Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://etudes.ru/etudes/Lobachevskian-geometry-Poincare-disk-model/
у Мат. Этюдов недавно появились разные картинки и разговоры на тему [модели Пуанкаре] плоскости Лобачевского
в частности, можно смотреть на разные замощения плоскости Лобаческого одинаковыми правильными многоугольниками
у Мат. Этюдов недавно появились разные картинки и разговоры на тему [модели Пуанкаре] плоскости Лобачевского
в частности, можно смотреть на разные замощения плоскости Лобаческого одинаковыми правильными многоугольниками
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://math.ucr.edu/home/baez/klein.html
замощения сферы одинаковым правильными сферическими многоугольниками соответствуют правильным многогранникам
а что хорошего можно сделать из замощений плоскости Лобачевского?
если правильным образом их покрасить, а потом отождествить части одного цвета, можно получить интересные римановы поверхности
по ссылке объясняется, например, как таким образом получить квартику Клейна
замощения сферы одинаковым правильными сферическими многоугольниками соответствуют правильным многогранникам
а что хорошего можно сделать из замощений плоскости Лобачевского?
если правильным образом их покрасить, а потом отождествить части одного цвета, можно получить интересные римановы поверхности
по ссылке объясняется, например, как таким образом получить квартику Клейна
Forwarded from Непрерывное математическое образование
почитать про нее можно в сборнике «The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve» https://library2.msri.org/books/Book35/contents.html
(в него входит, в частности, известная статья N.Elkies. The Klein Quartic in Number Theory)
(в него входит, в частности, известная статья N.Elkies. The Klein Quartic in Number Theory)
Математические байки
https://math.ucr.edu/home/baez/klein.html замощения сферы одинаковым правильными сферическими многоугольниками соответствуют правильным многогранникам а что хорошего можно сделать из замощений плоскости Лобачевского? если правильным образом их покрасить…
Квартика Клейна: абажур в CIRM-е (и этикетка-описание-пояснение к нему)
Кажется, я об этом ещё не писал, а между тем, у Мат.Этюдов за прошедшие полгода много чего появилось.
1) Раздел с материалами для игротек: https://etudes.ru/mathgrounds/
Если вдруг про «лабиринты» (https://etudes.ru/mathgrounds/labyrinths/ ) кажется, что будет банальность — нет, они с интересными правилами!
И вырезания из листа бумаги тоже интересные — там есть и вырезание длинного «ожерелья», и то разрезание склеенных листов Мёбиуса, при котором получаются два сердца! (Я про этот сюжет узнал когда-то от Тадаси Токиэды.)
1) Раздел с материалами для игротек: https://etudes.ru/mathgrounds/
Если вдруг про «лабиринты» (https://etudes.ru/mathgrounds/labyrinths/ ) кажется, что будет банальность — нет, они с интересными правилами!
И вырезания из листа бумаги тоже интересные — там есть и вырезание длинного «ожерелья», и то разрезание склеенных листов Мёбиуса, при котором получаются два сердца! (Я про этот сюжет узнал когда-то от Тадаси Токиэды.)
Математические байки
Кажется, я об этом ещё не писал, а между тем, у Мат.Этюдов за прошедшие полгода много чего появилось. 1) Раздел с материалами для игротек: https://etudes.ru/mathgrounds/ Если вдруг про «лабиринты» (https://etudes.ru/mathgrounds/labyrinths/ ) кажется, что…
И непериодический паркет (с той самой, недавно открытой, «шляпой Эйнштейна» — плиткой, из которой паркет можно сделать только непериодическим) у них тоже есть: https://etudes.ru/mathgrounds/aperiodic-tiling/
2) Раздел про три геометрии —
https://etudes.ru/etudes/Euclidean-spherical-Lobachevskian-geometries/ —
с плакатами (и файлами для скачивания!).
И интерактивный раздел, где в модели Пуанкаре в диске можно с геометрией Лобачевского поэкспериментировать —
https://etudes.ru/etudes/Lobachevskian-geometry-Poincare-disk-model/ ; если справа-сверху у рисунка есть мышка с подсвеченной левой кнопкой — точки на нём можно двигать!
На скриншотах: пучок прямых, проходящих через жёлтую точку и не пересекающих белую; иллюстрации к повороту и к гиперболическому движению (сдвиг вдоль прямой); и — паркет из одинаковых правильных треугольников, сходящихся по 7 в каждой вершине + двойственный паркет из правильных семиугольников.
https://etudes.ru/etudes/Euclidean-spherical-Lobachevskian-geometries/ —
с плакатами (и файлами для скачивания!).
И интерактивный раздел, где в модели Пуанкаре в диске можно с геометрией Лобачевского поэкспериментировать —
https://etudes.ru/etudes/Lobachevskian-geometry-Poincare-disk-model/ ; если справа-сверху у рисунка есть мышка с подсвеченной левой кнопкой — точки на нём можно двигать!
На скриншотах: пучок прямых, проходящих через жёлтую точку и не пересекающих белую; иллюстрации к повороту и к гиперболическому движению (сдвиг вдоль прямой); и — паркет из одинаковых правильных треугольников, сходящихся по 7 в каждой вершине + двойственный паркет из правильных семиугольников.
Forwarded from Математические этюды
https://etudes.ru/etudes/Dandelin-spheres/
Шары касаются эллипса в его фокусах!
С наступающим Новым годом! Счастья, тепла, радости и, конечно, новых интересных математических сюжетов, а кому-то — и новых хороших теорем!
Шары касаются эллипса в его фокусах!
С наступающим Новым годом! Счастья, тепла, радости и, конечно, новых интересных математических сюжетов, а кому-то — и новых хороших теорем!
Forwarded from Olimpiada.ru
📚 Сергей Валерьевич Маркелов был популяризатором науки, организатором и составителем заданий Математического праздника, автором задач Московской олимпиады школьников по математике, Турнира Городов, Турнира Ломоносова, Олимпиады по геометрии им. И.Ф. Шарыгина.
⭐️ Коллеги собрали несколько его увлекательных заданий, попробуйте решить их и вы: olimpiada.ru/article/1161
⭐️ Коллеги собрали несколько его увлекательных заданий, попробуйте решить их и вы: olimpiada.ru/article/1161
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://mccme.ru/nir/seminar/index24.htm#markelov
16 января на семинаре учителей математики будет мини-конференция, посвященная памяти Сергея Маркелова (1976–2024)
МЦНМО, с 17:45 (расписание на сайте)
приглашаются все желающие — и в этот раз возможно семинар будет интересен и старшеклассникам
16 января на семинаре учителей математики будет мини-конференция, посвященная памяти Сергея Маркелова (1976–2024)
МЦНМО, с 17:45 (расписание на сайте)
приглашаются все желающие — и в этот раз возможно семинар будет интересен и старшеклассникам
Сумма внутренних углов треугольника равна π (ну или 180 градусам). Разрезав n-угольник на треугольники — легко доказать, что для него сумма равна π(n-2).
На самом деле — и то, и другое это проявление того, что сумма внешних углов равна 2π, полному обороту. (Если многоугольник выпуклый, то буквально так, если невыпуклый, то с учётом знаков.)
Потому что — представим себе, что мы обходим вокруг многоугольного забора на плоскости. В каждой вершине мы как раз поворачиваемся на соответствующий внешний угол, а суммарно делаем полный оборот.
На скриншотах — модель с сайта Математических Этюдов, иллюстрирующая это: секторы-внешние углы параллельно переносятся в одно место и собираются в полный угол.
На самом деле — и то, и другое это проявление того, что сумма внешних углов равна 2π, полному обороту. (Если многоугольник выпуклый, то буквально так, если невыпуклый, то с учётом знаков.)
Потому что — представим себе, что мы обходим вокруг многоугольного забора на плоскости. В каждой вершине мы как раз поворачиваемся на соответствующий внешний угол, а суммарно делаем полный оборот.
На скриншотах — модель с сайта Математических Этюдов, иллюстрирующая это: секторы-внешние углы параллельно переносятся в одно место и собираются в полный угол.