Боря программирует

CF 942D. Решение.

Условие задачи.

1. Первая идея довольно стандартная, но все равно красивая. Пусть для любой пары чисел (x, y) мы умеем за быстро определять, можно ли x превратить в y. Найдем в тупую минимальное число, в которое можно превратить a[0] и превратим. Потом сделаем тоже самое для a[1], но начиная проверять только с a[0]. Хоть для каждого конкретного числа мы можем проверить O(n) вариантов, суммарно мы проверим не O(n^2) вариантов, а только O(n).

2. Как проверять, можно ли получить y из x? Сделаем граф, в котором проведем ребро из i в next[i]. Такой граф состоит из циклов и деревьев, которые к ним подвешены. Давайте для каждого цикла веберем какую-то вершину root, удалим ребро root -> next[root], получим дерево с корнем в root. В таком графе проверка "можно ли x превратить в y" это тоже самое, что вершина x лежит в поддереве y. А это стандартная задача, нужно обойти дерево с помощью dfs, для каждой вершины i запомнить время входа tin[i] и выхода tout[i] из нее. Тогда условие x в поддреве y эквивалентно tin[y] <= tin[x] <= tout[y].

3. Если вспомнить, что ребро root -> next[root] все-таки существует, то чтобы определить достижимость y из x нужно рассмотреть два варианта. Либо x лежит в поддереве y, либо next[root] лежит в поддереве y.

4. Как просто выбрать root для каждого цикла? Можно сделать это в три строки кода с помощью DSU (функция union(x, y) добавляет ребро x-y и возвращает true, если x и y находились в разных компонентах связности).

for i in 0..n {
  if !dsu.union(i, next[i]) {
    // mark `i` as root 
  }
}

Доказательство того, что этот код делает ровно то, что нужно, оставлю в качестве упражнения для любознательных читателей.

www.group-telegram.com/ms/bminaiev_blog.com/67

4.0K viewsMay 1, 2024 at 17:03

CF 942D. Решение.

Условие задачи.

1. Первая идея довольно стандартная, но все равно красивая. Пусть для любой пары чисел (x, y) мы умеем за быстро определять, можно ли x превратить в y. Найдем в тупую минимальное число, в которое можно превратить a[0] и превратим. Потом сделаем тоже самое для a[1], но начиная проверять только с a[0]. Хоть для каждого конкретного числа мы можем проверить O(n) вариантов, суммарно мы проверим не O(n^2) вариантов, а только O(n).

2. Как проверять, можно ли получить y из x? Сделаем граф, в котором проведем ребро из i в next[i]. Такой граф состоит из циклов и деревьев, которые к ним подвешены. Давайте для каждого цикла веберем какую-то вершину root, удалим ребро root -> next[root], получим дерево с корнем в root. В таком графе проверка "можно ли x превратить в y" это тоже самое, что вершина x лежит в поддереве y. А это стандартная задача, нужно обойти дерево с помощью dfs, для каждой вершины i запомнить время входа tin[i] и выхода tout[i] из нее. Тогда условие x в поддреве y эквивалентно tin[y] <= tin[x] <= tout[y].

3. Если вспомнить, что ребро root -> next[root] все-таки существует, то чтобы определить достижимость y из x нужно рассмотреть два варианта. Либо x лежит в поддереве y, либо next[root] лежит в поддереве y.

4. Как просто выбрать root для каждого цикла? Можно сделать это в три строки кода с помощью DSU (функция union(x, y) добавляет ребро x-y и возвращает true, если x и y находились в разных компонентах связности).

for i in 0..n {
  if !dsu.union(i, next[i]) {
    // mark `i` as root 
  }
}

BY Боря программирует