А я давно хотел понять по гомологическим данным, "сколько* нужно образующих и соотношений" для копредставления связной ассоциативной k-алгебры A. Ответ простой, если k — поле: это размерности векторных пространств Tor_1^A(k,k) и Tor_2^A(k,k).
Сегодня я проверил, что он чуть-чуть обобщается:
Теорема. Пусть k — ОГИ, A — связная ассоциативная k-алгебра конечного типа. Тогда (1) в любом однородном копредставлении алгебры A хотя бы gen(Tor_1) образующих и хотя бы rel(Tor_1)+gen(Tor_2) соотношений; (2) существует однородное копредставление, в котором ровно gen(Tor_1) образующих и ровно rel(Tor_1)+gen(Tor_2) соотношений.
[при этом gen и rel можно считать покомпонентно: образующих степени i нужно ровно gen(Tor_{1,i}), и аналогично с соотношениями.]
Пример: для алгебры A=T(x,y)/(5x³=8y², 21y=0), deg(x)=2, deg(y)=3, имеем Tor_{1,2} = k, Tor_{1,3} = k/(21), Tor_{2,6} = k, остальные Tor_{1,*}, Tor_{2,*} нулевые. Первое соотношение порождает Tor_2, второе даёт кручение в Tor_1.
Для произвольного k получаются оценки снизу и сверху, но пока не знаю, совпадают они или нет. Хотите сформулирую? Вопрос в предыдущем посте — примерно про это
*Для простоты я предполагаю, что алгебра имеет конечный тип, то есть каждая градуированная компонента — к.п. k-модуль. Тогда образующих/соотношений в каждой размерности нужно только конечное число, поэтому вопрос корректен. Да и градуированные k-модули Tor_1 и Tor_2 тоже имеют конечный тип
А я давно хотел понять по гомологическим данным, "сколько* нужно образующих и соотношений" для копредставления связной ассоциативной k-алгебры A. Ответ простой, если k — поле: это размерности векторных пространств Tor_1^A(k,k) и Tor_2^A(k,k).
Сегодня я проверил, что он чуть-чуть обобщается:
Теорема. Пусть k — ОГИ, A — связная ассоциативная k-алгебра конечного типа. Тогда (1) в любом однородном копредставлении алгебры A хотя бы gen(Tor_1) образующих и хотя бы rel(Tor_1)+gen(Tor_2) соотношений; (2) существует однородное копредставление, в котором ровно gen(Tor_1) образующих и ровно rel(Tor_1)+gen(Tor_2) соотношений.
[при этом gen и rel можно считать покомпонентно: образующих степени i нужно ровно gen(Tor_{1,i}), и аналогично с соотношениями.]
Пример: для алгебры A=T(x,y)/(5x³=8y², 21y=0), deg(x)=2, deg(y)=3, имеем Tor_{1,2} = k, Tor_{1,3} = k/(21), Tor_{2,6} = k, остальные Tor_{1,*}, Tor_{2,*} нулевые. Первое соотношение порождает Tor_2, второе даёт кручение в Tor_1.
Для произвольного k получаются оценки снизу и сверху, но пока не знаю, совпадают они или нет. Хотите сформулирую? Вопрос в предыдущем посте — примерно про это
*Для простоты я предполагаю, что алгебра имеет конечный тип, то есть каждая градуированная компонента — к.п. k-модуль. Тогда образующих/соотношений в каждой размерности нужно только конечное число, поэтому вопрос корректен. Да и градуированные k-модули Tor_1 и Tor_2 тоже имеют конечный тип
BY сладко стянул
Warning: Undefined variable $i in /var/www/group-telegram/post.php on line 260
Telegram does offer end-to-end encrypted communications through Secret Chats, but this is not the default setting. Standard conversations use the MTProto method, enabling server-client encryption but with them stored on the server for ease-of-access. This makes using Telegram across multiple devices simple, but also means that the regular Telegram chats you’re having with folks are not as secure as you may believe. The perpetrators use various names to carry out the investment scams. They may also impersonate or clone licensed capital market intermediaries by using the names, logos, credentials, websites and other details of the legitimate entities to promote the illegal schemes. Recently, Durav wrote on his Telegram channel that users' right to privacy, in light of the war in Ukraine, is "sacred, now more than ever." Now safely in France with his spouse and three of his children, Kliuchnikov scrolls through Telegram to learn about the devastation happening in his home country. Telegram has become more interventionist over time, and has steadily increased its efforts to shut down these accounts. But this has also meant that the company has also engaged with lawmakers more generally, although it maintains that it doesn’t do so willingly. For instance, in September 2021, Telegram reportedly blocked a chat bot in support of (Putin critic) Alexei Navalny during Russia’s most recent parliamentary elections. Pavel Durov was quoted at the time saying that the company was obliged to follow a “legitimate” law of the land. He added that as Apple and Google both follow the law, to violate it would give both platforms a reason to boot the messenger from its stores.
from pl
