Мне нравится такая задача.

Педальные треугольники точек P и Q подобны естественным образом. Докажите, что прямая PQ проходит через центр описанной окружности треугольника!

// к дню рождения А.А.Заславского

https://turgor.ru/problems/46/vs-46-baz-avt.pdf
https://turgor.ru/problems/46/vs-46-sl-avt.pdf

опубликованы задачи весеннего Турнира городов

Олимпиада Эйлера - 2025, первый день, задача 2.

Докажите, что площади зеленых треугольников равны.

в новый Квант (№2 за 2025 год) вошла статья Ф.Бахарева и Г.Челнокова про Why-точки, полуописанные окружности и прямую Эйлера

https://biblio.mccme.ru/node/281875

ранее на эту тему: https://www.group-telegram.com/olympgeom.com/1265

Точки P и Q изогонально сопряжены в треугольнике ABC, H — ортоцентр треугольника, AEPF — параллелограмм. Докажите, что если P лежит на (BHC), то QE=QF.

Точки P и Q изогонально сопряжены в треугольнике ABC. S — середина малой дуги BC окружности (ABC). R такая точка на окружности (BPC), что PR и AS параллельны. Докажите, что Q, R и S лежат на одной прямой.

"Безупинна карузеля, безконечне коло мрій" 📼

Республиканская олимпиада Казахстана 2025

9 класс задача 4 (из 6). Автор М. Кунгожин

В неравнобедренном треугольнике ABC точка M — середина стороны AB, I — центр вписанной окружности, а J — середина дуги AB окружности, описанной около треугольника ABC, не содержащей точку C. К окружности с центром J и радиусом JM провели касательные IP и IQ (A и P лежат по одну сторону от прямой CI). Описанные окружности треугольников APJ и BQJ вторично пересекаются в точке R. Докажите, что R лежит на прямой AB.

ЗАДАЧИ И ИТОГИ УСТНОГО ТУРА — 2025

Сегодня, 30 марта в Москве состоялся заключительный устный тур 46го Турнира городов!

Опубликованы условия задач.

По итогам тура жюри приняло решение наградить
— дипломами I степени — участников, решивших не менее 4 задач (всего 25 человек);
— дипломами II степени — участников, решивших 3 задачи (всего 24 человека).
— дипломами III степени — участников, решивших 2 задачи (всего 56 человек).

Жюри также отмечает похвальными грамотами участников, решивших одну задачу.

#устныйтур

По просьбам особо активных участников выкладываю условия олимпиады 239. Довольно во многих питерских кружках принято задачи олимпиады выдавать в качестве серии, поэтому просьба в чате не обсуждать решения как минимум в ближайшие несколько дней.

на картинке есть правильная пятиконечная звезда, но найти ее не так просто...

Можно ли с помощью одной линейки установить, являются ли две данных окружности концентрическими?

Дан вписанный пятиугольник. Из вершины опустим три перпендикуляра на стороны пятиугольника, не выходящие из этой вершины. Основания перпендикуляров являются вершинами треугольника. Докажите, что площадь треугольника не зависит от выбора вершины пятиугольника.

На картинке площади красного и синего треугольников равны.

O и L — центр описанной окружности и точка Лемуана треугольника ABC. Докажите, что касательные к окружностям (AOL), (BOL) и (COL) в соответствующих вершинах треугольника пересекаются в одной точке.

G — точка пересечения медиан треугольника ABC. D — точка пересечения касательной к описанной окружности в точке A со стороной BC. Докажите, что красные углы равны.

красные углы не меняются

Треугольник с углами 40, 60 и 80 градусов.

Пожалуй самую красивую задачу, которую я придумал за последний год, вчера решали семиклассники на Московской устной олимпиаде. Само собой, что она была быть им по возрасту, то есть должна иметь решение без счета и тригонометрии. Предлагаю вам над ней тоже подумать. Обещаю: получите большое удовольствие!