Пусть задано простое число p>2. Остатки от деления на p можно разместить на единичной окружности в комплексных числах — сказать, что остатку m соответствует точка
exp( 2πi m/p ) = ζ^m,
где ζ = exp( 2πi/p ).

Ещё можно вспомнить, что ненулевые остатки по модулю p делятся на равное количество квадратичных вычетов и невычетов — те, которые являются квадратами по модулю p, и которые не являются. Символ Лежандра как раз равен 1 для квадратичных вычетов, (-1) для невычетов, и 0 для нулевого остатка. Обычное его обозначение (посмотрите!) я в «строчный набор» не втисну, так что буду писать L(a|p).

На рисунке — точки на окружности, раскрашенные в зависимости от значения соответствующего символа Лежандра (красный = +1, синий = -1), p=3,5,7,11.

Вопрос: а что будет, если мы точки на окружности сложим, используя символ Лежандра в качестве знака? То есть — рассмотрим сумму

\sum_{m=1}^{p-1} L(m|p) exp(2πi m/p )

Ещё — можно заметить, что сумма всех p отмеченных точек на окружности нулевая (благо, что это вершины правильного p-угольника), так что можно её к сумме выше добавить. Теперь у нас точка z=1 (отвечающая m=0) идёт с коэффициентом 1, точки, отвечающие квадратичным невычетам, идут с нулевым коэффициентом (-1+1=0), а точки, отвечающие квадратичным невычетам, с коэффициентом 2. Так что сумма выше равна

\sum_{n=0}^{p-1} exp( 2πi n^2/p ) = \sum_{n=0}^{p-1} ζ^(n^2),

где ζ = exp( 2πi/p ).

Определение. Сумма выше называется гауссовой суммой.

Пример. Давайте посмотрим, что получается при p=3, 5, 7, 11. Ответ — на картинках ниже!

Не очень сложно увидеть, что при p=3 получается i\sqrt{3}.

p=5. Сразу бросается в глаза, что результат чисто вещественный. А если чуть-чуть посчитать — то получится корень из 5 !

p=7. Казалось бы, частичные суммы ведут себя совершенно хаотично — а результат явно чисто мнимый. Иии… да, это i\sqrt{7}.

p=11. Все уже всё поняли, правда? Получается i\sqrt{11}.

Задача/упражнение. Докажите, что модуль гауссовой суммы всегда равен \sqrt{p}.
Указание. Умножьте сумму на сопряжённую величину и раскройте скобки. Остаётся посмотреть, сколько раз получается какое слагаемое.

в конце мая 1999 года Пьер Картье прочитал в рамках «Студенческих чтений НМУ» три лекции: про значения дзета-функции, про комбинаторику деревьев, про операды

вот их записки

на картинке сверху — тождества¹ из заметки С.Маркелова в Мат. просвещении, и там предлагается придумать обобщения

¹ там только есть опечатка… найдите

программа в комментариях — говорит, суммы каких косинусов надо взять для произвольного p вида 3k+1, а также какому кубическому уравнению они удовлетворяют (и на всякий случай численно проверяет, удовлетворяют ли)

(upd) а также находит формулу для суммы S кубических корней из этих сумму косинусов, шоб было совсем как в заметке

p: 13
primitive root: 2
partition of cosines: [3, 11] [7, 9] [1, 5]
values of trigsums: -0.136945 -0.688601 1.325547
cubic polynomial: 8t³-4t²-8t-1
P(trigsums): -0.0 0.0 0.0
S³ = (3³√-13+7)/2

p: 73
primitive root: 5
partition of cosines: [13, 19, 25, 29, 31, 39, 53, 55, 57, 59, 67, 71] [1, 3, 7, 9
, 17, 21, 27, 43, 49, 51, 63, 65] [5, 11, 15, 23, 33, 35, 37, 41, 45, 47, 61, 69]
values of trigsums: -2.475085 2.40906 0.566026
cubic polynomial: 8t³-4t²-48t+27
P(trigsums): 0.0 0.0 -0.0
S³ = (3³√219-17)/2

теорема Рамануджана о том, как посчитать сумму кубических корней из корней данного кубического уравнения, обсуждается например в Кванте

Ко вчерашнему — собрал картинки гауссовых сумм в одну PNG (чтобы её можно было смотреть сразу).