В университете был семинар Колмогорова для младших курсов. Он сформулировал нам задачи и уехал во Францию на семестр. После этого, вернувшись из Франции, он спросил: "Ну как, решили мои задачи?". Я говорю: "Да, вот решил то-то то-то...". Колмогоров посмотрел и сказал: "Так вы решили проблему Гильберта!"


воспоминания В.И. Арнольда

Ехали мы в Ленинград «Стрелой», в поезде сразу легли спать и наутро проснулись рано. До Ленинграда оставалось еще, наверное, час с лишним. Вышли в коридор, чтобы не беспокоить разговором соседей по купе, стали у окна.
Это еще был самый начальный период нашего знакомства. Еще столько было незатронутых тем! В «предвкушении Русского музея» возникла тема всемирности русского искусства. Русская живопись XIX века, только ли для нас она?
Или есть в ней нечто, способное вызвать ответное чувство у человека, далекого от нашей истории, от наших проблем, от нашей повседневности? «Кого Вы больше всего любите?» - спросил Андрей Николаевич. Я назвал Левитана и Серова.
Андрей Николаевич отозвался о них благосклонно, особенно о Серове. Но всемирность?.. Что может значить Серов на фоне французской живописи, на фоне импрессионизма, которым мы, я и мои ровесники, были в буквальном смысле слова опалены! (Только что в Москве прошла первая выставка импрессионистов.) Я затруднился ответить.
Некоторое время разговор продолжался, а потом наступила естественная пауза. И вдруг Андрей Николаевич сказал, что, пока мы разговаривали тут о русском искусстве, он, кажется, сообразил, как различать по массивности аналитические функции от разного числа переменных. Именно так — идея пришла во время разговора!
И Андрей Николаевич вкратце изложил мне замысел, который (и также в конспективной форме) был несколько позже им реализован в виде заметки в «Докладах АН», названной «О линейной размерности топологических векторных пространств». А затем А. Н. утратил интерес к этой теме и вовсе не интересовался развитием нового, «перспективного», как потом стали говорить, научного направления, где происходили впоследствии яркие и занимательные события.


воспоминания В.М. Тихомирова об А.Н. Колмогорове («Слово об учителе»)

По мотивам пары замечательных — нет, правда, с офигительными участниками! — конференций.

Дорогие коллеги-организаторы!
Если (вдруг) предполагается, что бейджик нужен для облегчения знакомства участников, то:
1) Имя и ФАМИЛИЯ
участника там должны быть как можно крупнее. Да, вот прям на пол-бейджика по высоте. Потому что это самое важное. Название конференции, честно, потерпит хоть 12-й шрифт, его худо-бедно все помнят.
2) Если бейджик не на булавке/прищепке, а вешающийся на шею — содержание с двух сторон должно быть одинаково — да, вот прямо распечатать всё в двух экземплярах — или хотя бы просто быть.
Иначе ровно половина участников будет светить пустой стороной перевернувшегося бейджика.

Спасибо за внимание; навеяно наблюдениями за ходьбой по любимым граблям…

"Традиционно утверждается, что большинство результатов, которые формулируются в элементарных [математических] курсах, следует сопровождать полными доказательствами. Такая точка зрения представляется нам безнадежно устаревшей, нереалистичной и лицемерной."

Из статьи Вавилова/Халина/Юркова. "НЕБЕСА ПАДАЮТ: МАТЕМАТИКА ДЛЯ НЕМАТЕМАТИКОВ"

"Что нас больше всего раздражает в жрецах так называемой “элементарной математики”, так это их крючкотворство и мелочный педантизм. Нам, воспитанным профессиональными математиками, все их дебаты кажутся совершенно лишенными смысла и крайне искусственными."

"В действительности дело обстоит следующим образом. Наличие или отсутствие доказательств никак не влияет на доверие студентов к самим результатам. Мы думаем, что основная роль доказательств в лекциях и учебниках для нематематиков состоит в следующем:

∙ Убедить студента в том, что он правильно понимает формулировку.

∙ Уточнить смысл результата и его связь с другими результатами.

При обучении профессиональных математиков доказательства могут иметь и другие функции:

∙ Отработать общие приемы математических рассуждений (индукция, редукция, разбиение на случаи, общее положение, специализация, …) и стандартную технику в какой-либо конкретной области.

∙ Выработать привычку и вкус к точным рассуждениям как таковым, а также тренировать привычку сразу отличать предположения, свидетельства и догадки от твердо установленных фактов.

∙ Как говорят в Кембридже, to illustrate some of the tedium."

И много примеров как компьютерную алгебру можно применять.

Вышел «Квантик» №7, 2024

В магазине издательства:
https://biblio.mccme.ru/node/247555

https://old.kvantik.com/art/files/pdf/2013-10.6-9.pdf

сегодня пусть здесь будет статья Сергея Дориченко про чётность («Квантик» №10 за 2013 год)

А ещё у Сергея Дориченко, создателя и главного редактора Квантика, недавно был день рождения. И я хочу по этому поводу вспомнить его текст — с Котлетной и Апельсинной теоремами:
https://old.kvantik.com/art/files/pdf/2020-04.2-7.pdf

Сергей Александрович — с днём рождения, и спасибо Вам!

https://mccme.ru/dubna/2024/

приближается ЛШСМ-2024 (доступно расписание, анонсы курсов; планируются прямые трансляции большинства пленарных лекций)

утром в субботу всё начнется с лекции А.А.Разборова про арифметическую комбинаторику и лекции С.К.Смирнова про замощения

https://youtu.be/r257kL7UTsc

к юбилею М.А.Цфасмана пусть здесь будет запись его недавней лекции на ЛШСМ-2021 «Алгебраические числа, алгебраические кривые и плотные упаковки шаров»

https://youtu.be/tInOfndgesE

…или вот более популярные рассказы Михаила Анатольевича

https://www.youtube.com/live/fctLDA1Vnp8

24 июля на ЛШСМ в 11:15 Н.Ю.Решетихин будет рассказывать про димерные модели в статистической механике (или, говоря по-простому, про разбиения на доминошки)

https://www.youtube.com/live/UZ-imCoLcU0

25 июля в 15:30 — А.П.Веселов про алгебру многогранников и обращение рядов

Про разбиения на домино (в т.ч. случайные) можно для начала заглянуть в статью Кеньона и Окунькова в колокне «What is…» (и потом читать, например, Lectures on Dimers) или в статью В.Горина «Что можно сложить из кубиков?» в Кванте.

А про подсчет количества разбиений на домино полезно почитать статью М.Вялого в Мат. просвещении (и конкретно про ацтекский бриллиант объясняется, конечно, в одноименной брошюре Е.Смирнова, упоминавшейся здесь в начале года).

https://www.math.columbia.edu/~okounkov/AMScolloq.pdf

хочется напонить еще текст «Limit shapes, real and imaginary» Андрея Окунькова

«We are surrounded by random surfaces. In fact, every shape around us is random on a sufficiently small scale. The definite shapes that we perceive are manifestations of the law of large numbers that makes averages much larger than the fluctuations around them. Same law is at work e.g. with a balloon floating through the air. Our eyes trace out a smooth trajectory while air molecules hit the balloon randomly from all directions.

Can mathematical physics link the microscopic dynamics to the resulting macroscopic shape, say, for objects of inorganic natural origin? The endless variety of snowflake shapes produced by commonplace water under ordinary conditions illustrates how challenging this question is.

Yet, at or near equilibrium a successful theory explaining the macroscopic shape from the microscopic laws may be developed. It requires deep and powerful mathematics that we can only begin to explore it the course of 3 lectures. In turn, it impacts areas of mathematics that may seem very distant from equilibrium crystals or liquid droplets.

Mathematics and physics are full of random geometric objects, especially when surveyed with a trained eye. In dealing with them, the experience and intuition acquired in the study of equilibrium crystals can be very valuable.

***

The main goal of this lecture is to provide an accessible introduction to an area of mathematical physics that I, personally, find captivating. (…)»

ЛШСМ-2024: чуть больше, чем через час, в 9:30, начнётся лекция Ю. С. Ильяшенко про вывод законов Кеплера:
https://www.youtube.com/live/C8C4Uvazrgg

Случайные метрические графы

Вот вам для затравки небольшой сюжет, про теорему Фриза https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0166218X85900587

Я хз, можно ли его вывести из асимптотической теории, про которую написано ниже, но не удивлюсь, если так это и делается. Я вообще не знаю особо результатов из тервера, которые бы не доказывлись применением преобразования Лапласа/Фурье.

Рассмотрим полный граф на n вершинах и независимо припишем его ребрам случайные длины - из равномерного распределения на [0,1]. Тогда при n-->∞ длина минимального остовного дерева (MST) такого графа равна константе Апери ζ(3) (дзета-функции от 3, сумма обратных кубов натуральных чисел). Ну, более строгая формулировка, что для любого ε>0 вероятность того, что длина MST не лежит в интервале [ζ(3)-ε, ζ(3)+ε] стремится к нулю.

И так-то, когда в первый раз видишь эту теорему, думаешь, WTF? Если длина ребра в среднем равна 1/2, то казалось бы остовное дерево должно иметь длину что-то вроде n/2, почему она вообще констнанта.

Но тут, конечно, можно разобраться. У нас порядка n^2/2 ребер, случайно натыканных из отрезка. Ясно, что для минимального дерева нужно брать те ребра, которые покороче, их нужно n-1 штук. Но n самых коротких ребер будут кучковаться где-то в отрезке [0,1/n), поэтому сумма их длин получается порядка константы.

Отсюда неудивителен общий факт, доказанный Фризом. Условие, что длины ребер взяты из равномерного распределения - вообще не важно. Важно, что распределение длин F(x) удовлетворяет условию F'(0+0)=1. В общем случае (если F(0+0)=0), то длина MST равна ζ(3)*F'(0+0).

Таким образом, для глобального свойства - длины MST - важно только свойство распределения длин вблизи нуля. Как ведут себя длинные ребра - не важно, потому что они в MST просто не попадут.

То, что в пределе получается именно такая константа - безумно красивый результат, кмк. Довольно легко, кстати, прогается. Приятное поле для экспериментов.

Про геометрию вокруг законов Кеплера следует читать и пересказывать статью Гивенталя -- Kepler’s laws and conic sections (вышла в 2015 году в Арнольдовском математическом журнале).

Это вот про что: по ньютоновскому закону обратных квадратов точки двигаются по коническим сечениям. Это многие знают, некоторые даже могут доказать. Но как увидеть конус и сечение его плоскостью, связанный с орбитой? Обычно выводится уравнение конического сечения в полярных координатах (его уже не все помнят). Вот Гивенталь нашел этот конус и объяснил связь с геометрией конических сечений.

Сегодня, еще не зная про эту статью Гивенталя, проснулся с идеей: кто-то должен написать про это листочек для школьников. Обнаружив статью и предшествующее ей изложение результатов Гивенталя в обзоре Арнольда, Козлова и Нейштадта "Математические аспекты классической и небесной механики" понял: это в общем сделано!

Очень классная статья — A. Givental, Kepler’s Laws and Conic Sections, Arnold Math. J., 2016 (pre-print version: https://math.berkeley.edu/~giventh/kepler_091615.pdf , ref.: https://link.springer.com/article/10.1007/s40598-015-0030-6 ).

Вот главная картинка оттуда:

Давайте я перескажу это рассуждение. Вот из закона сохранения момента импульса (посчитанного, конечно, относительно Солнца) мы знаем, что орбита всегда лежит в одной плоскости — нормалью к которой вектор момента импульса и будет. Но это правда для любой центральной (направленной по радиусу) силы, не обязательно действующей по закону обратных квадратов.
А почему при законе тяготения орбиты получаются коническими сечениями? Как увидеть тот конус?

Гивенталь предлагает: раз орбита всё равно плоская, пусть это будет плоскость (x,y), и рассмотрим «виртуальное» трёхмерное пространство (x,y,r) с конусом
r^2 = x^2+y^2.
«Поднимем» орбиту на этот конус — над каждой точкой (x,y) рассмотрим соответствующую ей точку (x,y,r).
Теорема. Получающиеся точки все лежат в одной плоскости, проходящей через некоторую точку (0,0,l) — где величина l задаётся угловым моментом (точнее, секториальной скоростью — массу стоит сразу сократить).

Поэтому «поднятые» точки образуют коническое сечение — а потому коническим сечением будет и их проекция на плоскость (x,y).