Ещё два скриншота из статьи Табачникова. Если пересказывать — отображение внешнего бильярда для правильного пятиугольника в некоторых областях на плоскости оказывается периодичным. Но между ними возникает «паутина» непериодических траекторий.
И объяснение тут — это своего рода «самоподобие» получающейся динамики. А именно — для простоты отождествим точки плоскости, отличающиеся на поворот на 2π/5, сохраняющий исходный правильный пятиугольник. Посмотрим на аккуратно выбранную область, четырёхугольник OKNM; с точностью до этого отождествления она просто переходит в себя. Посмотрим, как перекладываются её кусочки — как работает соответствующее отображение T. Вертикальный треугольник OKL поворачивается (поворотом вокруг U) в горизонтальный RMO, а тупоугольный MLN возвращается (поворотом вокруг V) обратно, в NRK.
(Скриншоты из той же статьи: С. Л. Табачников, “Внешние биллиарды”, УМН, 48:6(294) (1993), 75–102)
(Скриншоты из той же статьи: С. Л. Табачников, “Внешние биллиарды”, УМН, 48:6(294) (1993), 75–102)
И если такое отображение T на OKNM применить несколько раз — то в его кусочках за несколько применений появляется опять такое же отображение T, с точностью до гомотетии!
(Точнее, на одном треугольнике нужно сделать 7 шагов, на другом 3, но это уже детали…)
Отсюда и следует самоподобие (и вообще непустота) множества непериодических траекторий — ведь можно такое увеличение применять «до бесконечности».
И к этому относится абзац из Шварца:
Theorem 6.4 is proved by establishing that the first return map to a certain triangular region T in the plane is a renormalizable polygon exchange map. In this case, this means that the first return map to some smaller triangle T’⊂T is conjugate, via a similarity, to the first return map to T.
(Точнее, на одном треугольнике нужно сделать 7 шагов, на другом 3, но это уже детали…)
Отсюда и следует самоподобие (и вообще непустота) множества непериодических траекторий — ведь можно такое увеличение применять «до бесконечности».
И к этому относится абзац из Шварца:
Theorem 6.4 is proved by establishing that the first return map to a certain triangular region T in the plane is a renormalizable polygon exchange map. In this case, this means that the first return map to some smaller triangle T’⊂T is conjugate, via a similarity, to the first return map to T.
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
Математические байки
Можно?
Давайте я дам ответ — и объясню, почему он именно такой.
Треугольник «перевернуть» разрезаниями и перекладываниями нельзя. Как обычно, чтобы доказать, что что-то сделать нельзя, нужно придумать какой-то инвариант. Давайте посмотрим у многоугольника на длины его горизонтальных сторон. Сложим их со знаком: с плюсом, если внутренняя часть многоугольника лежит сверху от стороны, и с минусом, если снизу. Наконец, если у нас есть несколько многоугольников — сложим такие суммы длин для них для всех. Обозначим такую величину для набора F фигур через J_{гор.}(F).
Утверждение: получающаяся величина сохраняется как при параллельном переносе, так и при разрезании многоугольника на части.
Доказательство. Первое очевидно, а при проведении горизонтального разреза он даёт равный вклад с плюсом и с минусом — и потому сумма не изменяется.
Так что сумма J_{гор.}(F) — инвариант. И этот инвариант разный для треугольников вершинами вверх и вниз — он как раз отличается знаком.
Естественно, можно брать не только горизонтальные стороны, а стороны любого фиксированного направления L. Так что получается целый набор таких инвариантов Хадвигера J_L(F) — которые можно объединить в один, но векторный (со значениями в функциях из направлений в числа, не равных нулю лишь в конечном числе значений).
Треугольник «перевернуть» разрезаниями и перекладываниями нельзя. Как обычно, чтобы доказать, что что-то сделать нельзя, нужно придумать какой-то инвариант. Давайте посмотрим у многоугольника на длины его горизонтальных сторон. Сложим их со знаком: с плюсом, если внутренняя часть многоугольника лежит сверху от стороны, и с минусом, если снизу. Наконец, если у нас есть несколько многоугольников — сложим такие суммы длин для них для всех. Обозначим такую величину для набора F фигур через J_{гор.}(F).
Утверждение: получающаяся величина сохраняется как при параллельном переносе, так и при разрезании многоугольника на части.
Доказательство. Первое очевидно, а при проведении горизонтального разреза он даёт равный вклад с плюсом и с минусом — и потому сумма не изменяется.
Так что сумма J_{гор.}(F) — инвариант. И этот инвариант разный для треугольников вершинами вверх и вниз — он как раз отличается знаком.
Естественно, можно брать не только горизонтальные стороны, а стороны любого фиксированного направления L. Так что получается целый набор таких инвариантов Хадвигера J_L(F) — которые можно объединить в один, но векторный (со значениями в функциях из направлений в числа, не равных нулю лишь в конечном числе значений).
Математические байки
Давайте я дам ответ — и объясню, почему он именно такой. Треугольник «перевернуть» разрезаниями и перекладываниями нельзя. Как обычно, чтобы доказать, что что-то сделать нельзя, нужно придумать какой-то инвариант. Давайте посмотрим у многоугольника на длины…
А вот у квадрата, как бы он ни был расположен, инвариант Хадвигера нулевой. Так что, как минимум, препятствий к тому, чтобы его повернуть на какой-нибудь угол, нет.
Так вот — это и впрямь можно сделать. А именно — давайте сначала посмотрим на переформулировку теоремы Пифагора: если на катетах и гипотенузе прямоугольного треугольника построить по квадрату, то сумма площадей меньших квадратов равна площади большего. И это можно доказать, разрезая меньшие квадраты, передвигая части и собрав из них больший, и не используя повороты!
После чего — можно разрезать большой квадрат на два маленьких, и собрать из них обратно большой, но уже повёрнутый: см. иллюстрацию.
(image credit: Yves Coudène, Un triangle et une énigme, Images de Mathématiques.)
И это — частный случай теоремы Хадвигера—Глюра, утверждающей, что площадь S(F) и набор инвариантов Хадвигера J_L(F) это и есть полный инвариант для операций разрезания и параллельного сдвига частей.
Так вот — это и впрямь можно сделать. А именно — давайте сначала посмотрим на переформулировку теоремы Пифагора: если на катетах и гипотенузе прямоугольного треугольника построить по квадрату, то сумма площадей меньших квадратов равна площади большего. И это можно доказать, разрезая меньшие квадраты, передвигая части и собрав из них больший, и не используя повороты!
После чего — можно разрезать большой квадрат на два маленьких, и собрать из них обратно большой, но уже повёрнутый: см. иллюстрацию.
(image credit: Yves Coudène, Un triangle et une énigme, Images de Mathématiques.)
И это — частный случай теоремы Хадвигера—Глюра, утверждающей, что площадь S(F) и набор инвариантов Хадвигера J_L(F) это и есть полный инвариант для операций разрезания и параллельного сдвига частей.
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://www.simonsfoundation.org/2024/05/10/simons-foundation-co-founder-mathematician-and-investor-jim-simons-dies-at-86/
Jim Simons (25.04.1938–10.05.2024)
«Jim (as he preferred to be called) was an award-winning mathematician, a legend in quantitative investing, and an inspired and generous philanthropist…»
Jim Simons (25.04.1938–10.05.2024)
«Jim (as he preferred to be called) was an award-winning mathematician, a legend in quantitative investing, and an inspired and generous philanthropist…»
Simons Foundation
Simons Foundation Co-Founder, Mathematician and Investor Jim Simons Dies at 86
Simons Foundation Co-Founder, Mathematician and Investor Jim Simons Dies at 86 on Simons Foundation
Forwarded from Непрерывное математическое образование
YouTube
Jim Simons (full length interview) - Numberphile
Shorter version: https://youtu.be/gjVDqfUhXOY
More about The Simons Foundation: http://bit.ly/SimonsFoundation
James Harris Simons has been described as "the world's smartest billionaire", amassing a fortune through the clever use of mathematics and computers.…
More about The Simons Foundation: http://bit.ly/SimonsFoundation
James Harris Simons has been described as "the world's smartest billionaire", amassing a fortune through the clever use of mathematics and computers.…
Forwarded from Кроссворд Тьюринга (Vanya Yakovlev)
Лекция про мурмурации эллиптических кривых уже завтра, 19:00 МСК!
🌼 Речь пойдет о недавно открытом и активно исследуемом феномене в теории чисел. Хочется поподробнее написать, о чем это и для кого. Я не специалист и, хоть и консультировался с Ниной, мог что-то напутать)
⭐️ Самый главный параметр эллиптической кривой — ее ранг. Для вычисления ранга по коэффициентам нету общего алгоритма. Кстати, с этим связана одна из проблем тысячелетия — гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера.
🔥 Во время Ковида математики He, Lee, Oliver, Pozdnyakov обработали базу из трёх миллионов эллиптических кривых, для которых ранг уже известен, методами анализа данных.
✨ Так нашли корреляции, визуально напоминающие мурмурации — синхронные движения скворцов или других птиц. Вот препринт 22 года.
🌿 Пришло время математического осмысления этой закономерности. Ключевой результат получен в прошлогодней статье Нины, ставшей основой ее диссертации.
📖 Лекция начнётся со введения в эллиптические кривые и модулярные формы. Это будет ликбез, доступный студенту или смелому школьнику. Нет цели все объяснить — это краткий обзор/напоминание про эти объекты.
НАЧАЛО завтра в 19:00 МСК. Ссылка на зум.
До встречи завтра!
PS. Нина защитилась в Принстоне в эту среду. Поздравляем!!!
#анонс #открытые_лекции #день_женщин
НАЧАЛО завтра в 19:00 МСК. Ссылка на зум.
До встречи завтра!
PS. Нина защитилась в Принстоне в эту среду. Поздравляем!!!
#анонс #открытые_лекции #день_женщин
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
К сегодняшней лекции Нины Зубрилиной — давайте я напишу пару слов про эллиптические кривые.
Пусть на плоскости нарисована кривая, задаваемая уравнением третьей степени, F(x,y)=0. И пусть эта кривая гладкая: без особых точек, как у «клюва»
y^2=x^3,
или точек самопересечения, как у
y^2=x^2(x+1).
Будем называть такую кривую эллиптической. Точнее, лучше рассматривать её не на обычной плоскости, а на проективной — добавив к ней точки на бесконечности.
На эллиптической кривой есть точки перегиба; если унести одну из них проективным преобразованием на бесконечность, переведя её в точку [0:1:0], а касательную в бесконечно удалённую прямую, то в уравнении из мономов степени 3 останется только x^3. После этого уже несложно (выделяя квадрат) перевести кривую в кривую вида
y^2= P(x),
где P — многочлен третьей степени, а потом и вида
y^2= x^3 + Ax+ B. (*)
Условие гладкости кривой превращается в отсутствие у P кратных корней — то есть в то, что его дискриминант ненулевой (да, дискриминант есть не только у квадратного уравнения!):
4A^3 + 27B^2 \neq 0.
Собственно, при первом знакомстве можно вообще взять (*) за определение [вообще-то, для замен выше нужно, чтобы характеристика поля была отлична от 2 и 3; но это можно пока замести под ковёр].
Я уже писал про эллиптические кривые несколько лет назад — см. тут и ниже. Первое, и самое основное — что точки на эллиптической кривой можно складывать, что они образуют коммутативную группу(!). И правило сложения очень простое: сумма трёх точек, лежащих на одной прямой, равна нулю. Как только ноль выбран — правильнее всего взять точку на бесконечности — сумма двух точек выглядит так: проводя прямую через две точки P и Q, мы находим третью точку пересечения -(P+Q); после этого, проведя прямую через эту точку и 0, находим третью точку пересечения — искомую сумму P+Q.
См. тут + брошюру Цфасмана и Острика (которую я очень люблю) https://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/#book-8 + статью Н. Васильева в Кванте http://kvant.mccme.ru/1987/08/geksagrammy_paskalya_i_kubiche.htm
Если у эллиптической кривой целые коэффициенты — то можно то же самое уравнение рассмотреть «по модулю p», получив эллиптическую кривую над полем F_p из p элементов. И тут оказывается, что это не только очень красивая геометрия, но и [около]прикладная вещь тоже — есть не только реализация протокола Диффи-Хеллмана обмена ключами через эллиптические кривые, но и алгоритм Ленстры разложения больших чисел на множители (я помню, как меня эта идея в своё время поразила: до того момента я наивно считал, что можно только делить, делить и делить, а тут — какая-то магия рациональных вычислений по модулю N, и вдруг из неё выпадает делитель!).
А ещё — доказательство теоремы Ферма тоже основано на эллиптических кривых!
В общем — эллиптические кривые это очень, очень важный и красивый объект, и с ними точно стоит познакомиться.
Пусть на плоскости нарисована кривая, задаваемая уравнением третьей степени, F(x,y)=0. И пусть эта кривая гладкая: без особых точек, как у «клюва»
y^2=x^3,
или точек самопересечения, как у
y^2=x^2(x+1).
Будем называть такую кривую эллиптической. Точнее, лучше рассматривать её не на обычной плоскости, а на проективной — добавив к ней точки на бесконечности.
На эллиптической кривой есть точки перегиба; если унести одну из них проективным преобразованием на бесконечность, переведя её в точку [0:1:0], а касательную в бесконечно удалённую прямую, то в уравнении из мономов степени 3 останется только x^3. После этого уже несложно (выделяя квадрат) перевести кривую в кривую вида
y^2= P(x),
где P — многочлен третьей степени, а потом и вида
y^2= x^3 + Ax+ B. (*)
Условие гладкости кривой превращается в отсутствие у P кратных корней — то есть в то, что его дискриминант ненулевой (да, дискриминант есть не только у квадратного уравнения!):
4A^3 + 27B^2 \neq 0.
Собственно, при первом знакомстве можно вообще взять (*) за определение [вообще-то, для замен выше нужно, чтобы характеристика поля была отлична от 2 и 3; но это можно пока замести под ковёр].
Я уже писал про эллиптические кривые несколько лет назад — см. тут и ниже. Первое, и самое основное — что точки на эллиптической кривой можно складывать, что они образуют коммутативную группу(!). И правило сложения очень простое: сумма трёх точек, лежащих на одной прямой, равна нулю. Как только ноль выбран — правильнее всего взять точку на бесконечности — сумма двух точек выглядит так: проводя прямую через две точки P и Q, мы находим третью точку пересечения -(P+Q); после этого, проведя прямую через эту точку и 0, находим третью точку пересечения — искомую сумму P+Q.
См. тут + брошюру Цфасмана и Острика (которую я очень люблю) https://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/#book-8 + статью Н. Васильева в Кванте http://kvant.mccme.ru/1987/08/geksagrammy_paskalya_i_kubiche.htm
Если у эллиптической кривой целые коэффициенты — то можно то же самое уравнение рассмотреть «по модулю p», получив эллиптическую кривую над полем F_p из p элементов. И тут оказывается, что это не только очень красивая геометрия, но и [около]прикладная вещь тоже — есть не только реализация протокола Диффи-Хеллмана обмена ключами через эллиптические кривые, но и алгоритм Ленстры разложения больших чисел на множители (я помню, как меня эта идея в своё время поразила: до того момента я наивно считал, что можно только делить, делить и делить, а тут — какая-то магия рациональных вычислений по модулю N, и вдруг из неё выпадает делитель!).
А ещё — доказательство теоремы Ферма тоже основано на эллиптических кривых!
В общем — эллиптические кривые это очень, очень важный и красивый объект, и с ними точно стоит познакомиться.
Telegram
Математические байки
Пусть на плоскости нарисована кривая, задаваемая уравнением третьей степени — F(x,y)=0 — и пусть она гладкая: без особых точек, как у « клюва » y^2=x^3, или самопересечения, как у
y^2=x^2(x+1).
Будем называть такую кривую эллиптической.
y^2=x^2(x+1).
Будем называть такую кривую эллиптической.
Давайте я (для начала) вспомню совсем классический сюжет: векторые поля на плоскости, их особые точки и индексы.
Пусть задано какое-то векторное поле v на плоскости: в каждой её точке x\in R^2 непрерывным образом выбран вектор v(x)\in R^2.
Пусть у нас есть замкнутая ориентированная кривая \gamma, не проходящая через нули поля v — их называют особыми точками. Тогда мы можем определить индекс векторного поля v вдоль этой кривой,
ind_\gamma (v).
А именно: пойдём вдоль \gamma и будем смотреть, сколько оборотов (с учётом знака) сделает вектор v(.) к моменту, когда мы пройдём всю кривую и вернёмся в исходную точку.
Можно себе представить, что векторное поле v показывает, как в этой области дует ветер, а мы ходим по нашему любимому маршруту \gamma с флюгером и смотрим, сколько оборотов он сделает. Важно, что это — целое число: при обходе мы вернулись в исходную точку, значит, вектор вернулся в исходное положение.
Упражнение: найдите индекс векторного поля вдоль синей кривой на картинке.
Ответ:2.
Пусть задано какое-то векторное поле v на плоскости: в каждой её точке x\in R^2 непрерывным образом выбран вектор v(x)\in R^2.
Пусть у нас есть замкнутая ориентированная кривая \gamma, не проходящая через нули поля v — их называют особыми точками. Тогда мы можем определить индекс векторного поля v вдоль этой кривой,
ind_\gamma (v).
А именно: пойдём вдоль \gamma и будем смотреть, сколько оборотов (с учётом знака) сделает вектор v(.) к моменту, когда мы пройдём всю кривую и вернёмся в исходную точку.
Можно себе представить, что векторное поле v показывает, как в этой области дует ветер, а мы ходим по нашему любимому маршруту \gamma с флюгером и смотрим, сколько оборотов он сделает. Важно, что это — целое число: при обходе мы вернулись в исходную точку, значит, вектор вернулся в исходное положение.
Упражнение: найдите индекс векторного поля вдоль синей кривой на картинке.
Ответ:
А раз индекс — целое число, то к нему применим общий топологический принцип: «пока целое число меняется непрерывно — оно остаётся постоянным».
Поэтому, если непрерывно менять \gamma и v — так, чтобы ни в какой момент на \gamma не попадали особые точки v — то индекс меняться не будет.
В частности, у каждой изолированной особой точки p этого поля тоже есть индекс
\ind_p v:
это индекс векторного поля при обходе вокруг особой точки по маленькой окружности в положительном направлении. И поскольку такие обходы можно продеформировать друг в друга, не задевая других особых точек v (на то и условие малости и изолированности), индекс от выбора маленькой окружности обхода не зависит.
Поэтому, если непрерывно менять \gamma и v — так, чтобы ни в какой момент на \gamma не попадали особые точки v — то индекс меняться не будет.
В частности, у каждой изолированной особой точки p этого поля тоже есть индекс
\ind_p v:
это индекс векторного поля при обходе вокруг особой точки по маленькой окружности в положительном направлении. И поскольку такие обходы можно продеформировать друг в друга, не задевая других особых точек v (на то и условие малости и изолированности), индекс от выбора маленькой окружности обхода не зависит.
Пусть теперь у векторного поля в какой-то области D все особые точки изолированные. Посмотрим на его индекс вдоль границы \gamma=∂D этой области.
Если «сдуть» D (как воздушный шарик), не давая её границе перескакивать через особые точки v — то останутся как раз обходы вокруг этих особых точек, да плюс пути между ними туда-обратно, которые дают сокращающийся вклад. Так что верна такая замечательная
Теорема. Индекс векторного поля по [положительно ориентированной] границе области равен сумме индексов его особых точек в этой области,
ind_{∂D} v = \sum_{p: v(p)=0} ind_p v.
Если «сдуть» D (как воздушный шарик), не давая её границе перескакивать через особые точки v — то останутся как раз обходы вокруг этих особых точек, да плюс пути между ними туда-обратно, которые дают сокращающийся вклад. Так что верна такая замечательная
Теорема. Индекс векторного поля по [положительно ориентированной] границе области равен сумме индексов его особых точек в этой области,
ind_{∂D} v = \sum_{p: v(p)=0} ind_p v.
Ещё одно применение логики деформации — это
Теорема о даме с собачкой: если для двух векторных полей u, v в любой точек кривой γ выполнено |u(x)|>|v(x)|, то
ind_γ u = ind_γ (u+v).
Действительно, соединим поля u и u+v путём u_t=u+tv, где «время» t\in [0,1]. Ни в какой момент на γ нет особых точек u_t (ибо |u|>|v|), так что индекс при деформации не меняется. Значит, индексы начального поля u и конечного u+v равны.
Кстати, на этом пути можно доказать основную теорему алгебры. Действительно, комплексный многочлен P(z) тоже можно рассматривать как векторное поле: в точке z\in C = R^2 ставим вектор P(z)\in C = R^2.
Рассмотрим теперь огромную окружность γ_R = { |z|=R }.
На ней старший моном z^n сильно больше, чем все остальные. Значит, можно применить теорему о даме с собачкой: индексы вдоль γ_R полей, задаваемых z^n и полным многочленом P, совпадают.
Но \arg z^n = n \arg z, так что индекс z^n равен n.
Значит, особые точки — корни многочлена P — внутри γ_R есть!
Собственно, индекс особой точки такого поля равен её кратности как нуля P, так что сумма кратностей корней сразу получается равной n.
Вот тут у Г. А. Мерзона выложен листок с задачами про всё это —
см. https://dev.mccme.ru/~merzon/v14/pscache/31d-vector_fields.pdf
Теорема о даме с собачкой: если для двух векторных полей u, v в любой точек кривой γ выполнено |u(x)|>|v(x)|, то
ind_γ u = ind_γ (u+v).
Действительно, соединим поля u и u+v путём u_t=u+tv, где «время» t\in [0,1]. Ни в какой момент на γ нет особых точек u_t (ибо |u|>|v|), так что индекс при деформации не меняется. Значит, индексы начального поля u и конечного u+v равны.
Кстати, на этом пути можно доказать основную теорему алгебры. Действительно, комплексный многочлен P(z) тоже можно рассматривать как векторное поле: в точке z\in C = R^2 ставим вектор P(z)\in C = R^2.
Рассмотрим теперь огромную окружность γ_R = { |z|=R }.
На ней старший моном z^n сильно больше, чем все остальные. Значит, можно применить теорему о даме с собачкой: индексы вдоль γ_R полей, задаваемых z^n и полным многочленом P, совпадают.
Но \arg z^n = n \arg z, так что индекс z^n равен n.
Значит, особые точки — корни многочлена P — внутри γ_R есть!
Собственно, индекс особой точки такого поля равен её кратности как нуля P, так что сумма кратностей корней сразу получается равной n.
Вот тут у Г. А. Мерзона выложен листок с задачами про всё это —
см. https://dev.mccme.ru/~merzon/v14/pscache/31d-vector_fields.pdf
Продолжим?
Представим себе, что у нас векторное поле v задано не на плоскости, а на какой-то ориентированной поверхности S — сфере, торе, кренделе, и т. д. То есть нам дана поверхность S, и в каждой точке p\in S задан вектор v(p), касательный к S в этой точке. Если брать аналогию с векторным полем как набором скоростей ветра — то ветер не дует ни вверх, ни вниз, а в каждой точке по касательной к Земле в этой точке.
Теперь, если кривая γ «большая», мы не можем сравнивать направления векторов в разных её точках — касательные плоскости в них разные. А вот если она нам задана вместе с картой, целиком кривую содержащей — тогда можно перенести векторное поле на карту, и индекс опять определён. И от выбора карты результат будет зависеть: индекс векторного поля вдоль экватора, посчитанный с помощью карты-северного полушария, отличается от индекса, посчитанного в южном полушарии.
Но индекс особой точки всё ещё определён (ибо маленькая окружность заключена в карте).
Так вот, есть такое замечательное утверждение:
Предложение. Сумма индексов особых точек векторного поля на S, у которого особых точек конечное число — от выбора такого поля не зависит.
Набросок доказательства. Если деформировать поля друг в друга, оставаясь в классе полей с изолированными особыми точками, то сумма остаётся постоянной в процессе деформации. Действительно, в любой момент разрежем поверхность на маленькие кусочки, границы которых в текущий момент не проходят через особые точки поля. Тогда, в силу теоремы о сумме индексов, вся сумма равна сумме индексов по границам кусочков (закрываемых картами, содержащими кусочки целиком). А каждый из таких индексов при малом возмущении не меняется. Так что сумма индексов — локально-постоянная функция; а значит, она и просто константа.
Остаётся убедиться, что любые два поля перетаскиваются одно в другое. Ну и для этого можно сначала соединить любые два векторных поля u и v просто отрезком
u_t(p)=t*u(p) + (1-t)*v(p), t\in [0,1].
А потом, если этот путь от u_0=u к u_1=v не работает (в какой-то момент t у поля u_t есть неизолированные особые точки), возмутить его, заменив на близкий, но «типичный»: наличие неизолированной особой точки это очень, очень сильное вырождение.
А чему равна эта сумма? Ответ очень красивый:
Теорема Пуанкаре-Хопфа. Сумма индексов особых точек векторного поля с изолированными особыми точками на замкнутом ориентированном многообразии M равна эйлеровой характеристике многообразия χ(M).
(Она справедлива для любой размерности M, но у нас пока что индекс точки определён только для поверхности, так что давайте я пока продолжу, как будто M это поверхность.)
Доказательство. Мы уже убедились, что сумма не зависит от выбора поля. Остаётся построить поле, у которого ответ будет точно равен χ(M). Давайте триангулируем M и возьмём поле, у которого особые точки — по одному источнику в центре каждого треугольника, по седловой точке в середине каждого ребра, и по стоку в каждой вершине триангуляции (см. рис. ниже).
Индексы источника и стока равны по +1, у седловой точки он (-1), так что сумма индексов как раз и будет равна эйлеровой характеристике,
В-Р+Г= χ(M).
Собственно, мы только что доказали теорему о причёсывании ежа: эйлерова характеристика сферы равна 2 (классическая формула Эйлера для многогранников, В-Р+Г=2 !), так что сумма индексов особых точек должна быть равна 2. И значит, хотя бы одна особая точка должна быть (сумма пустого множества равна 0).
Представим себе, что у нас векторное поле v задано не на плоскости, а на какой-то ориентированной поверхности S — сфере, торе, кренделе, и т. д. То есть нам дана поверхность S, и в каждой точке p\in S задан вектор v(p), касательный к S в этой точке. Если брать аналогию с векторным полем как набором скоростей ветра — то ветер не дует ни вверх, ни вниз, а в каждой точке по касательной к Земле в этой точке.
Теперь, если кривая γ «большая», мы не можем сравнивать направления векторов в разных её точках — касательные плоскости в них разные. А вот если она нам задана вместе с картой, целиком кривую содержащей — тогда можно перенести векторное поле на карту, и индекс опять определён. И от выбора карты результат будет зависеть: индекс векторного поля вдоль экватора, посчитанный с помощью карты-северного полушария, отличается от индекса, посчитанного в южном полушарии.
Но индекс особой точки всё ещё определён (ибо маленькая окружность заключена в карте).
Так вот, есть такое замечательное утверждение:
Предложение. Сумма индексов особых точек векторного поля на S, у которого особых точек конечное число — от выбора такого поля не зависит.
Набросок доказательства. Если деформировать поля друг в друга, оставаясь в классе полей с изолированными особыми точками, то сумма остаётся постоянной в процессе деформации. Действительно, в любой момент разрежем поверхность на маленькие кусочки, границы которых в текущий момент не проходят через особые точки поля. Тогда, в силу теоремы о сумме индексов, вся сумма равна сумме индексов по границам кусочков (закрываемых картами, содержащими кусочки целиком). А каждый из таких индексов при малом возмущении не меняется. Так что сумма индексов — локально-постоянная функция; а значит, она и просто константа.
Остаётся убедиться, что любые два поля перетаскиваются одно в другое. Ну и для этого можно сначала соединить любые два векторных поля u и v просто отрезком
u_t(p)=t*u(p) + (1-t)*v(p), t\in [0,1].
А потом, если этот путь от u_0=u к u_1=v не работает (в какой-то момент t у поля u_t есть неизолированные особые точки), возмутить его, заменив на близкий, но «типичный»: наличие неизолированной особой точки это очень, очень сильное вырождение.
А чему равна эта сумма? Ответ очень красивый:
Теорема Пуанкаре-Хопфа. Сумма индексов особых точек векторного поля с изолированными особыми точками на замкнутом ориентированном многообразии M равна эйлеровой характеристике многообразия χ(M).
(Она справедлива для любой размерности M, но у нас пока что индекс точки определён только для поверхности, так что давайте я пока продолжу, как будто M это поверхность.)
Доказательство. Мы уже убедились, что сумма не зависит от выбора поля. Остаётся построить поле, у которого ответ будет точно равен χ(M). Давайте триангулируем M и возьмём поле, у которого особые точки — по одному источнику в центре каждого треугольника, по седловой точке в середине каждого ребра, и по стоку в каждой вершине триангуляции (см. рис. ниже).
Индексы источника и стока равны по +1, у седловой точки он (-1), так что сумма индексов как раз и будет равна эйлеровой характеристике,
В-Р+Г= χ(M).
Собственно, мы только что доказали теорему о причёсывании ежа: эйлерова характеристика сферы равна 2 (классическая формула Эйлера для многогранников, В-Р+Г=2 !), так что сумма индексов особых точек должна быть равна 2. И значит, хотя бы одна особая точка должна быть (сумма пустого множества равна 0).
Wikipedia
Poincaré–Hopf theorem
theorem relating the Euler characteristic of a closed manifold to the number of zeros of a vector field on it