This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
Концерт в школе
Вчера по просьбе учителей я сделал небольшой концерт для учеников 10 и 11 классов школы 57 Москвы. Главной его задачей было рассказать современным школьникам о русской авторской песне и, конечно, показать ее на примерах. Ребята услышали песни Булата Окуджавы, Владимира Высоцкого, Александра Городницкого, Юлия Кима, Виктора Луферова, Сергея Никитина и Виктора Берковского.
Ко многим из этих песен я сделал свои аранжировки, чтобы раскрыть их музыкальный потенциал. Как известно, сильная сторона авторской песни — это хорошие стихи, но ведь и заложенная в них музыка часто бывает очень интересной.
А концерт своих песен я дам в клубе Гиперион 9 декабря. Одно его отделение будет на стихи Мандельштама, Фроста, Бродского, Лосева, Кружкова и других прекрасных поэтов. А во втором будут песни на мои стихи - я их сочинил тоже немало ))
Вчера по просьбе учителей я сделал небольшой концерт для учеников 10 и 11 классов школы 57 Москвы. Главной его задачей было рассказать современным школьникам о русской авторской песне и, конечно, показать ее на примерах. Ребята услышали песни Булата Окуджавы, Владимира Высоцкого, Александра Городницкого, Юлия Кима, Виктора Луферова, Сергея Никитина и Виктора Берковского.
Ко многим из этих песен я сделал свои аранжировки, чтобы раскрыть их музыкальный потенциал. Как известно, сильная сторона авторской песни — это хорошие стихи, но ведь и заложенная в них музыка часто бывает очень интересной.
А концерт своих песен я дам в клубе Гиперион 9 декабря. Одно его отделение будет на стихи Мандельштама, Фроста, Бродского, Лосева, Кружкова и других прекрасных поэтов. А во втором будут песни на мои стихи - я их сочинил тоже немало ))
Разрезание параллелограмма
В моем учебнике 8 класса есть простое упражнение на разрезание параллелограмма. Стоит оно в теме трапеция. Школьникам предлагается разрезать параллелограмм на две равнобедренные трапеции. Предполагалось простое разрезание, которое показано на рисунке к этому посту. Неожиданно оказалось, что таким образом можно разрезать не любой параллелограмм. Вчера это заметили Антон @anton_avdeyev и Владислав @thefatherofcorgi. В результате возникла исследовательская задачка, над которой я предлагаю вам подумать.
Пишите ответы и решения в комментарии. А упражнение в учебнике придется поправить. Например, так: нарисуйте параллелограмм, который можно на разрезать на две равнобедренные трапеции. Какие параллелограммы не получится так разрезать?
В моем учебнике 8 класса есть простое упражнение на разрезание параллелограмма. Стоит оно в теме трапеция. Школьникам предлагается разрезать параллелограмм на две равнобедренные трапеции. Предполагалось простое разрезание, которое показано на рисунке к этому посту. Неожиданно оказалось, что таким образом можно разрезать не любой параллелограмм. Вчера это заметили Антон @anton_avdeyev и Владислав @thefatherofcorgi. В результате возникла исследовательская задачка, над которой я предлагаю вам подумать.
Пишите ответы и решения в комментарии. А упражнение в учебнике придется поправить. Например, так: нарисуйте параллелограмм, который можно на разрезать на две равнобедренные трапеции. Какие параллелограммы не получится так разрезать?
Forwarded from Математические этюды
В преддверии Дня математика, отмечающегося теперь в России в день рождения Николая Ивановича Лобачевского (1 декабря; по старому стилю – 20 ноября 1792 года), представляем серию плакатов Три геометрии: сходства и различия https://etudes.ru/etudes/Euclidean-spherical-Lobachevskian-geometries/ .
Пятый постулат Евклида равносилен утверждению, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Если пятый постулат не выполняется, то возможны две ситуации. Через точку, не лежащую на прямой, нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной. Получается сферическая геометрия. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной. Получается геометрия Лобачевского.
На плакатах коротко и наглядно демонстрируются сходства и различия между этими тремя геометриями. Представленные плакаты можно скачать и распечатать на бумаге формата «А». Минимальный размер – листы А3.
Пятый постулат Евклида равносилен утверждению, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Если пятый постулат не выполняется, то возможны две ситуации. Через точку, не лежащую на прямой, нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной. Получается сферическая геометрия. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной. Получается геометрия Лобачевского.
На плакатах коротко и наглядно демонстрируются сходства и различия между этими тремя геометриями. Представленные плакаты можно скачать и распечатать на бумаге формата «А». Минимальный размер – листы А3.
etudes.ru
Три геометрии: сходства и различия / Этюды // Математические этюды
Серия плакатов, демонстрирующих сходства и различия трёх геометрий — евклидовой, сферической и геометрии Лобачевского.
Верю — не верю
Некоторые из приведенных ниже шести утверждений верны в общем случае. Какие?
Некоторые из приведенных ниже шести утверждений верны в общем случае. Какие?
Anonymous Poll
49%
1. Если у двух четырехугольников совпадают все 4 вершины, то они имеют равные площади.
51%
2. В геометрии Лобачевского для любого треугольника есть прямая, равноудалённая от всех его вершин.
41%
3. Центр окружности, вписанной в египетский треугольник, равноудален от середин двух его сторон.
41%
. Если р/б треугольник можно разрезать на три меньших р/б треугольника, то два из них равны.
39%
5. Если прямая делит пополам площадь 4-угольника и 2 его стороны, то он параллелограмм или трапеция.
46%
6. Если все вершины многогранника лежат на одной сфере, то этот многогранник выпуклый.
Концерт
Наверное, не все знают: кроме составления математических задач и написания учебников, я сочиняю еще музыку и тексты, которые обычно располагают столбиком, то есть стихи. А поскольку я неплохо играю на гитаре, то вовсе не удивительно, что часто я кладу стихи на музыку и тогда получаются песни. В некоторых случаях песни у меня выходят и на стихи других поэтов, от Гавриила Державина до Григория Кружкова.
Ровно через неделю, 9 декабря, все это можно услышать в книжном клубе Гиперион на Китай-городе. Начало в 20 часов.
Гиперион — замечательное место со своей атмосферой, небольшим концертным залом, маленьким буфетом и множеством прекрасных книг. Приходите, не пожалеете!
Наверное, не все знают: кроме составления математических задач и написания учебников, я сочиняю еще музыку и тексты, которые обычно располагают столбиком, то есть стихи. А поскольку я неплохо играю на гитаре, то вовсе не удивительно, что часто я кладу стихи на музыку и тогда получаются песни. В некоторых случаях песни у меня выходят и на стихи других поэтов, от Гавриила Державина до Григория Кружкова.
Ровно через неделю, 9 декабря, все это можно услышать в книжном клубе Гиперион на Китай-городе. Начало в 20 часов.
Гиперион — замечательное место со своей атмосферой, небольшим концертным залом, маленьким буфетом и множеством прекрасных книг. Приходите, не пожалеете!
Разрезание параллелограмма. Решение.
Выкладываю решение задачи о разрезании параллелограмма на равнобедренные трапеции.
Если у параллелограмма нет прямых углов и одна из его сторон меньше какой-то диагонали, то такой параллелограмм можно разделить на две р/б трапеции. В противном случае трапеций будет 4. Хуже всего на р/б трапеции режутся прямоугольники: для них нужно уже 8 трапеций, а для квадрата даже 12. Зато само разрезание получается красивым и напоминает оконный витраж.
Можно ли уменьшить это число для квадрата, мне неизвестно. Возможно, у кого-то из читателей нашего канала получится это сделать.
Выкладываю решение задачи о разрезании параллелограмма на равнобедренные трапеции.
Если у параллелограмма нет прямых углов и одна из его сторон меньше какой-то диагонали, то такой параллелограмм можно разделить на две р/б трапеции. В противном случае трапеций будет 4. Хуже всего на р/б трапеции режутся прямоугольники: для них нужно уже 8 трапеций, а для квадрата даже 12. Зато само разрезание получается красивым и напоминает оконный витраж.
Можно ли уменьшить это число для квадрата, мне неизвестно. Возможно, у кого-то из читателей нашего канала получится это сделать.
Верю — не верю. Ответы и решения.
Из предложенных шести утверждений в общем случае верны только два: второе и третье. Для остальных можно подобрать контрпримеры. Судя по статистике, многим показались верными 1 и 6 утверждения, хотя они не являются верными.Четвертое утверждение кажется верным из-за известного золотого р/б треугольника с углом 36 градусов. Пятое станет верным, если потребовать, чтобы прямая проходила через середины противоположных сторон четырехугольника.
А шестое утверждение хорошо показывает отличие геометрии на плоскости от пространства: на плоскости аналогичное утверждение верно. То есть аналогия в пространстве не работает, так как появляется дополнительная степень свободы.
Из предложенных шести утверждений в общем случае верны только два: второе и третье. Для остальных можно подобрать контрпримеры. Судя по статистике, многим показались верными 1 и 6 утверждения, хотя они не являются верными.Четвертое утверждение кажется верным из-за известного золотого р/б треугольника с углом 36 градусов. Пятое станет верным, если потребовать, чтобы прямая проходила через середины противоположных сторон четырехугольника.
А шестое утверждение хорошо показывает отличие геометрии на плоскости от пространства: на плоскости аналогичное утверждение верно. То есть аналогия в пространстве не работает, так как появляется дополнительная степень свободы.
Разрезание квадрата
В одном из предыдущих постов было показано, как разрезать квадрат на 12 равнобедренных трапеций. Там я написал, что не знаю, можно ли разрезать его на меньшее число таких трапеций.
Мне часто пишут, что трудные задачи из нашего учебника не подходят для школьников и сложны даже для учителей. Еще пишут, что детям такие задачи не нужны, а главная их задача — сдать ОГЭ на положительную оценку...
Но вот эта история говорит об обратном. Задачу на разрезание квадрата я дал в одном своем классе — и ее прямо на уроке решили несколько сильных учеников (они все разрезали квадрат на 12 трапеций). А через пару дней ученик того же класса, который не выигрывал олимпиад, принес это решение. Я сам до него не додумался, и согласитесь: не все учителя такое придумают!
Нужны ли такие задачи на уроках? Я бы сказал так: на уроках не нужны скучные задачи и скучные учебники!
Пишите ответы в комментариях, и на всякий случай напоминаю про свой концерт — он уже завтра ))
В одном из предыдущих постов было показано, как разрезать квадрат на 12 равнобедренных трапеций. Там я написал, что не знаю, можно ли разрезать его на меньшее число таких трапеций.
Мне часто пишут, что трудные задачи из нашего учебника не подходят для школьников и сложны даже для учителей. Еще пишут, что детям такие задачи не нужны, а главная их задача — сдать ОГЭ на положительную оценку...
Но вот эта история говорит об обратном. Задачу на разрезание квадрата я дал в одном своем классе — и ее прямо на уроке решили несколько сильных учеников (они все разрезали квадрат на 12 трапеций). А через пару дней ученик того же класса, который не выигрывал олимпиад, принес это решение. Я сам до него не додумался, и согласитесь: не все учителя такое придумают!
Нужны ли такие задачи на уроках? Я бы сказал так: на уроках не нужны скучные задачи и скучные учебники!
Пишите ответы в комментариях, и на всякий случай напоминаю про свой концерт — он уже завтра ))
От нас ушел Сережа Маркелов
Сергей - замечательный геометр, автор множества красивых задач и конструкций (https://dev.mccme.ru/~merzon/pscache/markelov-problems.html ), организатор Математических праздников. Сережа умел очень интересно рассказывать о математике - всегда с юмором и четкими формулировками.
Эту блестящую лекцию он прочитал перед школьниками Дубны в 2003 году. Она была посвящена нерешенным проблемам элементарной геометрии: зеркальным комнатам, раскраскам плоскости, непериодическим паркетам. За прошедшие 20 лет одна из этих проблем была решена, в другой произошло существенное продвижение. Но остальные так и остались нерешенными. Сережа всегда узнавал об этом одним из первых.
Три дня назад его не стало.
Сергей - замечательный геометр, автор множества красивых задач и конструкций (https://dev.mccme.ru/~merzon/pscache/markelov-problems.html ), организатор Математических праздников. Сережа умел очень интересно рассказывать о математике - всегда с юмором и четкими формулировками.
Эту блестящую лекцию он прочитал перед школьниками Дубны в 2003 году. Она была посвящена нерешенным проблемам элементарной геометрии: зеркальным комнатам, раскраскам плоскости, непериодическим паркетам. За прошедшие 20 лет одна из этих проблем была решена, в другой произошло существенное продвижение. Но остальные так и остались нерешенными. Сережа всегда узнавал об этом одним из первых.
Три дня назад его не стало.
Media is too big
VIEW IN TELEGRAM
Прошел концерт...
На этой неделе прошел мой концерт в клубе Гиперион. Спасибо всем, кто пришел, — был почти полный зал слушателей. Для них прозвучали песни на стихи Осипа Мандельштама, Иннокентия Анненского, Георгия Шенгели, Иосифа Бродского, Бахыта Кенжеева и Григория Кружкова. Кстати, один из них даже сидел в зале. Потом, как обычно, я подписывал музыкальные альбомы, книжки и свои учебники. Не обошлось и без тетрадок в клеточку:)
Во втором отделении были песни на мои стихи, причем несколько новых. На кахоне и варгане мне аккомпанировала любимая жена Анастасия Волчкевич. На фрагменте видео первый куплет песни с загадочным названием ЧБТ.
Те же, кто не добрались до Гипериона, могут послушать несколько моих композиций на радио Калина Красная. А еще лучше приходите на следующий концерт уже весной :)
На этой неделе прошел мой концерт в клубе Гиперион. Спасибо всем, кто пришел, — был почти полный зал слушателей. Для них прозвучали песни на стихи Осипа Мандельштама, Иннокентия Анненского, Георгия Шенгели, Иосифа Бродского, Бахыта Кенжеева и Григория Кружкова. Кстати, один из них даже сидел в зале. Потом, как обычно, я подписывал музыкальные альбомы, книжки и свои учебники. Не обошлось и без тетрадок в клеточку:)
Во втором отделении были песни на мои стихи, причем несколько новых. На кахоне и варгане мне аккомпанировала любимая жена Анастасия Волчкевич. На фрагменте видео первый куплет песни с загадочным названием ЧБТ.
Те же, кто не добрались до Гипериона, могут послушать несколько моих композиций на радио Калина Красная. А еще лучше приходите на следующий концерт уже весной :)
Отрезок в четырехугольнике
Если вы соедините любую точку на стороне выпуклого четырехугольника с концами противоположной стороны, проведенные отрезки пересекут его диагонали в точках P и Q.
В общем случае отрезок PQ будет наклонен к стороне четырехугольника, и лишь для одной точки К на этой стороне он окажется ей параллелен. Если данный четырехугольник – трапеция, точка К будет серединой ее большего основания.
А как построить циркулем и линейкой нужную точку для произвольного выпуклого четырехугольника?
Если вы соедините любую точку на стороне выпуклого четырехугольника с концами противоположной стороны, проведенные отрезки пересекут его диагонали в точках P и Q.
В общем случае отрезок PQ будет наклонен к стороне четырехугольника, и лишь для одной точки К на этой стороне он окажется ей параллелен. Если данный четырехугольник – трапеция, точка К будет серединой ее большего основания.
А как построить циркулем и линейкой нужную точку для произвольного выпуклого четырехугольника?
С НОВЫМ СНЕГОМ!
Сегодня в средней полосе России выпал снег - он шел ночью, шел утром, идет и сейчас... Деревья, дороги, кусты и дома - все заметено белым, стерильным и кружевным, точно оренбургский пуховый платок накрыл землю.
Поздравляю всех подписчиков нашего канала с кануном нового 2025 года - пусть он будет легче, чище и добрее уходящего. Пускай он принесет всем мир и надежду!
А эти стихи - подарок вам на новогоднюю ночь ))
Сегодня в средней полосе России выпал снег - он шел ночью, шел утром, идет и сейчас... Деревья, дороги, кусты и дома - все заметено белым, стерильным и кружевным, точно оренбургский пуховый платок накрыл землю.
Поздравляю всех подписчиков нашего канала с кануном нового 2025 года - пусть он будет легче, чище и добрее уходящего. Пускай он принесет всем мир и надежду!
А эти стихи - подарок вам на новогоднюю ночь ))
Муравьи и пианино
В прошлом году биологи Ofer Feinerman и Tabea Dreyer из института Вейцмана в Израиле опубликовали серию удивительных опытов по решению геометрической головоломки группами людей и муравьев. Им было нужно пронести геометрическую фигуру одной формы через коридор с двумя открытыми дверями. Похожую задачу на практике решают грузчики, когда заносят в квартиру пианино. Поэтому эту проблему называют проблемой пианино.
Удивительно, но муравьи справились с данной задачей не хуже людей. Видео того, как они это сделали, можно посмотреть по ссылке.
Вам же я предлагаю решить упрощенный вариант аналогичной геометрической задачи со столом в форме буквы Т.
Как обычно, свои ответы пишите в комментах.
В прошлом году биологи Ofer Feinerman и Tabea Dreyer из института Вейцмана в Израиле опубликовали серию удивительных опытов по решению геометрической головоломки группами людей и муравьев. Им было нужно пронести геометрическую фигуру одной формы через коридор с двумя открытыми дверями. Похожую задачу на практике решают грузчики, когда заносят в квартиру пианино. Поэтому эту проблему называют проблемой пианино.
Удивительно, но муравьи справились с данной задачей не хуже людей. Видео того, как они это сделали, можно посмотреть по ссылке.
Вам же я предлагаю решить упрощенный вариант аналогичной геометрической задачи со столом в форме буквы Т.
Как обычно, свои ответы пишите в комментах.
Параллельный отрезок. Решение.
Выкладываю свое решение задачи про параллельный отрезок в четырехугольнике. Другое решение вы можете прочесть в комментариях к посту с условием этой задачи.
Такую задачу можно давать в 9 классе математической вертикали — она хорошо показывает, как работает свойство гомотетии в нестандартной ситуации.
Также интересно рассмотреть частный случай и найти аналогичную точку на боковой стороне трапеции. В каком отношении эта точка должна делить боковую сторону трапеции, если основания трапеции равны а и b?
Выкладываю свое решение задачи про параллельный отрезок в четырехугольнике. Другое решение вы можете прочесть в комментариях к посту с условием этой задачи.
Такую задачу можно давать в 9 классе математической вертикали — она хорошо показывает, как работает свойство гомотетии в нестандартной ситуации.
Также интересно рассмотреть частный случай и найти аналогичную точку на боковой стороне трапеции. В каком отношении эта точка должна делить боковую сторону трапеции, если основания трапеции равны а и b?
Не в качестве рекламы
В этой таблице собраны задачи с рисунками на 1 и 2 признаки равенства треугольников из нашего учебника. К каждому прилагается краткое описание того, что нужно сделать в данной задаче. Таблицу можно распечатать на листе А4, разрезать на карточки и раздать ученикам. Такие таблицы и отдельные задачки, которые можно напечатать на мини принтере, выкладывает моя коллега Наташа Нетрусова в своем новом канале Золотая задача.
По-моему это будет полезно учителям, репетиторам, да и родителям учеников.
Проходите по ссылке и пользуйтесь — в этом канале не будет никакой рекламы!
В этой таблице собраны задачи с рисунками на 1 и 2 признаки равенства треугольников из нашего учебника. К каждому прилагается краткое описание того, что нужно сделать в данной задаче. Таблицу можно распечатать на листе А4, разрезать на карточки и раздать ученикам. Такие таблицы и отдельные задачки, которые можно напечатать на мини принтере, выкладывает моя коллега Наташа Нетрусова в своем новом канале Золотая задача.
По-моему это будет полезно учителям, репетиторам, да и родителям учеников.
Проходите по ссылке и пользуйтесь — в этом канале не будет никакой рекламы!
Telegram
Золотая задача
Муравьи и пианино. Решение.
Эта задача по комбинаторной геометрии проще задачи с пианино, которую на практике решали люди и муравьи. Однако предлагаемое решение проходит для коридора с двумя проемами, которые могут быть расположены в его стенах произвольно.
Удивительно, что при неограниченном числе квадратов образующих стол, его площадь не может быть сколь угодно большой — кажется, что в пределе стол превратится в очень длинный и тонкий прямоугольник, который можно просунуть через проем, повернуть и вынести из коридора. На самом деле максимум площади достигается для стола из 10 клеток и он равен 2 квадратным метрам. Потом при увеличении числа клеток площадь стола начнет уменьшаться. Связано это с тем, что при развороте стола один его угол упирается в стену, а длинная «ножка» застревает в проеме на противоположной стене коридора.
Решение вы можете прочесть на рисунке.
Эта задача по комбинаторной геометрии проще задачи с пианино, которую на практике решали люди и муравьи. Однако предлагаемое решение проходит для коридора с двумя проемами, которые могут быть расположены в его стенах произвольно.
Удивительно, что при неограниченном числе квадратов образующих стол, его площадь не может быть сколь угодно большой — кажется, что в пределе стол превратится в очень длинный и тонкий прямоугольник, который можно просунуть через проем, повернуть и вынести из коридора. На самом деле максимум площади достигается для стола из 10 клеток и он равен 2 квадратным метрам. Потом при увеличении числа клеток площадь стола начнет уменьшаться. Связано это с тем, что при развороте стола один его угол упирается в стену, а длинная «ножка» застревает в проеме на противоположной стене коридора.
Решение вы можете прочесть на рисунке.
задачи для подготовки к ОГЭ.pdf
2.6 MB
Подготовка к ОГЭ
Как известно, главный принцип многих учеников 9 класса, а говоря по правде, так же и многих учителей: нам бы ОГЭ не завалить. Этот лозунг становится все актуальнее - ведь уже началось второе полугодие. А дальше экзамены, и начинает подавать признаки жизни жареный петух...
В последнем издании нашего учебника за 9 класс мы существенно обновили раздел, посвященный повторению геометрии и подготовке к экзамену в конце года. Там собрано больше 100 хороших задач как его тестовой части, так и второй части экзамена, включая последние самые сложные задачи. Более того, туда добавлено несколько сходных по сложности геометрических задач ЕГЭ.
Принцип отбора был прост: задачи должны были быть содержательными, так сказать, «без поддавков».
Поскольку последнее издание пока мало у кого есть, я решил выложить несколько разворотов этого раздела здесь — это будет полезно для подготовки ребят перед экзамененами.
Как известно, главный принцип многих учеников 9 класса, а говоря по правде, так же и многих учителей: нам бы ОГЭ не завалить. Этот лозунг становится все актуальнее - ведь уже началось второе полугодие. А дальше экзамены, и начинает подавать признаки жизни жареный петух...
В последнем издании нашего учебника за 9 класс мы существенно обновили раздел, посвященный повторению геометрии и подготовке к экзамену в конце года. Там собрано больше 100 хороших задач как его тестовой части, так и второй части экзамена, включая последние самые сложные задачи. Более того, туда добавлено несколько сходных по сложности геометрических задач ЕГЭ.
Принцип отбора был прост: задачи должны были быть содержательными, так сказать, «без поддавков».
Поскольку последнее издание пока мало у кого есть, я решил выложить несколько разворотов этого раздела здесь — это будет полезно для подготовки ребят перед экзамененами.
Геометрия помогает алгебре
Принято считать, что алгебра «решает» геометрию, то есть любую не очень сложную геометрическую задачу можно посчитать с помощью координат или векторов. До некоторой степени это верно, и главная проблема здесь — количество времени, необходимое на такие расчеты. Вообще, проблема времени еще не до конца оценена современной математикой. Если доказательство утверждения занимает больше тысячи страниц, то есть реальный шанс не успеть дочитать его до конца жизни, тем более отыскать в нем ошибку.
Интересно, что существуют алгебраические задачи, которые гораздо проще решить с помощью геометрии. В таких случаях уже геометрия протягивает алгебре руку помощи. В нашем учебнике 9 класса есть такие задачи — им даже посвящен небольшой раздел.
Вашему вниманию я предлагаю две задачи такого типа. Попробуйте их решить без громоздких вычислений.
Свои ответы пишите в комментариях.
Принято считать, что алгебра «решает» геометрию, то есть любую не очень сложную геометрическую задачу можно посчитать с помощью координат или векторов. До некоторой степени это верно, и главная проблема здесь — количество времени, необходимое на такие расчеты. Вообще, проблема времени еще не до конца оценена современной математикой. Если доказательство утверждения занимает больше тысячи страниц, то есть реальный шанс не успеть дочитать его до конца жизни, тем более отыскать в нем ошибку.
Интересно, что существуют алгебраические задачи, которые гораздо проще решить с помощью геометрии. В таких случаях уже геометрия протягивает алгебре руку помощи. В нашем учебнике 9 класса есть такие задачи — им даже посвящен небольшой раздел.
Вашему вниманию я предлагаю две задачи такого типа. Попробуйте их решить без громоздких вычислений.
Свои ответы пишите в комментариях.
Три перпендикуляра.pdf
856.9 KB
Три перпендикуляра
Выкладываю свой рабочий листок по теме Теорема о трех перпендикулярах.
В данной подборке есть задачи на нахождение длины перпендикуляра из точки на прямую в пространстве, а так же задачи на перпендикулярность скрещивающихся прямых в кубе или пирамиде. В обоих случаях теорема оказывается очень полезной.
Также теорема о трех перпендикулярах очень помогает при построении сечений, перпендикулярных прямым в некоторых многогранниках: кубе, правильной пирамиде и призме. Но этим задачам посвящена отдельная подборка.
Выкладываю свой рабочий листок по теме Теорема о трех перпендикулярах.
В данной подборке есть задачи на нахождение длины перпендикуляра из точки на прямую в пространстве, а так же задачи на перпендикулярность скрещивающихся прямых в кубе или пирамиде. В обоих случаях теорема оказывается очень полезной.
Также теорема о трех перпендикулярах очень помогает при построении сечений, перпендикулярных прямым в некоторых многогранниках: кубе, правильной пирамиде и призме. Но этим задачам посвящена отдельная подборка.