Дорогие коллеги!
Какое-то время тому назад мы на «Ёжике» каждое воскресенье подводили итоги недели и даже публиковали список вышедших за неделю постов. Но что-то эта практика не прижилась, и мы её закончили. Если вы считаете, что мы поступили неправильно, пожалуйста, напишите в комментариях!
Но на этой неделе произошло важное событие, о котором мы не можем не написать, и в честь него постараемся подвести мини-итоги нашей работы.
Итак, конкурс новых авторов «Ёжика» завершён! По его итогам мы принимаем в свой коллектив трёх новых коллег: Сергея Постникова, Ман Дарина и Батьку Джона. По традиции пожелаем коллегам удачи на посту и удачных постов!! Добро пожаловать!
Второе важное событие, о котором мы уже писали в четверг, заключалось в вывешивании таблички «Видеостудия «Ёжик в матане» над нашей аудиторией на факультете ВМК МГУ. Наверное, это первая такая неформальная официальная табличка в этом учебном заведении. Поэтому мне, если честно, немного волнительно, что нас ждёт в дальнейшем. 😊
Ну и третье событие, которое было на этой неделе, — это мероприятие Фонда оригинальных авторов ВК, на которое меня, как владельца нашего паблика, позвали в эту среду. ВКонтакте сняли весьма приятную площадку, пригласили интересных спикеров, очень много авторов. В результате мне удалось прекрасно провести время, познакомиться со многими любопытными авторами блогов и пабликов ВКонтакте, которые были очень расположены для знакомства! Некоторые фотографии вы можете посмотреть в этом посте, а я хотел бы выразить большую благодарность организаторам! Продолжаем развиваться дальше.
Ёжики, вперёд!!
#ёжик_в_матане
#ФОА2025
Какое-то время тому назад мы на «Ёжике» каждое воскресенье подводили итоги недели и даже публиковали список вышедших за неделю постов. Но что-то эта практика не прижилась, и мы её закончили. Если вы считаете, что мы поступили неправильно, пожалуйста, напишите в комментариях!
Но на этой неделе произошло важное событие, о котором мы не можем не написать, и в честь него постараемся подвести мини-итоги нашей работы.
Итак, конкурс новых авторов «Ёжика» завершён! По его итогам мы принимаем в свой коллектив трёх новых коллег: Сергея Постникова, Ман Дарина и Батьку Джона. По традиции пожелаем коллегам удачи на посту и удачных постов!! Добро пожаловать!
Второе важное событие, о котором мы уже писали в четверг, заключалось в вывешивании таблички «Видеостудия «Ёжик в матане» над нашей аудиторией на факультете ВМК МГУ. Наверное, это первая такая неформальная официальная табличка в этом учебном заведении. Поэтому мне, если честно, немного волнительно, что нас ждёт в дальнейшем. 😊
Ну и третье событие, которое было на этой неделе, — это мероприятие Фонда оригинальных авторов ВК, на которое меня, как владельца нашего паблика, позвали в эту среду. ВКонтакте сняли весьма приятную площадку, пригласили интересных спикеров, очень много авторов. В результате мне удалось прекрасно провести время, познакомиться со многими любопытными авторами блогов и пабликов ВКонтакте, которые были очень расположены для знакомства! Некоторые фотографии вы можете посмотреть в этом посте, а я хотел бы выразить большую благодарность организаторам! Продолжаем развиваться дальше.
Ёжики, вперёд!!
#ёжик_в_матане
#ФОА2025
Приветствую всех любителей математики! 🌿
🟣Сегодня хотелось бы немного рассказать о сакральной геометрии — языке Вселенной, который выражен в формах, узорах и пропорциях. Её основная задача показать взаимосвязь между различными объектами нашего мира.
🌸Один из важнейших символов такой геометрии — ЦВЕТОК ЖИЗНИ. Это геометрическая фигура, образованная пересечением равномерно расположенных окружностей одинакового радиуса (см. картинку 1). Причем они расположены таким образом, что образуют симметричный шестилучевой узор, большая часть элементов которого напоминает цветок с 6 лепестками.
⭕️Другое название этой фигуры — Vesica Pisсis. Весь этот узор сформирован единственной центральной окружностью, а также 6 окружностями того же радиуса, центры которых расположены в вершинах правильного вписанного шестиугольника. Эту часть называют "Семя жизни", но также присутствует и другая структура, именуемая "Древо жизни" (см. картинку 2). В Цветке жизни можно разглядеть еще один очень важный элемент сакральной геометрии — рыбий пузырь, то есть, когда центры двух кругов с равными радиусами расположены на окружностях друг друга (см. картинку 3).
➡️Vesica Pisсis включает в себя несколько измерений:
1) Проходит через его центр и определяет меньшую ширину.
2) Соединяет через центр одну точку пересечения с другой, его называют "ключом" к великим знаниям.
Заметим, что в рассматриваемом Цветке есть ровно 19 узлов (Великих пределов).
А теперь рассмотрим математическую составляющую этого символа.
⁉️Соотношение высоты и ширины фигуры равно 1.7320508… (если нарисовать прямые линии, соединяющие центры обоих окружностей и вершины фигуры, получатся два равносторонних треугольника). Дроби 265:153 = 1.7320261… и 1351:780 = 1.7320513… являются наиболее близкими к этому значению рациональными числами. Архимед в работе "Измерение круга" пользуется этими дробями как верхней и нижней границей значения числа sqrt(3).
☀️ Некоторые из исследователей считают, что образ Vesica Piscis как сакрального знака основан на наблюдениях за солнечными затмениями. Уже Древние египтяне использовали этот образ в своей сакральной геометрии. А архитекторы и художники копировали его в своих работах для выражения своих религиозных взглядов. Эту традицию пронесли сквозь века масоны. Удивительная симметрия и гармония «Цветка Жизни» далеко не случайны. Из древних легенд Востока до нас доходят поистине мистические свойства этого Цветка, он содержит в себе все известные законы и формулы.
🧊Построение Цветка жизни завершается после появления еще 12 окружностей. Он хранит в себе тайну совмещения 13 кругов — информационных систем, а если соединить всех их центры, то получим куб Метатрона.
🧩Если же присоединить «треугольнички из лепестков» во все стороны, то этим узором можно покрыть всю плоскость (см. картинку 4). При этом, используя элементарные рассуждения из школьной геометрии, можно получить, что «лепестки» займут около 63% всей площади!
💍А теперь самое интересное — где же можно увидеть один из самых важных символов сакральной геометрии:
— раскраски-мандалы;
— символика Масонства;
— орнаменты;
— ювелирное искусство и т.д.
#ёжик_пишет
🟣Сегодня хотелось бы немного рассказать о сакральной геометрии — языке Вселенной, который выражен в формах, узорах и пропорциях. Её основная задача показать взаимосвязь между различными объектами нашего мира.
🌸Один из важнейших символов такой геометрии — ЦВЕТОК ЖИЗНИ. Это геометрическая фигура, образованная пересечением равномерно расположенных окружностей одинакового радиуса (см. картинку 1). Причем они расположены таким образом, что образуют симметричный шестилучевой узор, большая часть элементов которого напоминает цветок с 6 лепестками.
⭕️Другое название этой фигуры — Vesica Pisсis. Весь этот узор сформирован единственной центральной окружностью, а также 6 окружностями того же радиуса, центры которых расположены в вершинах правильного вписанного шестиугольника. Эту часть называют "Семя жизни", но также присутствует и другая структура, именуемая "Древо жизни" (см. картинку 2). В Цветке жизни можно разглядеть еще один очень важный элемент сакральной геометрии — рыбий пузырь, то есть, когда центры двух кругов с равными радиусами расположены на окружностях друг друга (см. картинку 3).
➡️Vesica Pisсis включает в себя несколько измерений:
1) Проходит через его центр и определяет меньшую ширину.
2) Соединяет через центр одну точку пересечения с другой, его называют "ключом" к великим знаниям.
Заметим, что в рассматриваемом Цветке есть ровно 19 узлов (Великих пределов).
А теперь рассмотрим математическую составляющую этого символа.
⁉️Соотношение высоты и ширины фигуры равно 1.7320508… (если нарисовать прямые линии, соединяющие центры обоих окружностей и вершины фигуры, получатся два равносторонних треугольника). Дроби 265:153 = 1.7320261… и 1351:780 = 1.7320513… являются наиболее близкими к этому значению рациональными числами. Архимед в работе "Измерение круга" пользуется этими дробями как верхней и нижней границей значения числа sqrt(3).
☀️ Некоторые из исследователей считают, что образ Vesica Piscis как сакрального знака основан на наблюдениях за солнечными затмениями. Уже Древние египтяне использовали этот образ в своей сакральной геометрии. А архитекторы и художники копировали его в своих работах для выражения своих религиозных взглядов. Эту традицию пронесли сквозь века масоны. Удивительная симметрия и гармония «Цветка Жизни» далеко не случайны. Из древних легенд Востока до нас доходят поистине мистические свойства этого Цветка, он содержит в себе все известные законы и формулы.
🧊Построение Цветка жизни завершается после появления еще 12 окружностей. Он хранит в себе тайну совмещения 13 кругов — информационных систем, а если соединить всех их центры, то получим куб Метатрона.
🧩Если же присоединить «треугольнички из лепестков» во все стороны, то этим узором можно покрыть всю плоскость (см. картинку 4). При этом, используя элементарные рассуждения из школьной геометрии, можно получить, что «лепестки» займут около 63% всей площади!
💍А теперь самое интересное — где же можно увидеть один из самых важных символов сакральной геометрии:
— раскраски-мандалы;
— символика Масонства;
— орнаменты;
— ювелирное искусство и т.д.
#ёжик_пишет
📚О некоторых вопросах гомологической алгебры
Когда я впервые взял в руки брошюру Александра Гротендика «О некоторых вопросах гомологической алгебры», я не просто читал математический текст я будто заглядывал в момент рождения новой парадигмы. Эта небольшая работа, впервые опубликованная в 1957 году, оказалась фундаментальной в истории современной алгебраической геометрии и гомологической алгебры. Сегодня она читается не только как изложение идей, но и как исторический документ, зафиксировавший ключевой поворот в мышлении XX века.
Гротендик предложил тогда поразительно смелую идею, он перенёс всю конструкцию когомологий в абстрактный мир абелевых категорий. Это означало, что теперь теорию пучков и когомологий можно было трактовать чисто категориально, без опоры на привычные геометрические интуиции. В этом и суть гениальности Гротендика, он строит не конкретные модели, а универсальные пространства мышления, в которых сами определения становятся геометрией.
Для меня эта брошюра не только редкий интеллектуальный артефакт, но и образец мышления будущего. Она показывает, как можно не просто решать задачи, а формулировать сами подходы к построению теории. Эта работа многократно цитировалась и стала основой для всего того, что позже будет сделано в рамках теории схем, топосов и ∞-категорий. Её называют «Tohoku paper» и в этом есть особое уважение к точке, из которой вырос целый мир.
Если вы интересуетесь историей математики, особенно тем, как развивалась алгебраическая геометрия, теория категорий или топология обязательно прочтите эту работу. Это компактный, но глубочайший текст, в котором чувствуется мощь мышления одного из самых загадочных и радикальных математиков XX века.
#Гротендик #ГомологическаяАлгебра #ИсторияМатематики #ТеорияКатегорий #АбелеваКатегория #Пучки #Когомологии #АлгебраическаяГеометрия #МатематическаяКлассика
Когда я впервые взял в руки брошюру Александра Гротендика «О некоторых вопросах гомологической алгебры», я не просто читал математический текст я будто заглядывал в момент рождения новой парадигмы. Эта небольшая работа, впервые опубликованная в 1957 году, оказалась фундаментальной в истории современной алгебраической геометрии и гомологической алгебры. Сегодня она читается не только как изложение идей, но и как исторический документ, зафиксировавший ключевой поворот в мышлении XX века.
Гротендик предложил тогда поразительно смелую идею, он перенёс всю конструкцию когомологий в абстрактный мир абелевых категорий. Это означало, что теперь теорию пучков и когомологий можно было трактовать чисто категориально, без опоры на привычные геометрические интуиции. В этом и суть гениальности Гротендика, он строит не конкретные модели, а универсальные пространства мышления, в которых сами определения становятся геометрией.
Для меня эта брошюра не только редкий интеллектуальный артефакт, но и образец мышления будущего. Она показывает, как можно не просто решать задачи, а формулировать сами подходы к построению теории. Эта работа многократно цитировалась и стала основой для всего того, что позже будет сделано в рамках теории схем, топосов и ∞-категорий. Её называют «Tohoku paper» и в этом есть особое уважение к точке, из которой вырос целый мир.
Если вы интересуетесь историей математики, особенно тем, как развивалась алгебраическая геометрия, теория категорий или топология обязательно прочтите эту работу. Это компактный, но глубочайший текст, в котором чувствуется мощь мышления одного из самых загадочных и радикальных математиков XX века.
#Гротендик #ГомологическаяАлгебра #ИсторияМатематики #ТеорияКатегорий #АбелеваКатегория #Пучки #Когомологии #АлгебраическаяГеометрия #МатематическаяКлассика
Наверное стоит упомянуть моду или как бы выразиться... всеобщее признание задачи значимой и давай всей толпой заниматься этим направлением.
Такое вообще говоря сильно раздражает, часто даже не возможно кое какие мысли обсудить. Особенно это касается моих любимых уравняшек.
Взять например системы алгебраических уравнений. Честно сказать как же они все надоели своей линейной алгеброй. Чуть, что так решают только линейные системы....
Меня конечно интересуют нелинейные системы. Как я понял там проблема в том, что если делать в лоб как с линейными уравнениями, то уменьшение числа уравнений, а с ними неизвестных ведёт к росту степени уравнения. Пару действий и всё, решить ничего нельзя.
Но самые интересные системы это системы нелинейных диофантовых уравнений. Вот как например эта...
https://math.stackexchange.com/questions/952801/biggest-set-such-that-sum-of-any-pair-is-perfect-square
И вот тот кто нам больше всего мешает, тот нам поможет. Оказывается всё таки есть общий метод, или как модно говорить, алгоритм, решения диофантовых уравнений.
Не надо путать с возможностью решить все абсолютно уравнения, всё решить нельзя. Там возникают сложности другого характера.
Так вот - чем же они помогают?
Дело в том, что есть такие преобразования при которых уменьшение уравнений в системе нелинейных алгебраических уравнений не ведёт к росту максимальной степени в уравнениях.
Кстати как эту задачку Эйлер решал можно посмотреть там...
https://artofproblemsolving.com/community/c6h602478
#предложка_ёжика
#теория_чисел
Такое вообще говоря сильно раздражает, часто даже не возможно кое какие мысли обсудить. Особенно это касается моих любимых уравняшек.
Взять например системы алгебраических уравнений. Честно сказать как же они все надоели своей линейной алгеброй. Чуть, что так решают только линейные системы....
Меня конечно интересуют нелинейные системы. Как я понял там проблема в том, что если делать в лоб как с линейными уравнениями, то уменьшение числа уравнений, а с ними неизвестных ведёт к росту степени уравнения. Пару действий и всё, решить ничего нельзя.
Но самые интересные системы это системы нелинейных диофантовых уравнений. Вот как например эта...
https://math.stackexchange.com/questions/952801/biggest-set-such-that-sum-of-any-pair-is-perfect-square
И вот тот кто нам больше всего мешает, тот нам поможет. Оказывается всё таки есть общий метод, или как модно говорить, алгоритм, решения диофантовых уравнений.
Не надо путать с возможностью решить все абсолютно уравнения, всё решить нельзя. Там возникают сложности другого характера.
Так вот - чем же они помогают?
Дело в том, что есть такие преобразования при которых уменьшение уравнений в системе нелинейных алгебраических уравнений не ведёт к росту максимальной степени в уравнениях.
Кстати как эту задачку Эйлер решал можно посмотреть там...
https://artofproblemsolving.com/community/c6h602478
#предложка_ёжика
#теория_чисел
Mathematics Stack Exchange
Biggest set such that sum of any pair is perfect square
What is the biggest set of positive integers such that the sum of any pair of them is a perfect square? (Or can we construct an infinite such set?)
One such set of size $3$ is $\{6,19,30\}$, which...
One such set of size $3$ is $\{6,19,30\}$, which...
Мы не можем их увидеть, но знаем, что где-то там они все друг с другом неразрывно связаны…
Идея четвёртого измерения с самого своего появления не оставляла равнодушными ни учёных, ни писателей и художников, ни эзотериков. Художникам тяжелее всего: его нельзя увидеть. Для математиков это тоже трагедия, но мы не смиряемся и вытаскиваем из четырёхмерного пространства трёхмерные сечения и проекции разных фигур. Этим попытки визуализации невизуализируемого не ограничиваются, и сегодня мы посмотрим, как принято изображать доступными средствами расслоение Хопфа. Это довольно красивая, известная и даже полезная в квантовой физике штука. Однако я на него наткнулась только недавно благодаря моему ученику. В очередной раз подумала, насколько же странные вещи могут вызвать восторг у математика.
Расслоение было описано в работе Хайнца Хопфа 1931 г. Это отображение, которое сопоставляет точкам гиперсферы (далее – 3-сфера) единичного радиуса, живущей в четырёхмерном пространстве ℂ², точки обычной, двумерной единичной сферы в трёхмерном пространстве ℂ×ℝ, по следующему правилу:
p(z₁,z₂)=(2z₁z₂*, |z₁|²-|z₂|²)
(* - комплексное сопряжение). Как видим, все точки вида (θz₁,θz₂), где θ – все комплексные числа с единичным модулем, имеют одинаковый образ. Обратное тоже верно: если две точки имеют одинаковый образ, они пропорциональны с каким-то единичным комплексным коэффициентом. Множество всех пропорциональных точек 3-сферы образует в четырёхмерном пространстве 1-сферу, обычную плоскую единичную окружность. Из этих окружностей и состоит вся 3-сфера. Никакие две из них не пересекаются, отсюда и название: каждая окружность является слоем, и 3-сфера по ним «расслоилась». На английском название fibration ещё более подходящее, на мой взгляд. Fiber – это ниточка, или волокно в ткани. Получается, что расслоение Хопфа можно также трактовать как биекцию между точками 2-сферы и семейством окружностей на 3-сфере.
Для визуализации принято всё тем же точкам 2-сферы сопоставлять окружности в трёхмерном пространстве. Здесь они будут разных радиусов, не только единичные. Северному полюсу пусть соответствует единичная окружность в плоскости xOy с центром в начале координат (Рис.1). Чем меньше широта точки, тем больше радиус соответствующей ей окружности и угол, под которым она наклонена к плоскости xOy, для южного полюса окружность вырождается в ось z (Рис.2). Окружности, соответствующие точкам с одинаковыми широтами, переводятся друг в друга поворотом вокруг оси z и все вместе образуют тор (Рис.3). Образы всех точек сферы заполняют всё пространство R3 и не пересекаются друг с другом (Рис.4). Казалось бы, построили совершенно другую биекцию, какая тут связь с Хопфом?
Главное здесь то, что каждые две нарисованных нами окружности сцеплены друг с другом (то есть имеют коэффициент зацепления 1. Топологически это существенно отличается от случая, если бы мы просто заполнили всё пространство параллельными друг другу окружностями с центрами на одной прямой). Именно такое положение на 3-сфере характерно для окружностей Хопфа, и в этом и состояла значимость построенного им расслоения для алгебры и топологии. Получается, несмотря на невозможность увидеть окружности в четырёхмерном пространстве, мы всё же имеем очень важную подробность об их взаимном расположении.
В комментариях к посту оставлю ссылку на сайт, на котором можно побаловаться с рисованием окружностей Хопфа.
Мне, честно говоря, понять явления в многомерных пространствах легче через аналогии с двух- и трёхмерным. Но с построением аналогий тут не всё так просто! Если вам понравится эта тема, я напишу отдельно про другие формулировки и обобщения расслоения Хопфа.
#ёжик_пишет #топология
Идея четвёртого измерения с самого своего появления не оставляла равнодушными ни учёных, ни писателей и художников, ни эзотериков. Художникам тяжелее всего: его нельзя увидеть. Для математиков это тоже трагедия, но мы не смиряемся и вытаскиваем из четырёхмерного пространства трёхмерные сечения и проекции разных фигур. Этим попытки визуализации невизуализируемого не ограничиваются, и сегодня мы посмотрим, как принято изображать доступными средствами расслоение Хопфа. Это довольно красивая, известная и даже полезная в квантовой физике штука. Однако я на него наткнулась только недавно благодаря моему ученику. В очередной раз подумала, насколько же странные вещи могут вызвать восторг у математика.
Расслоение было описано в работе Хайнца Хопфа 1931 г. Это отображение, которое сопоставляет точкам гиперсферы (далее – 3-сфера) единичного радиуса, живущей в четырёхмерном пространстве ℂ², точки обычной, двумерной единичной сферы в трёхмерном пространстве ℂ×ℝ, по следующему правилу:
p(z₁,z₂)=(2z₁z₂*, |z₁|²-|z₂|²)
(* - комплексное сопряжение). Как видим, все точки вида (θz₁,θz₂), где θ – все комплексные числа с единичным модулем, имеют одинаковый образ. Обратное тоже верно: если две точки имеют одинаковый образ, они пропорциональны с каким-то единичным комплексным коэффициентом. Множество всех пропорциональных точек 3-сферы образует в четырёхмерном пространстве 1-сферу, обычную плоскую единичную окружность. Из этих окружностей и состоит вся 3-сфера. Никакие две из них не пересекаются, отсюда и название: каждая окружность является слоем, и 3-сфера по ним «расслоилась». На английском название fibration ещё более подходящее, на мой взгляд. Fiber – это ниточка, или волокно в ткани. Получается, что расслоение Хопфа можно также трактовать как биекцию между точками 2-сферы и семейством окружностей на 3-сфере.
Для визуализации принято всё тем же точкам 2-сферы сопоставлять окружности в трёхмерном пространстве. Здесь они будут разных радиусов, не только единичные. Северному полюсу пусть соответствует единичная окружность в плоскости xOy с центром в начале координат (Рис.1). Чем меньше широта точки, тем больше радиус соответствующей ей окружности и угол, под которым она наклонена к плоскости xOy, для южного полюса окружность вырождается в ось z (Рис.2). Окружности, соответствующие точкам с одинаковыми широтами, переводятся друг в друга поворотом вокруг оси z и все вместе образуют тор (Рис.3). Образы всех точек сферы заполняют всё пространство R3 и не пересекаются друг с другом (Рис.4). Казалось бы, построили совершенно другую биекцию, какая тут связь с Хопфом?
Главное здесь то, что каждые две нарисованных нами окружности сцеплены друг с другом (то есть имеют коэффициент зацепления 1. Топологически это существенно отличается от случая, если бы мы просто заполнили всё пространство параллельными друг другу окружностями с центрами на одной прямой). Именно такое положение на 3-сфере характерно для окружностей Хопфа, и в этом и состояла значимость построенного им расслоения для алгебры и топологии. Получается, несмотря на невозможность увидеть окружности в четырёхмерном пространстве, мы всё же имеем очень важную подробность об их взаимном расположении.
В комментариях к посту оставлю ссылку на сайт, на котором можно побаловаться с рисованием окружностей Хопфа.
Мне, честно говоря, понять явления в многомерных пространствах легче через аналогии с двух- и трёхмерным. Но с построением аналогий тут не всё так просто! Если вам понравится эта тема, я напишу отдельно про другие формулировки и обобщения расслоения Хопфа.
#ёжик_пишет #топология