#геометрия #задача
Касательную в произвольной точке к описанной окружности треугольника ABC отразили относительно его сторон. Докажите, что описанная окружность треугольника, образованного тремя полученными прямыми, касается окружности (ABC).
Касательную в произвольной точке к описанной окружности треугольника ABC отразили относительно его сторон. Докажите, что описанная окружность треугольника, образованного тремя полученными прямыми, касается окружности (ABC).
В комментариях к последней задаче был поднят насущный вопрос указания источников к выкладываемым задачам. Кто-то считает, что источник помогает сразу понять уровень задачи (и это полезно) или найти официальное решение, а кто-то считает, что это мешает беспристрастному решению самой задачи и может остановить тех, кто побоится сложной олимпиады, а также снижает мотивацию писать свои решения. Поэтому мы хотим спросить вас, уважаемые подписчики, хотели бы вы видеть источники выкладываемых задач?
#задача #комбинаторика
Пусть 𝑚 ≥ 𝑛 - положительные числа. У Миши есть 𝑚𝑛 постеров с различными размерами 𝑘 × 𝑙 где 𝑚 ≥ 𝑘 ≥ 1 и 𝑛 ≥ 𝑙 ≥ 1. Он должен развесить их все по очереди на стене своей спальни, не поворачивая их. Каждый раз, когда он вывешивает плакат, он может разместить его либо на свободном месте на стене, либо в таком месте, где он полностью закрывает один видимый плакат и не перекрывает другие видимые плакаты. Определите минимальную площадь стены, которую будут закрывать плакаты.
Пусть 𝑚 ≥ 𝑛 - положительные числа. У Миши есть 𝑚𝑛 постеров с различными размерами 𝑘 × 𝑙 где 𝑚 ≥ 𝑘 ≥ 1 и 𝑛 ≥ 𝑙 ≥ 1. Он должен развесить их все по очереди на стене своей спальни, не поворачивая их. Каждый раз, когда он вывешивает плакат, он может разместить его либо на свободном месте на стене, либо в таком месте, где он полностью закрывает один видимый плакат и не перекрывает другие видимые плакаты. Определите минимальную площадь стены, которую будут закрывать плакаты.
#геометрия #задача
Окружности ω1 и ω2 пересекаются в точках X и Y, лежат внутри окружности Ω и касаются её в точках A и B. Прямая AB повторно пересекает окружности ω1 и ω2 в точках C и D соответственно. Вписанная в криволинейный треугольник CDX окружность касается стороны CD в точке Z. Докажите, что XZ — биссектриса угла AXB.
Окружности ω1 и ω2 пересекаются в точках X и Y, лежат внутри окружности Ω и касаются её в точках A и B. Прямая AB повторно пересекает окружности ω1 и ω2 в точках C и D соответственно. Вписанная в криволинейный треугольник CDX окружность касается стороны CD в точке Z. Докажите, что XZ — биссектриса угла AXB.
#комбинаторика #задача
В стране n городов и n дорожных компаний. Между некоторыми парами городов проложены дороги, каждая принадлежит какой-то из компаний. Между двумя городами может быть проложено больше одной дороги. Каждая компания владеет нечётным числом дорог, причём эти дороги образуют замкнутый маршрут. Докажите, что найдётся замкнутый маршрут нечётной длины, все дороги которого принадлежат разным компаниям.
В стране n городов и n дорожных компаний. Между некоторыми парами городов проложены дороги, каждая принадлежит какой-то из компаний. Между двумя городами может быть проложено больше одной дороги. Каждая компания владеет нечётным числом дорог, причём эти дороги образуют замкнутый маршрут. Докажите, что найдётся замкнутый маршрут нечётной длины, все дороги которого принадлежат разным компаниям.
#геометрия #задача
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность Ω. Лучи AB и DC пересекаются в точке P. W — середина меньшей дуги BC. Прямые AW и CD пересекаются в точке R, а прямые DW и AB — в Q. Окружность γ касается отрезков PB, PC и Ω внешним образом. Докажите, что окружности γ и (WRQ) касаются.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность Ω. Лучи AB и DC пересекаются в точке P. W — середина меньшей дуги BC. Прямые AW и CD пересекаются в точке R, а прямые DW и AB — в Q. Окружность γ касается отрезков PB, PC и Ω внешним образом. Докажите, что окружности γ и (WRQ) касаются.
#комбинаторика #задача
В правильном 100-угольнике 41 вершина покрашена в чёрный, а оставшиеся 59 вершин — в белый. Докажите, что существуют 24 попарно непересекающихся (не имеют общих точек) выпуклых четырёхугольника с вершинами в вершинах 100-угольника такие, что каждый из них имеет три вершины одного цвета и одну другого.
В правильном 100-угольнике 41 вершина покрашена в чёрный, а оставшиеся 59 вершин — в белый. Докажите, что существуют 24 попарно непересекающихся (не имеют общих точек) выпуклых четырёхугольника с вершинами в вершинах 100-угольника такие, что каждый из них имеет три вершины одного цвета и одну другого.
#алгебра #задача
Петя и Вася играют в такую игру. Сначала Петя задумывает некоторый многочлен P(x) с целыми коэффициентами. Далее делается несколько ходов. За ход Вася платит Пете рубль и называет любое целое число a по своему выбору, которое он ещё не называл, а Петя в ответ говорит, сколько решений в целых числах имеет уравнение P(x) = a. Вася выигрывает, как только Петя два раза (не обязательно подряд) назвал одно и то же число. Какого наименьшего числа рублей хватит Васе, чтобы гарантированно выиграть?
Петя и Вася играют в такую игру. Сначала Петя задумывает некоторый многочлен P(x) с целыми коэффициентами. Далее делается несколько ходов. За ход Вася платит Пете рубль и называет любое целое число a по своему выбору, которое он ещё не называл, а Петя в ответ говорит, сколько решений в целых числах имеет уравнение P(x) = a. Вася выигрывает, как только Петя два раза (не обязательно подряд) назвал одно и то же число. Какого наименьшего числа рублей хватит Васе, чтобы гарантированно выиграть?
#геометрия #задача
Точка P симметрична A относительно прямой OH. K — пересечение AP и OH. Одноцветные отрезки равны. Докажите, что отмеченный угол прямой.
Точка P симметрична A относительно прямой OH. K — пересечение AP и OH. Одноцветные отрезки равны. Докажите, что отмеченный угол прямой.
#геометрия #задача
В равнобедренном треугольнике ABC на основании BC отмечена точка D, отличная от середины. Прямая AD вторично пересекает окружность (ABC) в точке E. Точка F выбрана на (ABC) так, что угол DFE прямой. Прямая FE пересекает лучи AB и AC в точках X и Y. Докажите, что DE — биссектриса угла XDY.
В равнобедренном треугольнике ABC на основании BC отмечена точка D, отличная от середины. Прямая AD вторично пересекает окружность (ABC) в точке E. Точка F выбрана на (ABC) так, что угол DFE прямой. Прямая FE пересекает лучи AB и AC в точках X и Y. Докажите, что DE — биссектриса угла XDY.