On Wed, Feb 19, 2025 at 10:16 AM "John R. Klein" <[email protected]> wrote:
Sad News about Bill Browder...

---------- Forwarded message ---------
From: Bjørn Jahren <[email protected]>
Date: Wed, Feb 19, 2025 at 7:26 AM
Subject:
To: John R. Klein <[email protected]>

A sad message reached me this morning, when I received an email from Lisbeth telling that Bill Browder had passed away. I imagine (and hope) that mathematicians in the Princeton area will post more about it shortly. Apparently he lived there now.

Bjørn

- - - - - - - - - - - - - - -
Длинные воспоминания современников буду кидать в комменты (а короткие — сюда)

jim stasheff:
sad to hear
stories to tell

Frank Connolly:
I owe a lot to Bill Browder. He was a fine man, a gentle mentor, and an outstanding mathematician. This is sad news.

Ian Leary:
I think I only met Bill Browder at one conference that I attended in the US
when I was quite early in my career. But he made a big impression by being very kind and encouraging.

конструкции бывают разной степени явности, единственности и естественности, например:

1) функтор, сама конструкция которого явная и функториальная (например, коммутант группы)

2) функтор, не имеющий явной функториальной конструкции (например, производные функторы: надо заменить объект на его резольвенту из хороших объектов и посчитать через неё; канонического выбора резольвенты нет)

3) функтор, имеющий явную функториальную конструкцию "по случайным причинам" (например, когомологии алгебр Ли можно считать через комплекс Шевалле-Эйленберга: канонического выбора резольвенты нет, но функториальный выбор есть)

4) что-то существующее и единственное с точностью до изоморфизма, но не функториальное по причине "убиты явные симметрии" (например, базис векторного пространства)

5) что-то существующее и единственное с точностью до изоморфизма, но не функториальное по причине "не обязан😈" (например, конусы в триангулированной категории, минимальные модели (коммутативных) dg-алгебр; как будто, здесь могут прятаться неявные симметрии)

6) явная "функториальная" конструкция, результат которой не функториален (например, центр группы, или множество всех циклов данного графа)

я мог что-то забыть, дополняйте!

Браудер внёс вклад в теорию хирургии и в науку об H-пространствах. Эти сюжеты переплетаются, например, вот так. (Узнал про это из доклада Криса Брава про структуру Калаби-Яу на производной категории Loc(X), где X как ниже.)

Пусть у нас есть H-пространство X, которое конечно доминируемо (т.е. является гомотопическим ретрактом CW-комплекса из конечного числа клеток). Правда ли, что X эквивалентно, как H-пространство, группе Ли?

Неправда (Hilton, Roitberg, 1969); более того, X даже не обязательно эквивалентно топологической группе ("не распетливается", "не является Ainf — ассоциативным с точностью до всех высших гомотопий"). Простейший контрпример, кстати, расслаивается над S^7 со слоем S^3=SU(2), и при этом X≠Sp(2), S^3×S^7. Видимо, это расслоение "по модулю разных простых выглядит похоже на разные расслоения групп Ли". (вроде более концептуальная точка зрения на пример Хилтона-Ройтберга называется Zabrodsky mixing и, конечно, связана с p-локализацией в теории гомотопий).

А если X всё-таки распетливается, то есть эквивалентно H-пространству ΩB? (Для топологической группы X=G речь про B=BG.) Есть частичные положительные результаты:

Теорема (Browder, ~1959): Если X=ΩB конечно доминируемо, то X — комплекс Пуанкаре, то есть его кольцо когомологий имеет двойственность Пуанкаре ("выглядит как кольцо когомологий ориентированного замкнутого многообразия").

А вопрос "существует ли гладкое замкнутое многообразие в данном гомотопическом типе" решается через хирургию, и в итоге получается:

Теорема (Bauer, Kitchloo, Notbohm, Pedersen, 2004). Если X=ΩB конечно доминируемо, то X гомотопически эквивалентно гладкому замкнутому многообразию с тривиальным касательным расслоением. (Но никто не обещает, что умножение будет гладким)
https://doi.org/10.1007/BF02441084

Но: есть пример такого X=ΩB, что его рациональные числа Бетти не как у группы Ли,
https://arxiv.org/abs/math/0306234
Поэтому класс таких "распетливаемых многообразий с умножением" строго больше. Даже рационально. Удивительные дела!

P.S. finite loop spaces — похоже, ещё живая область где "частично построен аналог теории групп Ли", см. https://arxiv.org/abs/1003.4010

кстати, вы белены объелись? очень хочу услышать чем вам нравятся второй и третий вариант.

имхо: мы делаем что-то абелевым (abelian), поэтому разумно говорить "абелианизация" (единственный минус — что это калька с английского) или "абелевизация" (единственный минус — ужасно звучит). Слово "абелизация" менее оправданно, зато изящное

Zagier, D. (1990). How Often Should You Beat Your Kids? Mathematics Magazine, 63(2), 89–92. https://doi.org/10.1080/0025570X.1990.11977493

<...>
We, however, maintain that only the most degenerate parent would play against a two-year-old for money, and that our concern must therefore be, not by how much you can expect to win, but with what probability you will win at all. Our principal result is that this probability tends asymptotically to 85.4% (more precisely: to 1/2 + 1/sqrt(8)) as n tends to infinity. This shows with what unerring instinct Levasseur's mother selected the game — the high 85% loss rate will instill in the young progeny a due respect for the immense superiority of their parents, while the 15% win rate will maintain their interest and prevent them from succumbing to feelings of hopelessness and frustration.
<...>

а ещё из доклада Брава я узнал что в науке про циклические гомологии (см. книжку Лодея или курс Шарыгина) возникают "смешанные комплексы".

Как и бикомплекс, это пара коммутирующих дифференциалов на объекте какой-нибудь абелевой категории; только
— бикомплекс ZxZ-градуирован, дифференциалы имеют степени (-1,0) и (0,-1);
— смешанный комплекс Z-градуирован, дифференциалы имеют степени -1 и +1.

Другими словами, смешанный комплекс = dg-модуль над (Λ[u],0).

В топологии их можно встретить так: если окружность действует на пространстве X, то на цепном комплексе (C_*(X),d) второй дифференциал степени +1 возникает так: надо "прокрутить сингулярную цепь вдоль действия окружности и триангулировать".

Более общо: при действии m-мерного тора С_*(X) становится Λ[u1,..,um]-dg-модулем; с другой стороны, на C^*(X/T) возникает структура dg-модуля над H^*(BT)=k[x1,..,xm]. Эти dg-модули "кошулево двойственны" (Горески-Коттвиц-МакФерсон это сделали над Q; целочисленно см. M.Franz "Koszul duality and equivariant cohomology").

Вот что мне всё ещё интересно. По бикомплексу можно довольно бездумно построить спектральную последовательность: превратить его в фильтрованный цепной комплекс и сослаться на Лере. Она сойдётся к гомологиям тотального комплекса.

С другой стороны, дифференциалы спектральной последовательности можно построить "руками" с помощью "зигзагов из дифференциалов бикомплекса". Это можно сделать для любого объекта абелевой категории + пары коммутирующих дифференцирований; в частности, и для смешанного комплекса. Изучал ли кто-то такие спектральные последовательности? Мб в контексте циклических гомологий?

В случае действия окружности на X такая с.п. стартует с когомологий X и, насколько я понимаю, вкладывается в спектралку Серра для X -> X/S^1 -> BS^1 как "столбец, находящийся достаточно далеко справа". Поэтому по теореме локализации вроде бы наша с.п. "сходится к чему-то вроде когомологий множества неподвижных точек, но изоморфизм не градуированный". Её дифференциалы — это в точности "высшие когомологические операции для действия окружности", упомянутые в ГКМ. Изучено ли это? Интересно ли это? Мб надо сначала познакомиться с литературой по группам преобразований...

P.S. (Так называемые "двойные когомологии момент-угол-комплексов", aka "уберкогомологии симплициальных комплексов", — это второй по счёту лист этой спектралки при диагональном действии окружности на момент-угол-комплексе. Вроде это всё никак не помогает ничего посчитать)

P.P.S. Про действие окружности нашёл только такой интересный результат T. Skjelbred "On the spectral sequence for the equivariant cohomology of a circle action" https://www.duo.uio.no/handle/10852/43488 : если k — поле, и рассматривать цель как k[t]-модуль, то "не возникает проблем расширения".

Неформальный принцип неопределённости Маховальда говорит: любая алгебраическая аппроксимация к гомотопическим группам сфер "бесконечно далека от истины".*

Вот смешная иллюстрация (см. обзорчик Isaksen, Wang, Xu "Stable homotopy groups of spheres", 2021). Есть апгрейд спектральной последовательности Адамса — "комплексная мотивная с.п. Адамса" над кольцом F_2[t], где t — формальный параметр. (Это в точности мотивные когомологии точки.) Так вот: эта спектральная последовательность
(1) становится "алгебраической" (AlgNSS для BP), если в качестве t подставить ноль;
(2) сходится к гомотопическим группам сфер, если в качестве t подставить обратимый элемент.

Действительно, бесконечно далёкие случаи😶

*То есть: если к г.г.с. сходится спектральная последовательность, начальный лист которой "алгебраический", то в ней неизбежно будет "много дифференциалов" (и чем понятнее E_2, тем их больше). Более того, иногда формулируют "второй принцип": любой систематический метод подсчёта этих дифференциалов окажется неприменим бесконечно много раз.

P.S. Для нечётного кручения мотивные методы, кажется, никак не помогают (мотивная спектралка выражается через классическую), история выше — специфика случая p=2

Для абелевой группы G и любого n>0 легко построить топологическое пространство X=M(G,n) такое, что H_0(X)=Z, H_n(X)=G, а остальные группы гомологий равны нулю ("пространство Мура").

Можно также рассмотреть пространство X=P(G,n) такое, что H^0(X)=Z, H^n(X)=G, а остальные группы когомологий равны нулю ("пространство Петерсона").

Теорема (Кан, Уайтхед, 1961). Пространство P(Q,n) не существует.

Доказательство:
Обозначим A=H_{n-1}(X), B=H_n(X). По формуле универсальных коэффициентов, Hom(A,Z)=0 и Q=Hom(B,Z)+Ext(A,Z). Группа Q не раскладывается в прямую сумму, поэтому есть два случая:

Случай I: Q=Hom(B,Z). Но Q делима, а Hom(B,Z) никогда не делима, противоречие.

Случай II: Q=Ext(A,Z). Дальше несколько шагов.
1. Hom(A,Z)=0, а Ext(A,Z) делима и без кручения: отсюда можно вывести, что A без кручения и делима. Значит, A — векторное пространство над Q.
2. Q -> A — инъекция; значит, Ext(A,Z) -> Ext(Q,Z) — сюръекция. (ну или так: Q — прямое слагаемое в A, поэтому Ext(Q,Z) — прямое слагаемое в Ext(A,Z))
3. Из точной последовательности
0 -> Hom(Q,Q) -> Hom(Q,Q/Z) -> Ext(Q,Z) -> 0,
счётности Hom(Q,Q)=Q и несчётности Hom(Q,Q/Z) следует, что Ext(Q,Z) несчётна. Значит, Ext(A,Z) несчётна. Но Ext(A,Z)=Q, противоречие.

Ещё понятие нерва позволяет красиво сформулировать, что такое размерность Лебега топологического пространства X. Напомним:

(1) Размерность симплициального комплекса — очевидно что;
(2) Покрытие {V_j} вписано в покрытие {U_i}, если для любого j найдётся i со свойством V_j ⊆ U_i.

Определение: будем говорить, что dim(X) ≤ n, если в любое открытое покрытие пространства X можно вписать открытое покрытие V такое, что dim N(V) ≤ n.

(число dim N(V) обычно называют порядком покрытия V: это наибольшее n такое, что существуют n+1 попарно пересекающихся элемента покрытия.)

Надо, конечно, доказывать, что привычные нам n-мерные пространства имеют лебегову размерность ровно n. Например, покроем отрезок [0,1] двумя полуинтервалами. Мы верим, что "dim [0,1] ≠ 0": это значит, что в это покрытие нельзя вписать подпокрытие с нульмерным нервом. Это эквивалентно тому, что отрезок связен!

Свойство, которое интересно переписывается в комбинаторных терминах:

Пусть X — n-мерный паракомпакт, U — его открытое покрытие. По лемме Милнора, можно вписать в него настолько хорошее покрытие V, что множества V_j красятся в n+1 цвет, и одноцветные множества не пересекаются.

Другими словами: комплекс N(V) не просто n-мерен, но даже допускает симплициальное отображение на n-мерный симплекс с дискретными слоями. (типа, "является (n+1)-дольным"). Например, в любое покрытие одномерного паракомпакта можно вписать V так, что N(V) — двудольный граф...

Отсюда например выводится, что категория Люстерника-Шнирельмана локально стягиваемого паракомпакта не превосходит его лебеговой размерности. А ещё эта лемма важна в доказательстве теоремы Мостова: если компактная группа Ли G действует на достаточно хорошем X (замкнутое гладкое многообразие подойдет), то это действие вкладывается в линейное представление G. (См. R.Palais "Chapter VIII: slices and equivariant imbeddings" в семинаре Бореля по группам преобразований)

В терминах покрытий можно строить и метрические инварианты. Пусть (X,ρ) — связное компактное метрическое пространство.
Для любого подмножества A⊆X определён его диаметр
diam A := sup{ρ(x,y): x,y∈A}.
Для открытого покрытия V={V_j} пространства X положим
diam V := sup_j diam(V_j).
Для каждого целого k≥0 Урысон предложил рассмотреть числа

d_k(X,ρ) := inf_{V: dim N(V) ≤ k} diam(V).
То есть: d_k(X,ρ)≥d тогда и только тогда, когда любое открытое покрытие порядка ≤k имеет диаметр ≥d. Возникает цепочка:

diam X = d_0(X,ρ) ≥ d_1(X,ρ) ≥ d_2(X,ρ) ≥ ...

Ясно, что можно смотреть только на конечные покрытия. Предъявляя явные покрытия порядка k, можно оценивать d_k(X,ρ) сверху...

Пусть теперь dim(X)=n. Это значит: в любое покрытие можно вписать покрытие порядка ≤n, но не в любое покрытие можно вписать покрытие порядка ≤n-1. Это означает, что цепочка заканчивается так:
... ≥ d_{n-1}(X,ρ) > d_n(X,ρ) = 0.
(Строгость неравенства: пусть V — покрытие, в которое невозможно вписать покрытие порядка ≤n-1. По лемме Лебега, найдётся d>0 со свойством: любое покрытие диаметра <d вписывается в V. Значит, любое покрытие порядка ≤n-1 имеет диаметр ≥d).

Число d_{n-1}(X,ρ) ∈ (0, diam X) Урысон назвал коэффициентом сплющивания. (Впоследствии прижилось название "поперечник Урысона". Узнал это всё из доклада И.К.Бабенко и комментариев Е.В.Щепина)

Так вот, уже после смерти Урысона Александров доказал, что d_k(X,ρ) можно определить по-другому, вот так.

Для любого отображения множеств f: X -> Y можно задаться вопросом, "насколько у него большие слои", то есть рассмотреть число
D(f) := sup{diam f^-1(y): y∈Y}.
Оно измеряет, насколько f далеко от инъекции, причём количественно.
(обозначение D(f) временное.)

Теорема (Александров). d_k(X,ρ) =
inf{D(f): f:X->Y непрерывна, dim(Y)≤k} =
inf{D(f): f:X->Y непрерывна, Y — k-мерный полиэдр}.

(Подозреваю, что теорема доказывается именно с помощью разбиения единицы и отображения в нерв.)

Итак, поперечники Урысона измеряют, "насколько (X,ρ) далеко от k-мерного полиэдра", причём количественно. Скорее всего, их можно связать с расстоянием от (X,ρ) до таких метрических полиэдров (в пространстве всех метрических компактов, по Громову. Или с расстоянием Хаусдорфа в универсальном пространстве Урысона...)

Более общо: можно зафиксировать произвольный класс множеств Y и отображений X->Y, и брать inf D(f) по этому классу. Получатся другие "поперечники" пространства (X,ρ). Сейчас теорией поперечников называют "линейную" версию этой науки: спрашивается, насколько хорошо данное подмножество банахова пространства можно приблизить k-мерным аффинным подпространством. (То есть класс {X->Y} — это "ортогональные проекции".)