Как разложить F:=X³+Y³+Z³-3XYZ на множители? Вот несколько возможных подходов.
1) Если поверить, что это возможно, то один из множителей линейный. Проверим, делится ли это выражение на симметричный линейный множитель, X+Y+Z. Ну, если X+Y+Z=0, то Z=-(X+Y) и X³+Y³+Z³=X³+Y³-(X+Y)³=-3X²Y-3XY²=-3XY(X+Y)=3XYZ. То есть X³+Y³+Z³-3XYZ=0 (mod X+Y+Z). Дальше можно разделить F на X+Y+Z в столбик просто.
2) Насколько X³+Y³+Z³ отличается от (X+Y+Z)³? X³+Y³+Z³=(X+Y+Z)³-3(X+Y+Z)(XY+YZ+ZX)+3XYZ (можно сказать, что мы выразили левую часть через элементарные симметрические многочлены). Видим, что F=(X+Y+Z)((X+Y+Z)²-3(XY+YZ+ZX))=(X+Y+Z)(X²+Y²+Z²-XY-YZ-ZX).
Дальше на этом пути можно пытаться выразить суммы n-х степеней через элементарные симметрические (“формулы Ньютона”).
3) F — определитель матрицы |X Y Z| |Z X Y| |Y Z X| Если прибавить к первой строке две остальные, то видно, что он делится на (X+Y+Z). Оставшийся определитель легко посчитать, но можно вместо этого заметить, что по аналогичной причине определитель делится на (X+wY+w²Z) и (X+w²Y+wZ), где w — кубический корень из 1.
Это вычисление несложно обобщить на определитель F_n матрицы X_{i-j mod n}. Но на этом история не заканчивается, скорее только начинается. И это история про Фробениуса и теорию представлений конечных групп — можно посмотреть по этому поводу текст K.Conrad’а, https://kconrad.math.uconn.edu/articles/groupdet.pdf
Как разложить F:=X³+Y³+Z³-3XYZ на множители? Вот несколько возможных подходов.
1) Если поверить, что это возможно, то один из множителей линейный. Проверим, делится ли это выражение на симметричный линейный множитель, X+Y+Z. Ну, если X+Y+Z=0, то Z=-(X+Y) и X³+Y³+Z³=X³+Y³-(X+Y)³=-3X²Y-3XY²=-3XY(X+Y)=3XYZ. То есть X³+Y³+Z³-3XYZ=0 (mod X+Y+Z). Дальше можно разделить F на X+Y+Z в столбик просто.
2) Насколько X³+Y³+Z³ отличается от (X+Y+Z)³? X³+Y³+Z³=(X+Y+Z)³-3(X+Y+Z)(XY+YZ+ZX)+3XYZ (можно сказать, что мы выразили левую часть через элементарные симметрические многочлены). Видим, что F=(X+Y+Z)((X+Y+Z)²-3(XY+YZ+ZX))=(X+Y+Z)(X²+Y²+Z²-XY-YZ-ZX).
Дальше на этом пути можно пытаться выразить суммы n-х степеней через элементарные симметрические (“формулы Ньютона”).
3) F — определитель матрицы |X Y Z| |Z X Y| |Y Z X| Если прибавить к первой строке две остальные, то видно, что он делится на (X+Y+Z). Оставшийся определитель легко посчитать, но можно вместо этого заметить, что по аналогичной причине определитель делится на (X+wY+w²Z) и (X+w²Y+wZ), где w — кубический корень из 1.
Это вычисление несложно обобщить на определитель F_n матрицы X_{i-j mod n}. Но на этом история не заканчивается, скорее только начинается. И это история про Фробениуса и теорию представлений конечных групп — можно посмотреть по этому поводу текст K.Conrad’а, https://kconrad.math.uconn.edu/articles/groupdet.pdf
BY Непрерывное математическое образование
Warning: Undefined variable $i in /var/www/group-telegram/post.php on line 260
To that end, when files are actively downloading, a new icon now appears in the Search bar that users can tap to view and manage downloads, pause and resume all downloads or just individual items, and select one to increase its priority or view it in a chat. The regulator took order for the search and seizure operation from Judge Purushottam B Jadhav, Sebi Special Judge / Additional Sessions Judge. Investors took profits on Friday while they could ahead of the weekend, explained Tom Essaye, founder of Sevens Report Research. Saturday and Sunday could easily bring unfortunate news on the war front—and traders would rather be able to sell any recent winnings at Friday’s earlier prices than wait for a potentially lower price at Monday’s open. There was another possible development: Reuters also reported that Ukraine said that Belarus could soon join the invasion of Ukraine. However, the AFP, citing a Pentagon official, said the U.S. hasn’t yet seen evidence that Belarusian troops are in Ukraine. Messages are not fully encrypted by default. That means the company could, in theory, access the content of the messages, or be forced to hand over the data at the request of a government.
from nl
