меньше нуля по определению. R на графике это решение с минус корень от дискриминанта, r соответственно с плюсом. Теперь, посмотрим на функцию модуля и аргумента от параметра d. Она изображена на объёмном графике. Во-первых; можно увидеть, что при d = 0 наблюдается разрыв кривой. Во-вторых; решением уравнения так же, как и в случае с полиномом x^2 + 1 = 0 является сфера. С той лишь разницей, что она смещена по вещественной оси и радиус её зависит от параметра d. А для лучшего понимания геометрии решения советую читателю представить, как будет меняться радиус комплексной сферы и смещение вдоль вещественной оси при спуске и подъёме по графику. Для этого достаточно представить, что кривые на объёмном графике это ползунок, с помощью которого вы регулируете радиус сферы и движение по вещественной оси.
На этом я бы хотел закончить свой экскурс в кватернионы. Даже пробежавшись галопом по Европам, было опущено множество подробностей и нюансов. Этим эссе мне бы хотелось начать цикл работ, посвященный кватернионам, их свойствам и применениям. Многие слышали о кватернионах как об инструменте компьютерной графики, но в научно-популярных статьях и заметках будто обходят стороной применения кватернионов в оптике, квантовой физике, теории гравитации, алгебраической геометрии, теории групп и даже гидродинамике. А ведь эти числа когда-то сделали революцию в нашем понимании алгебры и комплексного анализа. Хотелось бы также поведать читателю смежную с ними тему октав и задаться вопросом; почему у октав не получилось того, что получилось у кватернионов?! А именно: найти применение в разных областях науки.
#предложка_ёжика
#общая_алгебра
#предложка_ёжика
#общая_алгебра