сладко стянул

Как сделать квазиалгебру Ли из скобок Самельсона? Пока не знаю.

Начнем с определения. Пусть H — топологическая группа, [X,Y] — множество отображений пунктированных топ. пространств с точностью до пунктированной гомотопии.

Возьмём пунктированные отображения f:A->H, g:B->H.
Их можно прокоммутировать в H, то есть рассмотреть
A×B -> H,
(a,b) -> f(a)*g(b)*f(a)^-1* g(b)^-1.
При этом отображении все точки из AvB переходят в нейтральный элемент группы:
имеем f(a0)=e=g(b0) из пунктированности, поэтому
(a0,b) -> e, (a,b0) -> e.

Следовательно, корректно определено
(A×B)/(AvB) -> H.
Пространство слева называется "смэш-произведение" и обозначается AлB. Мы построили отображение множеств
[A,H]×[B,H]->[AлB, H].
Это и есть (обобщенная) скобка Самельсона; я буду её обозначать как (f,g).

Заметим, что [A,H] — группа относительно поточечного умножения в H. Скобка Самельсона обычно не уважает групповые операции, но по крайней мере верно
(f,g)^-1=(g,f),
(f,e)=e=(e,g).

www.group-telegram.com/ms/sweet_homotopy.com/1998

1.4K viewsedited  Jun 22, 2024 at 15:33

Как сделать квазиалгебру Ли из скобок Самельсона? Пока не знаю.

Начнем с определения. Пусть H — топологическая группа, [X,Y] — множество отображений пунктированных топ. пространств с точностью до пунктированной гомотопии.

Возьмём пунктированные отображения f:A->H, g:B->H.
Их можно прокоммутировать в H, то есть рассмотреть
A×B -> H,
(a,b) -> f(a)*g(b)*f(a)^-1* g(b)^-1.
При этом отображении все точки из AvB переходят в нейтральный элемент группы:
имеем f(a0)=e=g(b0) из пунктированности, поэтому
(a0,b) -> e, (a,b0) -> e.

Следовательно, корректно определено
(A×B)/(AvB) -> H.
Пространство слева называется "смэш-произведение" и обозначается AлB. Мы построили отображение множеств
[A,H]×[B,H]->[AлB, H].
Это и есть (обобщенная) скобка Самельсона; я буду её обозначать как (f,g).

Заметим, что [A,H] — группа относительно поточечного умножения в H. Скобка Самельсона обычно не уважает групповые операции, но по крайней мере верно
(f,g)^-1=(g,f),
(f,e)=e=(e,g).

BY сладко стянул