оказывается, в первой части некролога по Тёрстону тоже есть воспоминания коллег (Хефлигера, Эпштейна, Салливана):
https://www.ams.org/journals/notices/201511/rnoti-p1318.pdf

1. ориентация это выбор порождающей в кое-какой бесконечной циклической группе
2. ориентация это выбор компоненты связности в многообразии всех реперов кое-какого векторного пространства V (конечномерного, над R).

Эти определения связаны через теорему де Рама, то есть очень странным образом. Сопоставим реперу внешнее произведение входящих в него векторов; получим точку в многообразии всех реперов одномерного векторного пространства W (старшей внешней степени пространства V); по сути, точку многообразия W\{0}, которое является подмножеством топологической группы (W,+). В ней на самом деле сидит "решётка" — бесконечная циклическая группа, и в каждой компоненте связности пространства W\{0} лежит ровно одна образующая этой решётки. (Причем от выбора решетки это не зависит.)

Странно, что всё это кажется нам естественным

P.S.
а ещё из этого чуда следует, что "непрерывная" и "дискретная" интуиции насчёт "прошлого" и "будущего" почему-то совпадают

вот ещё мощнейшее совпадение непрерывного и дискретного.

у групп Ли есть экспоненциальное отображение: зафиксировав вектор в T_eG, можно идти вдоль него по G бесконечно долго, каждый раз сдвигая его себе под ноги. Поэтому из любой точки, лежащей в образе exp:T_eG -> G, извлекается корень любой степени (если туда можно дойти за время t, то это все равно что n раз шагнуть на t/n)

шокирует, что верно и обратное: если из элемента связной группы Ли извлекаются все корни, то до него можно дойти пешком. Это не просто доказать (в частности, нужна теория вещественных алгебраических групп)

Stories about Friedhelm Waldhausen by members of the algebraic topology community

Friedhelm Waldhausen passed away on November 21, 2024. The following are thoughts and stories about Waldhausen that were shared by members of the alg-top email list.

#чётамнаархиве
подарок для любителей мэшапов,
наука про приложения срезанных узлов в четырехмерной топологии (Hayden-Piccirillo)
+
наука про прямоугольные группы Коксетера (M.Davis' reflection group trick)
=
экзотические гладкие структуры на замкнутых асферичных 4-многообразиях
https://arxiv.org/abs/2411.19400

пишут кстати что у Гордана не бомбануло с "неконструктивности" теоремы Гильберта о базисе, это скорее всего миф
https://wayback.archive-it.org/all/20090116011956/http://people.math.jussieu.fr/~harris/theology.pdf

да, с точки зрения жителя симплициального жилищного комплекса, линк это горизонт.

а двойственность Экманна-Хилтона, с точки зрения жителя категории клеточных комплексов, как бы переставляет человека и мир ("субъект и объект"?). И она о происходящем.

корасслоение: если ты, то и я могу за тобой.
расслоение: происходящее с тобой может отразиться и на мне

#Lean
Многие знают, что после успешно завершённого Liquid Tensor Experiment Кевин Баззард и команда отдохнули немного, и вновь взялись за работу. Они занимаются формализацией доказательства Великой теоремы Ферма.

В своём блоге Кевин рассказал об их продвижениях до сих пор. И это совершенно прекрасная история, написанная живым и слегка ироническим языком.

Кратко, его товарищи в процессе работы, прописывая основания кристальных когомологий, обнаружили, что оригинальное доказательство не компилируется. В нём нашлась неустранимая дыра: доказательство ссылается на статью N.Roby 1965 года, Лемма 8 из которой неверна. Что удивительно, N.Roby доказывает её, неправильно цитируя свою же статью 1963 года.

Кевин пишет, что для него в этот момент обрушилось всё доказательство; теорема Ферма стала вновь стала открытой проблемой. Но он знал, что раз теория кристальных когомологий используется последние пятьдесят лет, то она работает, и нужно лишь по-новому обосновать верное утверждение.

Кевин, чем писать электронные письма экспертам, выпил кофе с одним профессором, пообедал с другим, и в конце концов нашёлся текст Артура Огуса, который закрывал дыру, а сам Артур взялся закрывать известные ему дыры в этом своём тексте.

Кевин заключает замечанием о том, в каком хрупком состоянии находится современная математика, сколько критических деталей известны лишь специалистам и нигде толком не прописаны.
--------

Меня в этой истории вдохновляет, что к нам в математику как будто приходит живой трибунал, универсальный калькулятор истинности. Пока утверждение не компилируется Lean'ом, оно не считается доказанным.

Похожая история была в XIX веке: Вейерштрасс, Коши, Пеано, Гильберт, все занимались отделением математики от натурфилософии, постановкой её на формальные рельсы. Их критиковали за излишнюю строгость, за изгнание творчества из математики; но, как и в случае с Lean'ом, ответ есть лишь один: если мы занимаемся математикой, хотим быть уверенными в истинности утверждения, всегда иметь опору под ногами, иметь проверяемые универсальные результаты, нужно модернизировать наш средневековый цех всеми доступными современными технологиями. За Lean'ом будущее!

Обсудим (хотя бы наполовину)?)

На трюк с группами отражений Дэвиса вдохновили Hsiang&Hsiang, Тёрстон и Винберг. Трюк помогает строить странные асферичные замкнутые многообразия (некоторые из них даже не накрываются Rⁿ: Davis, 1983.)

(X асферично, если его односвязное накрытие стягиваемо. Тогда пишут X=K(G,1), где G=π_1(X). Любые два пространства типа K(G,1) гомотопически эквивалентны.)

Например, из трюка следует
Предложение. Пусть существует конечный клеточный комплекс типа K(π,1). Тогда существует замкнутое многообразие типа K(G,1), где группа G ретрагируется на π.

Для групп Баумслага-Солитера
π=BS(p,q):=<a,b|b^p a=ab^q>
соответствующий двумерный комплекс будет иметь тип K(π,1) по теореме Линдона. А ещё известно: централизатор элемента b в BS(n,1) изоморфен Z[1/n]={m/n^k} \subset Q.

Вывод: для любого n≥4 найдется n-мерное (асферичное) компактное многообразие M такое, что π_1(M) содержит подгруппу Z[1/2] (в частности, бесконечно делимые элементы)!

(Mess, "Examples of Poincare Duality groups", 1990)

возможно, надо смириться с тем что "подмногообразие естественных картинок в пространстве всех картинок" — важный объект мира идей (не хуже какой-нибудь алгебры Вирасоро), и надо нащупывать строгую науку именно про объекты такого рода. Что-то в пространстве большой размерности, что мы можем чуть-чуть потрогать. Вопрос в том, что про это многообразие в принципе можно содержательного спросить (современная "геометризованная" математика привыкла считать естественными совершенно другие объекты и поэтому тут вряд ли применима, но подход должен быть математический)

Тао тоже вон отказывают в публикациях, и он говорит, что это обычное дело для него. А то что об этом не рассказывает, вызывает у многих остальных синдром самозванца: https://mathstodon.xyz/@tao/113721192051328193

Как-то на уроке математики мы получили серию задач о бесконечных множествах, нужно было доказывать про них разные штуки, разобрать серию примеров и теорем, которые усыпили мою бдительность, заставили думать, что это что-то интуитивно понятное, и привели нас к невинно выглядящему вопросу о множестве всех множеств. Я понятия не имел, к чему это всё идёт, и был парадоксом Кантора взят врасплох. И поймал в итоге тревогу, и какое-то время пытался этот парадокс как-то всё-таки разрешить, мою наивную первую интуицию — починить; ничего не получилось. Потом я подумал, что мне очень повезло — и этот растерянный ужас — опыт, который невозможно уже повторить. Если бы мне сразу сказали про парадокс Кантора, я бы, может, никогда бы не имел возможность его испытать. Годы спустя я жил в Петербурге прямо напротив дома на Ваське, где Кантор когда-то жил — и думал о том, что, может быть, его безумие мне немножко понятно.

Есть такой феномен, метастабильный полиморфизм кристаллов: у кристаллов есть разные способы собираться в решётки и они могут друг друга "заражать", заставлять другие кристаллы принимать ту же форму. Один такой под названием "гидрохлорид пароксетина" долгое время кристаллизовался в одной форме "ангидрата", но вдруг в конце 1984 года случайно сделали новую кристаллическую форму - полугидрат. После этого все новые кристаллы этой штуки начали формироваться в виде этого полугидрата. Как не бились в лабораториях, по всему миру получался лишь этот новый полугидрат. Воздух всей планеты был заражен новой формой, и к старой уже почти невозможно вернуться.

Так вот и с разными парадоксами, они вызывают ужас и безумие у одного поколения, привыкшего к препарадоксальному мышлению, но потом оказываются в культурном воздухе и становятся чем-то абсолютно нормальным, от чего невозможно вернуться назад. Это именно поколенческая история, потому что "идеи" в какой-то конкретной голове очень стабильны. "Наука движется вперёд исключительно похоронами", предлагает принцип Планка — научное сообщество адаптируется к новому мышлению сменяя поколение, а не меняя сами живые умы. Именно между поколениями проявляется метастабильность мысли.

То же можно сказать и про моральные и культурные изменения. В этом отличном обзоре рассматривается история этой идеи, "смены когорт" у Патнэма: Культуры не меняется, когда люди меняют свои старые идеи на новые — они меняются, когда люди со старыми идеями умирают, и их сменяют люди, выросшие с новыми. Хайековские "вторичные перекупщики идей" (люди типа меня и многих из вас) играют в этом процессе важную роль — они никого никогда не переубедят, но создают атмосферу, в которой "новые идеи", уже для следующего поколения, становятся чем-то само собой разумеющимся. Даже если эти идеи не нравятся, вернуться к миру без них не получится — можно только придумать еще какие-то другие, им противоречащие или от них защищающие.

Меня интересует в этом всём именно опыт парадокса. Есть парадоксы или открытия, что мне невозможно "пережить", скажем, я с удивлением наблюдал, как молодые люди радуются концептуальным достижениям модернизма или постмодернизма, вдохновенно повторяя, что "теперь" в творчестве можно всё, и сильно им завидовал, потому что с детства ощущал эту "свободу" как уже старую и довольно утомительную идею, а новой никакой у меня не было и нет. Так же я силился и не смог прожить, например, Кьеркегоровский парадокс про веру (зато про повторение у него отличный), и удивлённо завидовал тем, кто может.

Но мне повезло с Кантором, и именно опираясь на этот опыт, я много думал о Брауэре, чьё безумие (читая Жан-Ив Жирара) я видел как одно из важнейших событий протоистории компьютеров. Когда-то я спорил об этом всём с одной философской знаменитостью, фанатом Гильберта (который разрушил Брауэру всю карьеру, и в итоге жизнь), и я пытался сослаться на этот опыт парадокса, и понял, что аналогичного опыта у моего собеседника просто нет. Как объяснить парадокс человеку, готовому всегда повторять за Гильбертом: "Мы можем знать. Мы должны знать", - Гильберт настаивал на этом даже после того, как Гёдель математикой же уничтожил всю эту его невыносимую программу?

"Людвиг Больцман, который потратил значительную часть своей жизни на изучение статистической механики, покончил свою жизнь самоубийством в 1906 г. Пауль Эренферст, продолживший работу Больцмана, умер аналогичным образом в 1933 г. Настала наша очередь изучать статистическую механику", так начал свой учебник Девид Гудштайн, который умер, кстати, несколько месяцев назад (видимо от естественных причин). В чем безумие статистической механики, я разобраться не успел, мозгов ее изучать не хватило, но, конечно, очень хочется. У Ника Ланда есть книжка "Жажда Аннигиляции", про Батая с участием Больцмана, очень странная — не ручаюсь, что она действительно близка к собственному безумию статистической механики, но определенный вайб выдаёт. Сейчас сходят с ума наследники Больцмана, изобретатели искусственного интеллекта вроде Ильи Суцкевера, – мне трудно отвлечься от твиттерского вайба всей этой тусовки (культуры дешевого инвесторского бабла, тестов IQ, принципов "рационального мышления" и твитов о Сознании чатажипити), так что всерьёз вживаться я в это не очень хочу, но я понимаю, что их так захватывает, пугает, и заставляет создавать странные культы.

Так что я был разочарован, читая посреди "Пассажира" МакКарти длинный монолог об истории физики 20 века — одна фамилия за другой, кто-то на кого-то повлиял, кто-то у кого-то что-то украл, кто-то пытался что-то открыть великое и не смог, кто-то остался неизвестным и т.д. (Откуда вообще этот жанр? Про философию тоже теперь любят так писать, сто фамилий на безыдейный абзац, и обязательно какую-то малоизвестную надо вписать, доказав, что сделали домашнее задание). Уверен, что тревоги про признание заботили этих всех великих физиков не меньше, чем нас с вами. Но настоящее безумие науки вовсе не в неудачных попытках получить нобелевку, и подозреваю, что и не в атомной бомбе и не в гендерных всяких перипетиях (даже известные удивительные сексуальные практики тоже бы объяснял бы не гением, а социологией наук США и СССР середины 20 века). Куда ближе то, как это в "Проблеме трёх тел": облокотившись на привычки свого понимания, как на вечернюю третью ногу, и резко эту опору потеряв, ученые не смогли найти другого выхода, кроме как отравляться, вешаться, стреляться. Так наука двигается вперёд.