#геом_разминка
Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶. Точка 𝑃 выбрана на окружности (𝐴𝐵𝐶), а точка 𝑄 — на отрезке 𝐴𝐶 так, что 𝐴𝑃 ⊥ 𝐵𝐶 и 𝐵𝑄 ⊥ 𝐴𝐶. Точка 𝑂 — центр описанной окружности треугольника 𝐴𝑃𝑄. Найдите угол 𝑂𝐵𝐶.
Сезгә тәмле өчпочмаклар телибез😋
Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶. Точка 𝑃 выбрана на окружности (𝐴𝐵𝐶), а точка 𝑄 — на отрезке 𝐴𝐶 так, что 𝐴𝑃 ⊥ 𝐵𝐶 и 𝐵𝑄 ⊥ 𝐴𝐶. Точка 𝑂 — центр описанной окружности треугольника 𝐴𝑃𝑄. Найдите угол 𝑂𝐵𝐶.
Сезгә тәмле өчпочмаклар телибез
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
#разминка
Задача. Девять чисел таковы, что сумма любых четырех из них меньше суммы пяти остальных. Докажите, что все числа положительные.
Задача. Девять чисел таковы, что сумма любых четырех из них меньше суммы пяти остальных. Докажите, что все числа положительные.
#геом_разминка
Геометры в Иннополисе не дремлют а лепят снеговикозадачи☃️
Задача. Даны две непересекающиеся окружности с центрами 𝑂₁ и 𝑂₂. Построим окружность с центром на прямой 𝑂₁𝑂₂, касающуюся двух первых внешним образом. Доказать, что третья окружность пересекает общие внутренние касательные к данным окружностям в четырех точках,
являющихся вершинами четырехугольника, две стороны которого соответственно параллельны общим внешним касательным к данным окружностям.
Желаем и вам быстро войти в рабочий ритм 🥁 и решить нашу разминку
За картинкой бегите в комментарии👇
Геометры в Иннополисе не дремлют а лепят снеговикозадачи
Задача. Даны две непересекающиеся окружности с центрами 𝑂₁ и 𝑂₂. Построим окружность с центром на прямой 𝑂₁𝑂₂, касающуюся двух первых внешним образом. Доказать, что третья окружность пересекает общие внутренние касательные к данным окружностям в четырех точках,
являющихся вершинами четырехугольника, две стороны которого соответственно параллельны общим внешним касательным к данным окружностям.
Желаем и вам быстро войти в рабочий ритм 🥁 и решить нашу разминку
За картинкой бегите в комментарии
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
#разминка
Задача. Можно ли расположить на плоскости 100 точек так, чтобы любые три из них образовывали треугольник с углом, большим 120°?
Задача. Можно ли расположить на плоскости 100 точек так, чтобы любые три из них образовывали треугольник с углом, большим 120°?
#по_факту
Лемма Фусса для коник. Пусть точки 𝐾, 𝐿, 𝑃, 𝑀, 𝑁, 𝑄 лежат на одной конике. Тогда, если 𝐾, 𝐿, 𝑀, 𝑁 лежат на одной окружности и 𝐾, 𝑀, 𝑃, 𝑄 лежат на одной окружности, то 𝐿𝑁 ‖ 𝑃𝑄.
Немного коник вам в ленту🐴
Лемма Фусса для коник. Пусть точки 𝐾, 𝐿, 𝑃, 𝑀, 𝑁, 𝑄 лежат на одной конике. Тогда, если 𝐾, 𝐿, 𝑀, 𝑁 лежат на одной окружности и 𝐾, 𝑀, 𝑃, 𝑄 лежат на одной окружности, то 𝐿𝑁 ‖ 𝑃𝑄.
Немного коник вам в ленту
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
#геом_разминка
Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведена высота 𝐴𝐷, отмечены точка пересечения высот 𝐻 и центр описанной окружности 𝑂. На отрезке 𝐴𝐻 нашлась точка 𝐾 такая, что 𝐴𝐾 = 𝐻𝐷, а на отрезке 𝐶𝐷 нашлась точка 𝐿 такая что 𝐶𝐿 = 𝐷𝐵. Докажите, что прямая 𝐾𝐿 проходит через точку 𝑂.
Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведена высота 𝐴𝐷, отмечены точка пересечения высот 𝐻 и центр описанной окружности 𝑂. На отрезке 𝐴𝐻 нашлась точка 𝐾 такая, что 𝐴𝐾 = 𝐻𝐷, а на отрезке 𝐶𝐷 нашлась точка 𝐿 такая что 𝐶𝐿 = 𝐷𝐵. Докажите, что прямая 𝐾𝐿 проходит через точку 𝑂.
#геом_разминка
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝐼 — центр его вписанной окружности, 𝑃 — такая точка на стороне 𝐴𝐵, что угол 𝑃𝐼𝐵 прямой, 𝑄 — точка, симметричная точке 𝐼 относительно вершины 𝐴. Докажите, что точки 𝐶, 𝐼, 𝑃, 𝑄 лежат на одной окружности.
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝐼 — центр его вписанной окружности, 𝑃 — такая точка на стороне 𝐴𝐵, что угол 𝑃𝐼𝐵 прямой, 𝑄 — точка, симметричная точке 𝐼 относительно вершины 𝐴. Докажите, что точки 𝐶, 𝐼, 𝑃, 𝑄 лежат на одной окружности.
#геом_разминка
Задача. На сторонах треугольника 𝐶𝐷𝐸 во внешнюю сторону построены квадраты 𝐴𝐵𝐶𝐷 и 𝐷𝐸𝐹𝐺. Докажите, что 𝐵𝐹 ⩽ 𝐴𝐺 + 𝐶𝐸.
Задача. На сторонах треугольника 𝐶𝐷𝐸 во внешнюю сторону построены квадраты 𝐴𝐵𝐶𝐷 и 𝐷𝐸𝐹𝐺. Докажите, что 𝐵𝐹 ⩽ 𝐴𝐺 + 𝐶𝐸.
#геом_разминка
Задача. На сторонах 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 выбраны точки 𝑃 и 𝑄 соответственно такие, что 𝐴𝑃 = 𝐴𝑄. На стороне 𝐵𝐶 выбраны точки 𝑅 и 𝑆 (𝐵𝑅 > 𝐵𝑆) таким образом, что ∠𝐵𝑅𝑃 = ∠𝐵𝑃𝑆 и ∠𝐶𝑆𝑄 = ∠𝐶𝑄𝑅. Докажите, что точки 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆 лежат на одной окружности.
Задача. На сторонах 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 выбраны точки 𝑃 и 𝑄 соответственно такие, что 𝐴𝑃 = 𝐴𝑄. На стороне 𝐵𝐶 выбраны точки 𝑅 и 𝑆 (𝐵𝑅 > 𝐵𝑆) таким образом, что ∠𝐵𝑅𝑃 = ∠𝐵𝑃𝑆 и ∠𝐶𝑆𝑄 = ∠𝐶𝑄𝑅. Докажите, что точки 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆 лежат на одной окружности.
#геом_разминка
Под впечатлением от второго сезона Игры в Кальмара и в предверии выхода третьего предлагаем вам решить головоломку, достойную места в сериале
Задача. Можно ли поместить правильный треугольник внутрь правильного шестиугольника так, чтобы из любой вершины шестиугольника были видны все три вершины треугольника?
Под впечатлением от второго сезона Игры в Кальмара и в предверии выхода третьего предлагаем вам решить головоломку, достойную места в сериале
Задача. Можно ли поместить правильный треугольник внутрь правильного шестиугольника так, чтобы из любой вершины шестиугольника были видны все три вершины треугольника?
#геом_разминка #красота_спасет_мир
Задача. На стороне 𝐵𝐶 параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 отмечена точка 𝐸, а на стороне 𝐴𝐷 — точка 𝐹 так, что описанная окружность треугольника 𝐴𝐵𝐸 касается отрезка 𝐶𝐹 . Докажите, что описанная окружность треугольника 𝐶𝐷𝐹 касается прямой 𝐴𝐸.
Задача. На стороне 𝐵𝐶 параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 отмечена точка 𝐸, а на стороне 𝐴𝐷 — точка 𝐹 так, что описанная окружность треугольника 𝐴𝐵𝐸 касается отрезка 𝐶𝐹 . Докажите, что описанная окружность треугольника 𝐶𝐷𝐹 касается прямой 𝐴𝐸.
#геом_разминка
Задача. В окружности 𝜔 с центром в точке 𝑂 провели непересекающиеся хорды 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 так, что ∠𝐴𝑂𝐵 = ∠𝐶𝑂𝐷 = 120°. Касательная к 𝜔 в точке 𝐴 пересекает луч 𝐶𝐷 в точке 𝑋, а касательная к 𝜔 в точке 𝐵 пересекает луч 𝐷𝐶 в точке 𝑌. Прямая 𝑙 проходит через центры окружностей, описанных около треугольников 𝐷𝑂𝑋 и 𝐶𝑂𝑌. Докажите, что 𝑙 касается 𝜔.
Желаем вам везде успеть. И главное, помните: успевает всюду тот, кто никуда не торопится🐌
Задача. В окружности 𝜔 с центром в точке 𝑂 провели непересекающиеся хорды 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 так, что ∠𝐴𝑂𝐵 = ∠𝐶𝑂𝐷 = 120°. Касательная к 𝜔 в точке 𝐴 пересекает луч 𝐶𝐷 в точке 𝑋, а касательная к 𝜔 в точке 𝐵 пересекает луч 𝐷𝐶 в точке 𝑌. Прямая 𝑙 проходит через центры окружностей, описанных около треугольников 𝐷𝑂𝑋 и 𝐶𝑂𝑌. Докажите, что 𝑙 касается 𝜔.
Желаем вам везде успеть. И главное, помните: успевает всюду тот, кто никуда не торопится
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
#геом_разминка
Задача. Дан равнобедренный треугольник 𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐵 = 𝐴𝐶). Пусть 𝑋 — произвольная точка прямой 𝐵𝐶, не совпадающая с 𝐵 и 𝐶. Точки 𝑃 и 𝑄 — проекции 𝑋 на 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников 𝐴𝐵𝑄 и 𝐴𝐶𝑃 пересекаются на прямой 𝐴𝑋.
Задача. Дан равнобедренный треугольник 𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐵 = 𝐴𝐶). Пусть 𝑋 — произвольная точка прямой 𝐵𝐶, не совпадающая с 𝐵 и 𝐶. Точки 𝑃 и 𝑄 — проекции 𝑋 на 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников 𝐴𝐵𝑄 и 𝐴𝐶𝑃 пересекаются на прямой 𝐴𝑋.
#разминка
Задача. Существуют ли такие три различных числа 𝑎, 𝑏, 𝑐, что 𝑎(𝑏 − 𝑐) = 𝑏(𝑐 − 𝑎) = 𝑐(𝑎 − 𝑏)?
Задача. Существуют ли такие три различных числа 𝑎, 𝑏, 𝑐, что 𝑎(𝑏 − 𝑐) = 𝑏(𝑐 − 𝑎) = 𝑐(𝑎 − 𝑏)?
#геом_разминка
Задача. В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 точки 𝐸 и 𝐹 на отрезках 𝐴𝐷 и 𝐶𝐷 такие что ∠𝐵𝐶𝐸 = ∠𝐵𝐴𝐹. Точки 𝐾 и 𝐿 на отрезках 𝐴𝐷 и 𝐶𝐷 такие, что 𝐴𝐾 = 𝐸𝐷 и 𝐶𝐿 = 𝐹𝐷. Докажите, что ∠𝐵𝐾𝐷 = ∠𝐵𝐿𝐷.
Задача. В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 точки 𝐸 и 𝐹 на отрезках 𝐴𝐷 и 𝐶𝐷 такие что ∠𝐵𝐶𝐸 = ∠𝐵𝐴𝐹. Точки 𝐾 и 𝐿 на отрезках 𝐴𝐷 и 𝐶𝐷 такие, что 𝐴𝐾 = 𝐸𝐷 и 𝐶𝐿 = 𝐹𝐷. Докажите, что ∠𝐵𝐾𝐷 = ∠𝐵𝐿𝐷.
#геом_разминка
Задача. На плоскости провели 𝑛 прямых. При каком наименьшем 𝑛 они могут иметь 𝑛 + 1 точку пересечения
Задача. На плоскости провели 𝑛 прямых. При каком наименьшем 𝑛 они могут иметь 𝑛 + 1 точку пересечения
#геом_разминка
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶, вписанном в окружность Ω, проведены высоты 𝐴𝐴₁ и 𝐶𝐶₁. Прямая 𝐴₁𝐶₁ пересекает Ω в точках 𝑃 и 𝑄. Точки 𝑃 ′ и 𝑄′ симметричны точкам 𝑃 и 𝑄 относительно сторон 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶. Докажите, что 𝑃 ′𝑄′ ‖ 𝐴𝐶.
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶, вписанном в окружность Ω, проведены высоты 𝐴𝐴₁ и 𝐶𝐶₁. Прямая 𝐴₁𝐶₁ пересекает Ω в точках 𝑃 и 𝑄. Точки 𝑃 ′ и 𝑄′ симметричны точкам 𝑃 и 𝑄 относительно сторон 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶. Докажите, что 𝑃 ′𝑄′ ‖ 𝐴𝐶.
#геом_разминка
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶. Обозначим через 𝑀 середину стороны 𝐴𝐶, а через 𝑃 — середину отрезка 𝐶𝑀. Описанная окружность треугольника 𝐴𝐵𝑃 пересекает отрезок 𝐵𝐶 во внутренней точке 𝑄. Докажите, что ∠𝐴𝐵𝑀 = ∠𝑀𝑄𝑃.
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶. Обозначим через 𝑀 середину стороны 𝐴𝐶, а через 𝑃 — середину отрезка 𝐶𝑀. Описанная окружность треугольника 𝐴𝐵𝑃 пересекает отрезок 𝐵𝐶 во внутренней точке 𝑄. Докажите, что ∠𝐴𝐵𝑀 = ∠𝑀𝑄𝑃.
#геом_разминка
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶. Луч, проведенный из вершины 𝐵 через середину 𝐴𝐶, пересекает внешнюю биссектрису угла 𝐴 в точке 𝑃. Прямая 𝑃𝐶 пересекает прямую, содержащую внутреннюю биссектрису угла 𝐴, в точке 𝑄. Докажите, что 𝐵𝐴 = 𝐵𝑄.
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶. Луч, проведенный из вершины 𝐵 через середину 𝐴𝐶, пересекает внешнюю биссектрису угла 𝐴 в точке 𝑃. Прямая 𝑃𝐶 пересекает прямую, содержащую внутреннюю биссектрису угла 𝐴, в точке 𝑄. Докажите, что 𝐵𝐴 = 𝐵𝑄.
#геом_разминка
Задача. Четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность с центром 𝑂, причем точка 𝑂 не лежит ни на одной из диагоналей этого четырехугольника. Известно, что центр описанной окружности треугольника 𝐴𝑂𝐶 лежит на прямой 𝐵𝐷. Докажите, что центр описанной окружности треугольника 𝐵𝑂𝐷 лежит на прямой 𝐴𝐶.
Задача. Четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность с центром 𝑂, причем точка 𝑂 не лежит ни на одной из диагоналей этого четырехугольника. Известно, что центр описанной окружности треугольника 𝐴𝑂𝐶 лежит на прямой 𝐵𝐷. Докажите, что центр описанной окружности треугольника 𝐵𝑂𝐷 лежит на прямой 𝐴𝐶.