📚О некоторых вопросах гомологической алгебры
Когда я впервые взял в руки брошюру Александра Гротендика «О некоторых вопросах гомологической алгебры», я не просто читал математический текст я будто заглядывал в момент рождения новой парадигмы. Эта небольшая работа, впервые опубликованная в 1957 году, оказалась фундаментальной в истории современной алгебраической геометрии и гомологической алгебры. Сегодня она читается не только как изложение идей, но и как исторический документ, зафиксировавший ключевой поворот в мышлении XX века.
Гротендик предложил тогда поразительно смелую идею, он перенёс всю конструкцию когомологий в абстрактный мир абелевых категорий. Это означало, что теперь теорию пучков и когомологий можно было трактовать чисто категориально, без опоры на привычные геометрические интуиции. В этом и суть гениальности Гротендика, он строит не конкретные модели, а универсальные пространства мышления, в которых сами определения становятся геометрией.
Для меня эта брошюра не только редкий интеллектуальный артефакт, но и образец мышления будущего. Она показывает, как можно не просто решать задачи, а формулировать сами подходы к построению теории. Эта работа многократно цитировалась и стала основой для всего того, что позже будет сделано в рамках теории схем, топосов и ∞-категорий. Её называют «Tohoku paper» и в этом есть особое уважение к точке, из которой вырос целый мир.
Если вы интересуетесь историей математики, особенно тем, как развивалась алгебраическая геометрия, теория категорий или топология обязательно прочтите эту работу. Это компактный, но глубочайший текст, в котором чувствуется мощь мышления одного из самых загадочных и радикальных математиков XX века.
#Гротендик #ГомологическаяАлгебра #ИсторияМатематики #ТеорияКатегорий #АбелеваКатегория #Пучки #Когомологии #АлгебраическаяГеометрия #МатематическаяКлассика
Когда я впервые взял в руки брошюру Александра Гротендика «О некоторых вопросах гомологической алгебры», я не просто читал математический текст я будто заглядывал в момент рождения новой парадигмы. Эта небольшая работа, впервые опубликованная в 1957 году, оказалась фундаментальной в истории современной алгебраической геометрии и гомологической алгебры. Сегодня она читается не только как изложение идей, но и как исторический документ, зафиксировавший ключевой поворот в мышлении XX века.
Гротендик предложил тогда поразительно смелую идею, он перенёс всю конструкцию когомологий в абстрактный мир абелевых категорий. Это означало, что теперь теорию пучков и когомологий можно было трактовать чисто категориально, без опоры на привычные геометрические интуиции. В этом и суть гениальности Гротендика, он строит не конкретные модели, а универсальные пространства мышления, в которых сами определения становятся геометрией.
Для меня эта брошюра не только редкий интеллектуальный артефакт, но и образец мышления будущего. Она показывает, как можно не просто решать задачи, а формулировать сами подходы к построению теории. Эта работа многократно цитировалась и стала основой для всего того, что позже будет сделано в рамках теории схем, топосов и ∞-категорий. Её называют «Tohoku paper» и в этом есть особое уважение к точке, из которой вырос целый мир.
Если вы интересуетесь историей математики, особенно тем, как развивалась алгебраическая геометрия, теория категорий или топология обязательно прочтите эту работу. Это компактный, но глубочайший текст, в котором чувствуется мощь мышления одного из самых загадочных и радикальных математиков XX века.
#Гротендик #ГомологическаяАлгебра #ИсторияМатематики #ТеорияКатегорий #АбелеваКатегория #Пучки #Когомологии #АлгебраическаяГеометрия #МатематическаяКлассика
Наверное стоит упомянуть моду или как бы выразиться... всеобщее признание задачи значимой и давай всей толпой заниматься этим направлением.
Такое вообще говоря сильно раздражает, часто даже не возможно кое какие мысли обсудить. Особенно это касается моих любимых уравняшек.
Взять например системы алгебраических уравнений. Честно сказать как же они все надоели своей линейной алгеброй. Чуть, что так решают только линейные системы....
Меня конечно интересуют нелинейные системы. Как я понял там проблема в том, что если делать в лоб как с линейными уравнениями, то уменьшение числа уравнений, а с ними неизвестных ведёт к росту степени уравнения. Пару действий и всё, решить ничего нельзя.
Но самые интересные системы это системы нелинейных диофантовых уравнений. Вот как например эта...
https://math.stackexchange.com/questions/952801/biggest-set-such-that-sum-of-any-pair-is-perfect-square
И вот тот кто нам больше всего мешает, тот нам поможет. Оказывается всё таки есть общий метод, или как модно говорить, алгоритм, решения диофантовых уравнений.
Не надо путать с возможностью решить все абсолютно уравнения, всё решить нельзя. Там возникают сложности другого характера.
Так вот - чем же они помогают?
Дело в том, что есть такие преобразования при которых уменьшение уравнений в системе нелинейных алгебраических уравнений не ведёт к росту максимальной степени в уравнениях.
Кстати как эту задачку Эйлер решал можно посмотреть там...
https://artofproblemsolving.com/community/c6h602478
#предложка_ёжика
#теория_чисел
Такое вообще говоря сильно раздражает, часто даже не возможно кое какие мысли обсудить. Особенно это касается моих любимых уравняшек.
Взять например системы алгебраических уравнений. Честно сказать как же они все надоели своей линейной алгеброй. Чуть, что так решают только линейные системы....
Меня конечно интересуют нелинейные системы. Как я понял там проблема в том, что если делать в лоб как с линейными уравнениями, то уменьшение числа уравнений, а с ними неизвестных ведёт к росту степени уравнения. Пару действий и всё, решить ничего нельзя.
Но самые интересные системы это системы нелинейных диофантовых уравнений. Вот как например эта...
https://math.stackexchange.com/questions/952801/biggest-set-such-that-sum-of-any-pair-is-perfect-square
И вот тот кто нам больше всего мешает, тот нам поможет. Оказывается всё таки есть общий метод, или как модно говорить, алгоритм, решения диофантовых уравнений.
Не надо путать с возможностью решить все абсолютно уравнения, всё решить нельзя. Там возникают сложности другого характера.
Так вот - чем же они помогают?
Дело в том, что есть такие преобразования при которых уменьшение уравнений в системе нелинейных алгебраических уравнений не ведёт к росту максимальной степени в уравнениях.
Кстати как эту задачку Эйлер решал можно посмотреть там...
https://artofproblemsolving.com/community/c6h602478
#предложка_ёжика
#теория_чисел
Mathematics Stack Exchange
Biggest set such that sum of any pair is perfect square
What is the biggest set of positive integers such that the sum of any pair of them is a perfect square? (Or can we construct an infinite such set?)
One such set of size $3$ is $\{6,19,30\}$, which...
One such set of size $3$ is $\{6,19,30\}$, which...
Мы не можем их увидеть, но знаем, что где-то там они все друг с другом неразрывно связаны…
Идея четвёртого измерения с самого своего появления не оставляла равнодушными ни учёных, ни писателей и художников, ни эзотериков. Художникам тяжелее всего: его нельзя увидеть. Для математиков это тоже трагедия, но мы не смиряемся и вытаскиваем из четырёхмерного пространства трёхмерные сечения и проекции разных фигур. Этим попытки визуализации невизуализируемого не ограничиваются, и сегодня мы посмотрим, как принято изображать доступными средствами расслоение Хопфа. Это довольно красивая, известная и даже полезная в квантовой физике штука. Однако я на него наткнулась только недавно благодаря моему ученику. В очередной раз подумала, насколько же странные вещи могут вызвать восторг у математика.
Расслоение было описано в работе Хайнца Хопфа 1931 г. Это отображение, которое сопоставляет точкам гиперсферы (далее – 3-сфера) единичного радиуса, живущей в четырёхмерном пространстве ℂ², точки обычной, двумерной единичной сферы в трёхмерном пространстве ℂ×ℝ, по следующему правилу:
p(z₁,z₂)=(2z₁z₂*, |z₁|²-|z₂|²)
(* - комплексное сопряжение). Как видим, все точки вида (θz₁,θz₂), где θ – все комплексные числа с единичным модулем, имеют одинаковый образ. Обратное тоже верно: если две точки имеют одинаковый образ, они пропорциональны с каким-то единичным комплексным коэффициентом. Множество всех пропорциональных точек 3-сферы образует в четырёхмерном пространстве 1-сферу, обычную плоскую единичную окружность. Из этих окружностей и состоит вся 3-сфера. Никакие две из них не пересекаются, отсюда и название: каждая окружность является слоем, и 3-сфера по ним «расслоилась». На английском название fibration ещё более подходящее, на мой взгляд. Fiber – это ниточка, или волокно в ткани. Получается, что расслоение Хопфа можно также трактовать как биекцию между точками 2-сферы и семейством окружностей на 3-сфере.
Для визуализации принято всё тем же точкам 2-сферы сопоставлять окружности в трёхмерном пространстве. Здесь они будут разных радиусов, не только единичные. Северному полюсу пусть соответствует единичная окружность в плоскости xOy с центром в начале координат (Рис.1). Чем меньше широта точки, тем больше радиус соответствующей ей окружности и угол, под которым она наклонена к плоскости xOy, для южного полюса окружность вырождается в ось z (Рис.2). Окружности, соответствующие точкам с одинаковыми широтами, переводятся друг в друга поворотом вокруг оси z и все вместе образуют тор (Рис.3). Образы всех точек сферы заполняют всё пространство R3 и не пересекаются друг с другом (Рис.4). Казалось бы, построили совершенно другую биекцию, какая тут связь с Хопфом?
Главное здесь то, что каждые две нарисованных нами окружности сцеплены друг с другом (то есть имеют коэффициент зацепления 1. Топологически это существенно отличается от случая, если бы мы просто заполнили всё пространство параллельными друг другу окружностями с центрами на одной прямой). Именно такое положение на 3-сфере характерно для окружностей Хопфа, и в этом и состояла значимость построенного им расслоения для алгебры и топологии. Получается, несмотря на невозможность увидеть окружности в четырёхмерном пространстве, мы всё же имеем очень важную подробность об их взаимном расположении.
В комментариях к посту оставлю ссылку на сайт, на котором можно побаловаться с рисованием окружностей Хопфа.
Мне, честно говоря, понять явления в многомерных пространствах легче через аналогии с двух- и трёхмерным. Но с построением аналогий тут не всё так просто! Если вам понравится эта тема, я напишу отдельно про другие формулировки и обобщения расслоения Хопфа.
#ёжик_пишет #топология
Идея четвёртого измерения с самого своего появления не оставляла равнодушными ни учёных, ни писателей и художников, ни эзотериков. Художникам тяжелее всего: его нельзя увидеть. Для математиков это тоже трагедия, но мы не смиряемся и вытаскиваем из четырёхмерного пространства трёхмерные сечения и проекции разных фигур. Этим попытки визуализации невизуализируемого не ограничиваются, и сегодня мы посмотрим, как принято изображать доступными средствами расслоение Хопфа. Это довольно красивая, известная и даже полезная в квантовой физике штука. Однако я на него наткнулась только недавно благодаря моему ученику. В очередной раз подумала, насколько же странные вещи могут вызвать восторг у математика.
Расслоение было описано в работе Хайнца Хопфа 1931 г. Это отображение, которое сопоставляет точкам гиперсферы (далее – 3-сфера) единичного радиуса, живущей в четырёхмерном пространстве ℂ², точки обычной, двумерной единичной сферы в трёхмерном пространстве ℂ×ℝ, по следующему правилу:
p(z₁,z₂)=(2z₁z₂*, |z₁|²-|z₂|²)
(* - комплексное сопряжение). Как видим, все точки вида (θz₁,θz₂), где θ – все комплексные числа с единичным модулем, имеют одинаковый образ. Обратное тоже верно: если две точки имеют одинаковый образ, они пропорциональны с каким-то единичным комплексным коэффициентом. Множество всех пропорциональных точек 3-сферы образует в четырёхмерном пространстве 1-сферу, обычную плоскую единичную окружность. Из этих окружностей и состоит вся 3-сфера. Никакие две из них не пересекаются, отсюда и название: каждая окружность является слоем, и 3-сфера по ним «расслоилась». На английском название fibration ещё более подходящее, на мой взгляд. Fiber – это ниточка, или волокно в ткани. Получается, что расслоение Хопфа можно также трактовать как биекцию между точками 2-сферы и семейством окружностей на 3-сфере.
Для визуализации принято всё тем же точкам 2-сферы сопоставлять окружности в трёхмерном пространстве. Здесь они будут разных радиусов, не только единичные. Северному полюсу пусть соответствует единичная окружность в плоскости xOy с центром в начале координат (Рис.1). Чем меньше широта точки, тем больше радиус соответствующей ей окружности и угол, под которым она наклонена к плоскости xOy, для южного полюса окружность вырождается в ось z (Рис.2). Окружности, соответствующие точкам с одинаковыми широтами, переводятся друг в друга поворотом вокруг оси z и все вместе образуют тор (Рис.3). Образы всех точек сферы заполняют всё пространство R3 и не пересекаются друг с другом (Рис.4). Казалось бы, построили совершенно другую биекцию, какая тут связь с Хопфом?
Главное здесь то, что каждые две нарисованных нами окружности сцеплены друг с другом (то есть имеют коэффициент зацепления 1. Топологически это существенно отличается от случая, если бы мы просто заполнили всё пространство параллельными друг другу окружностями с центрами на одной прямой). Именно такое положение на 3-сфере характерно для окружностей Хопфа, и в этом и состояла значимость построенного им расслоения для алгебры и топологии. Получается, несмотря на невозможность увидеть окружности в четырёхмерном пространстве, мы всё же имеем очень важную подробность об их взаимном расположении.
В комментариях к посту оставлю ссылку на сайт, на котором можно побаловаться с рисованием окружностей Хопфа.
Мне, честно говоря, понять явления в многомерных пространствах легче через аналогии с двух- и трёхмерным. Но с построением аналогий тут не всё так просто! Если вам понравится эта тема, я напишу отдельно про другие формулировки и обобщения расслоения Хопфа.
#ёжик_пишет #топология
Друзья, продолжаем изучать фундаментальные основы синтезаторов
--
Сегодня мы разберем сердце синтезатора - его осциллятор!
В Serum нам предоставляют 2 осциллятора - OSC A и OSC B
--
Разберем панель OSC A – всё, что вы видите на втором скриншоте, на самом деле управляется математикой!
🔹 UNISON
Сколько копий одного и того же сигнала играть одновременно. Это как повторение функции с небольшим сдвигом – интерференция волн. Чем больше голосов, тем гуще и жирнее звук.
🔹 DETUNE
Сдвигает каждую копию сигнала на малую величину по частоте. Это модуляция на уровне десятых долей Герца – как разница между двумя почти одинаковыми синусоидами: получается биение, как в физике волн.
🔹 BLEND
Настраивает соотношение громкости между центральной волной и остальными голосами. Математически — взвешенное среднее амплитуд. Это регулирует «размазанность» звука.
🔹 PHASE
Начальная фаза волны при запуске ноты. Если представить волну как синус или пилу, это просто сдвиг по оси X. Полезно для согласования волн в миксе.
🔹 RAND
Рандомизация начальной фазы при каждой новой ноте. Это добавляет случайность — как функция rand() в программировании. Звук становится менее «механическим».
---
🔹 WT POS (Wavetable Position)
Перемещение по волновой таблице. Представьте себе 3D-график, где по оси X — форма волны. Чем дальше, тем сложнее форма. Математически — интерполяция между функциями.
🔹 PAN
Панорама. Распределяет звук по левому и правому каналу. Математически — это просто изменение коэффициентов громкости для каждого уха:
L = A * cos(θ), R = A * sin(θ)
🔹 LEVEL
Громкость осциллятора. Это просто масштабирование амплитуды:
y(t) = A * wave(t)
---
Поговорим про WARP!
Эта ручка меняет математическую функцию, генерирующую волну. Ниже кратко про популярные режимы:
---
🔸 OFF — ничего не применяется. Волна играет как есть (например, пила, синус, квадрат и т.д.). Это как просто график функции без модификаций.
🔸 BEND + / - / + - — изменяет форму волны, растягивая или сжимая её по горизонтали (оси времени). Математически — это нелинейная трансформация аргумента:
x → f(ax) или x → f(x^n)
🔸 ASYM — асимметричное искажение. Представьте, что положительная часть волны сжимается, а отрицательная — растягивается. Это похоже на функцию, где положительные и отрицательные значения по-разному масштабируются.
🔸 MIRROR — зеркалит часть волны. Это как применение модуля:
f(x) → f(|x|)
или условная симметрия по оси Y. Очень похоже на абсолютное значение в математике.
🔸 FOLD — складывает волну, как если бы она "отбивалась" от границы. Представьте sin(x), который при превышении 1 «сгибается» обратно. Математически:
f(x) = abs(sin(x)) — только более агрессивно.
🔸 FM (from B / noise / etc.) — это частотная модуляция: изменяется частота одной волны в зависимости от другой. Здесь уже идут производные и быстрая модуляция:
y(t) = sin(2πf₁t + sin(2πf₂t))
---
🧠 Вывод
Каждый параметр в Serum - это не просто ручка, а математическая функция. Чем лучше человек понимает математику, тем точнее он может управлять звуком.
🔊 Подпишись, если хочешь ещё больше постов на стыке звука и чисел!
#ёжик_развлекается #ёжик_рекомендует #лёгкое_чтение #ёжик_пишет #ёжик_и_музыка
--
Сегодня мы разберем сердце синтезатора - его осциллятор!
В Serum нам предоставляют 2 осциллятора - OSC A и OSC B
--
Разберем панель OSC A – всё, что вы видите на втором скриншоте, на самом деле управляется математикой!
🔹 UNISON
Сколько копий одного и того же сигнала играть одновременно. Это как повторение функции с небольшим сдвигом – интерференция волн. Чем больше голосов, тем гуще и жирнее звук.
🔹 DETUNE
Сдвигает каждую копию сигнала на малую величину по частоте. Это модуляция на уровне десятых долей Герца – как разница между двумя почти одинаковыми синусоидами: получается биение, как в физике волн.
🔹 BLEND
Настраивает соотношение громкости между центральной волной и остальными голосами. Математически — взвешенное среднее амплитуд. Это регулирует «размазанность» звука.
🔹 PHASE
Начальная фаза волны при запуске ноты. Если представить волну как синус или пилу, это просто сдвиг по оси X. Полезно для согласования волн в миксе.
🔹 RAND
Рандомизация начальной фазы при каждой новой ноте. Это добавляет случайность — как функция rand() в программировании. Звук становится менее «механическим».
---
🔹 WT POS (Wavetable Position)
Перемещение по волновой таблице. Представьте себе 3D-график, где по оси X — форма волны. Чем дальше, тем сложнее форма. Математически — интерполяция между функциями.
🔹 PAN
Панорама. Распределяет звук по левому и правому каналу. Математически — это просто изменение коэффициентов громкости для каждого уха:
L = A * cos(θ), R = A * sin(θ)
🔹 LEVEL
Громкость осциллятора. Это просто масштабирование амплитуды:
y(t) = A * wave(t)
---
Поговорим про WARP!
Эта ручка меняет математическую функцию, генерирующую волну. Ниже кратко про популярные режимы:
---
🔸 OFF — ничего не применяется. Волна играет как есть (например, пила, синус, квадрат и т.д.). Это как просто график функции без модификаций.
🔸 BEND + / - / + - — изменяет форму волны, растягивая или сжимая её по горизонтали (оси времени). Математически — это нелинейная трансформация аргумента:
x → f(ax) или x → f(x^n)
🔸 ASYM — асимметричное искажение. Представьте, что положительная часть волны сжимается, а отрицательная — растягивается. Это похоже на функцию, где положительные и отрицательные значения по-разному масштабируются.
🔸 MIRROR — зеркалит часть волны. Это как применение модуля:
f(x) → f(|x|)
или условная симметрия по оси Y. Очень похоже на абсолютное значение в математике.
🔸 FOLD — складывает волну, как если бы она "отбивалась" от границы. Представьте sin(x), который при превышении 1 «сгибается» обратно. Математически:
f(x) = abs(sin(x)) — только более агрессивно.
🔸 FM (from B / noise / etc.) — это частотная модуляция: изменяется частота одной волны в зависимости от другой. Здесь уже идут производные и быстрая модуляция:
y(t) = sin(2πf₁t + sin(2πf₂t))
---
🧠 Вывод
Каждый параметр в Serum - это не просто ручка, а математическая функция. Чем лучше человек понимает математику, тем точнее он может управлять звуком.
🔊 Подпишись, если хочешь ещё больше постов на стыке звука и чисел!
#ёжик_развлекается #ёжик_рекомендует #лёгкое_чтение #ёжик_пишет #ёжик_и_музыка
Дорогие коллеги!
Вчера и сегодня на нашем факультете проводилось замечательное мероприятие: "Летняя школа для учителей математики 2025", на которую приехало очень много учителей из многих городов России. Более подробно о конференции и докладах на ней можно прочитать на официальном сайте школы: https://teacher.msu.ru/node/131808
Т.к. проводилась онлайн-трансляция, то возможно где-то есть и запись всех докладов. Если будут желающие, я узнаю у организаторов.
Первоначально на этой школе должен был выступить хорошо известный вам всем, Алексей Савватеев, но потом у него не получилось, поэтому доклад делал я, показав в том числе сюжет Алексея о раскраске окружности, записанный в нашей студии в конце мая. Теперь, наверное, мы можем опубликовать это видео и на Ёжике. Поэтому приобщайтесь!
https://vkvideo.ru/video-186208863_456244168
А в это Воскресенье мы опубликуем небольшой клип, который я записал для слушателей данной конференции о работе с нашими съёмочными комплектами. К сожалению, я слишком долго рассказывал о нашей работе, показывая фотографии, что этот клип на конференции не показал ☹️
#колючие_лекции
#элементарная_математика
Вчера и сегодня на нашем факультете проводилось замечательное мероприятие: "Летняя школа для учителей математики 2025", на которую приехало очень много учителей из многих городов России. Более подробно о конференции и докладах на ней можно прочитать на официальном сайте школы: https://teacher.msu.ru/node/131808
Т.к. проводилась онлайн-трансляция, то возможно где-то есть и запись всех докладов. Если будут желающие, я узнаю у организаторов.
Первоначально на этой школе должен был выступить хорошо известный вам всем, Алексей Савватеев, но потом у него не получилось, поэтому доклад делал я, показав в том числе сюжет Алексея о раскраске окружности, записанный в нашей студии в конце мая. Теперь, наверное, мы можем опубликовать это видео и на Ёжике. Поэтому приобщайтесь!
https://vkvideo.ru/video-186208863_456244168
А в это Воскресенье мы опубликуем небольшой клип, который я записал для слушателей данной конференции о работе с нашими съёмочными комплектами. К сожалению, я слишком долго рассказывал о нашей работе, показывая фотографии, что этот клип на конференции не показал ☹️
#колючие_лекции
#элементарная_математика
VK Видео
Алексей Савватеев -- Учителям математики.
Мини лекция Алексея Савватеева, записанная специально для участников летней школы учителей математики на факультете ВМК МГУ
На одной из пар по дифференциальным уравнениям мой преподаватель при изучении метода Эйлера дал интересную задачу: найти все свойства синуса и косинуса, исходя только из того, что они — решения ДУ x'' + x = 0.
Оказывается, даже базовые вещи — периодичность, тождества, производные — можно строго вывести, не опираясь на геометрию! Например, знаменитое sin^2 x + cos^2 x = 1 легко доказывается через производные и начальные условия.
Задача не новая — её упоминал ещё Петровский в своем знаменитом учебнике по ОДУ. Но от этого не менее красивая!
Пробовали так смотреть на тригонометрию?🧐
https://vk.com/@543626195-izobretem-sinus-zanovo
Оказывается, даже базовые вещи — периодичность, тождества, производные — можно строго вывести, не опираясь на геометрию! Например, знаменитое sin^2 x + cos^2 x = 1 легко доказывается через производные и начальные условия.
Задача не новая — её упоминал ещё Петровский в своем знаменитом учебнике по ОДУ. Но от этого не менее красивая!
Пробовали так смотреть на тригонометрию?🧐
https://vk.com/@543626195-izobretem-sinus-zanovo
VK
Изобретём синус заново
Рассмотрим дифференциальное уравнение: