сладко стянул

Пусть p — большое простое число (хотя бы 5). В каком диапазоне известна p-компонента в стабильных гомотопических группах сфер?

Зафиксирую тут, что нагуглил. Удобно обозначить q:=2p-2.

-1. Методом убивающих пространств легко показать, что в размерностях <2q есть только одна копия Z/p, которая сидит в q-ой группе. То есть легко досчитать примерно до ~4p. При p=5 получается 15.

0. Hirosi Toda в серии статей "p-primary components of homotopy groups" (1958-1959) досчитал до p^2q-4, то есть примерно до 2p^3. При p=5 получается 196. Видимо, он комбинировал метод убивающих пространств с EHP-последовательностями, композициями, скобками Тоды. В книжке "Композиционные методы..." почему-то сформулирован результат только до размерности pq-2 ~ 2p^2; не знаю, почему.

1. Методами Тоды много считал Shichiro Oka. В серии статей The Stable Homotopy Groups of Spheres (1971-1975) этим методом он посчитал компоненты до размерности (2p^2+p-2)q-6, то есть примерно до 4p^3. При p=5 получается 416.

2. Комбинируя с вычислениями Накамуры* второго листа в с.п. Адамса, Ока смог продвинуться ещё на 4p размерностей и добраться до (2p^2+p)q-4. При p=5 получается 436.

3. Используя те же вычисления Накамуры, но для с.п. Адамса-Новикова (и спектра Брауна-Петерсона, следуя Миллеру и Нейзендорферу), Marc Aubry посчитал компоненты до размерности
(3p^2+4p)q-1, то есть примерно до 6p^3. При p=5 получается 759.
(статья "Calculs de groupes d'homotopie stables de la sphere, par la suite spectrale d'Adams-Novikov", 1984. Это диссертация под руководством Лемэра.)

4. В книжке Douglas Ravenel "Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres" (1986) предлагается некий "метод бесконечного спуска" (использующий, помимо с.п. А.-Н., всякие накопленные знания про BP, хроматическую теорию, введённые Равенелем спектры T(m)...).
Равенел не говорит, насколько далеко удаётся продвинуться для любого p (видимо, до p^3q~2p^4), но при p=5 проводит показательные вычисления и добирается до 999.

5. Наконец, в тексте Hirofumi Nakai, Douglas Ravenel "The method of infinite descent in stable homotopy theory II" высказана надежда, что примерно теми же методами можно добраться примерно до p^4q ~ 2p^5. Этот текст появился как препринт в 2008, выложен на архив в 2018, опубликован в 2024 в New York Journal of Mathematics. При публикации в нём появился абзац:

It is unlikely that either author will take up this computational project any time soon. The purpose of the present paper is to document what we believe to be the most promising method of extending the computation of [Rav04, Chapter 7] in hopes that some more energetic mathematicians will use it in the future.

*Osamu Nakamura, On the cohomology of the mod p Steenrod algebra (1975)

P.S. Конечно, в описанных размерностях известны не только группы, но и композиционные умножения между ними; у Aubry соответствующая алгебра даже задана образующими и соотношениями

www.group-telegram.com/nl/sweet_homotopy.com/2040

5.3K viewsedited  Nov 10, 2024 at 12:52

Пусть p — большое простое число (хотя бы 5). В каком диапазоне известна p-компонента в стабильных гомотопических группах сфер?

Зафиксирую тут, что нагуглил. Удобно обозначить q:=2p-2.

-1. Методом убивающих пространств легко показать, что в размерностях <2q есть только одна копия Z/p, которая сидит в q-ой группе. То есть легко досчитать примерно до ~4p. При p=5 получается 15.

0. Hirosi Toda в серии статей "p-primary components of homotopy groups" (1958-1959) досчитал до p^2q-4, то есть примерно до 2p^3. При p=5 получается 196. Видимо, он комбинировал метод убивающих пространств с EHP-последовательностями, композициями, скобками Тоды. В книжке "Композиционные методы..." почему-то сформулирован результат только до размерности pq-2 ~ 2p^2; не знаю, почему.

1. Методами Тоды много считал Shichiro Oka. В серии статей The Stable Homotopy Groups of Spheres (1971-1975) этим методом он посчитал компоненты до размерности (2p^2+p-2)q-6, то есть примерно до 4p^3. При p=5 получается 416.

2. Комбинируя с вычислениями Накамуры* второго листа в с.п. Адамса, Ока смог продвинуться ещё на 4p размерностей и добраться до (2p^2+p)q-4. При p=5 получается 436.

3. Используя те же вычисления Накамуры, но для с.п. Адамса-Новикова (и спектра Брауна-Петерсона, следуя Миллеру и Нейзендорферу), Marc Aubry посчитал компоненты до размерности
(3p^2+4p)q-1, то есть примерно до 6p^3. При p=5 получается 759.
(статья "Calculs de groupes d'homotopie stables de la sphere, par la suite spectrale d'Adams-Novikov", 1984. Это диссертация под руководством Лемэра.)

4. В книжке Douglas Ravenel "Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres" (1986) предлагается некий "метод бесконечного спуска" (использующий, помимо с.п. А.-Н., всякие накопленные знания про BP, хроматическую теорию, введённые Равенелем спектры T(m)...).
Равенел не говорит, насколько далеко удаётся продвинуться для любого p (видимо, до p^3q~2p^4), но при p=5 проводит показательные вычисления и добирается до 999.

5. Наконец, в тексте Hirofumi Nakai, Douglas Ravenel "The method of infinite descent in stable homotopy theory II" высказана надежда, что примерно теми же методами можно добраться примерно до p^4q ~ 2p^5. Этот текст появился как препринт в 2008, выложен на архив в 2018, опубликован в 2024 в New York Journal of Mathematics. При публикации в нём появился абзац:

It is unlikely that either author will take up this computational project any time soon. The purpose of the present paper is to document what we believe to be the most promising method of extending the computation of [Rav04, Chapter 7] in hopes that some more energetic mathematicians will use it in the future.

*Osamu Nakamura, On the cohomology of the mod p Steenrod algebra (1975)

P.S. Конечно, в описанных размерностях известны не только группы, но и композиционные умножения между ними; у Aubry соответствующая алгебра даже задана образующими и соотношениями

BY сладко стянул