Из оптического свойства коник легко вывести, что софокусные эллипс и гипербола перпендикулярны. Рассмотрим теперь пару эллипсов и пару гипербол с общими фокусами. Теорема Айвори утверждает, что диагонали образованного ими криволинейного прямоугольника равны.
Было бы интересно найти чисто геометрическое доказательство.
Было бы интересно найти чисто геометрическое доказательство.
razr-itog.pdf
135.4 KB
Вчера не стало Сергея Маркелова. Соболезнования близким 🙏
Четыре деревни расположены в вершинах квадрата. Как соединить их кратчайшей системой дорог так,
чтобы из каждой деревни можно было проехать в любую другую? На первый взгляд кажется, что надо просто построить дороги-диагонали квадрата. Оказывается, система дорог окажется короче (правда, всего примерно на 3,5%), если сделать два перекрестка, в каждом из которых сходится по 3 дороги под углами 120 градусов. На третьей картинке вид аэропорта Шэньчжэнь сверху.
Подробности можно прочитать в брошюре В.Ю. Протасова: https://old.mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.31.pdf
чтобы из каждой деревни можно было проехать в любую другую? На первый взгляд кажется, что надо просто построить дороги-диагонали квадрата. Оказывается, система дорог окажется короче (правда, всего примерно на 3,5%), если сделать два перекрестка, в каждом из которых сходится по 3 дороги под углами 120 градусов. На третьей картинке вид аэропорта Шэньчжэнь сверху.
Подробности можно прочитать в брошюре В.Ю. Протасова: https://old.mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.31.pdf
Можно ли сложить из двух или более костей домино прямоугольник, в котором не найдется ни одной прямой, проходящей по краям костей домино и соединяющей две его противоположные стороны (разбивающей исходный прямоугольник на два меньших)? На картинке изображен неправильный пример с синей разбивающей прямой.
Подсказка.Наименьшее возможное число костей в примере 15 и они составляют прямоугольник 5 на 6
Подсказка.
Фото от подписчиков. Реплики Шуховской башни в Нижнем Новгороде.
+ взаимосвязанная с однополостным гиперболоидом статья с М.Б. Скопенковым:
https://www.researchgate.net/publication/51944210_A_surface_containing_a_line_and_a_circle_through_each_point_is_a_quadric
+ взаимосвязанная с однополостным гиперболоидом статья с М.Б. Скопенковым:
https://www.researchgate.net/publication/51944210_A_surface_containing_a_line_and_a_circle_through_each_point_is_a_quadric
Башня в Гуанчжоу, вторая по высоте телебашня в мире, 600 м (левое фото от подписчика). Гиперболоидная конструкция оболочки соответствует патенту инженера Шухова. Правда, в отличие от башни Шухова, имеется лишь одна секция и одно семейство прямолинейных образующих. На высоте 488 метров находится обзорная площадка.
В пространстве легко расположить 6 кубов с попарно непересекающимися внутренностями так, чтобы каждые 2 соприкасались по многоугольнику ненулевой площади. Как доказать, что нельзя больше? Какое максимальное число произвольных тетраэдров можно расположить таким же образом? А произвольных выпуклых многогранников?
Римская мозаика с древнегреческими философами.
Представляет собой один из архимедовых паркетов https://johncarlosbaez.wordpress.com/2012/02/05/archimedean-tilings-and-egyptian-fractions/
Представляет собой один из архимедовых паркетов https://johncarlosbaez.wordpress.com/2012/02/05/archimedean-tilings-and-egyptian-fractions/
Картинки от подписчика.
Парк Эгмонт на Северном острове Новой Зеландии и его доминанта в центре - вулкан Таранаки. Парк был основан в 1900 году и имел форму круга радиусом около 10 км, сейчас больше напоминает фрактал Мандельброта на картинке ниже.
Парк Эгмонт на Северном острове Новой Зеландии и его доминанта в центре - вулкан Таранаки. Парк был основан в 1900 году и имел форму круга радиусом около 10 км, сейчас больше напоминает фрактал Мандельброта на картинке ниже.
Есть следующая простая (и хорошая) планиметрическая задача Микеля. На каждой стороне треугольника взята точка, отличная от вершин. Тогда три окружности, каждая из которых проходит через вершину треугольника и две точки, взятые на сторонах, выходящих из нее, пересекаются в одной точке.
Имеет место быть и такой трехмерный аналог. На каждом ребре тетраэдра взята точка, отличная от вершин. Тогда четыре сферы, каждая из которых проходит через вершину тетраэдра и три точки, взятые на ребрах, выходящих из нее, пересекаются в одной точке.
Имеет место быть и такой трехмерный аналог. На каждом ребре тетраэдра взята точка, отличная от вершин. Тогда четыре сферы, каждая из которых проходит через вершину тетраэдра и три точки, взятые на ребрах, выходящих из нее, пересекаются в одной точке.
13-метровая скульптура невозможного треугольника Пенроуза с разных ракурсов в городе Перт, Австралия
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA_%D0%9F%D0%B5%D0%BD%D1%80%D0%BE%D1%83%D0%B7%D0%B0
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA_%D0%9F%D0%B5%D0%BD%D1%80%D0%BE%D1%83%D0%B7%D0%B0
Оказывается, сегодня День украшения ёлки! Поэтому фото игрушки от подписчицы. Многогранник - курносый куб.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%83%D1%80%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%8B%D0%B9_%D0%BA%D1%83%D0%B1#:~:text=%D0%9A%D1%83%D1%80%D0%BD%D0%BE%CC%81%D1%81%D1%8B%D0%B9%20%D0%BA%D1%83%D0%B1%2C%20%D0%B8%D0%BB%D0%B8%20%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%BE%CC%81%D1%81%D1%8B%D0%B9%20%D0%BA%D1%83%D0%B1,%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%8C%20%D0%B8%20%D1%87%D0%B5%D1%82%D1%8B%D1%80%D0%B5%20%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%83%D1%80%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%8B%D0%B9_%D0%BA%D1%83%D0%B1#:~:text=%D0%9A%D1%83%D1%80%D0%BD%D0%BE%CC%81%D1%81%D1%8B%D0%B9%20%D0%BA%D1%83%D0%B1%2C%20%D0%B8%D0%BB%D0%B8%20%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%BE%CC%81%D1%81%D1%8B%D0%B9%20%D0%BA%D1%83%D0%B1,%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%8C%20%D0%B8%20%D1%87%D0%B5%D1%82%D1%8B%D1%80%D0%B5%20%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85.