Как разложить F:=X³+Y³+Z³-3XYZ на множители? Вот несколько возможных подходов.
1) Если поверить, что это возможно, то один из множителей линейный. Проверим, делится ли это выражение на симметричный линейный множитель, X+Y+Z. Ну, если X+Y+Z=0, то Z=-(X+Y) и X³+Y³+Z³=X³+Y³-(X+Y)³=-3X²Y-3XY²=-3XY(X+Y)=3XYZ. То есть X³+Y³+Z³-3XYZ=0 (mod X+Y+Z). Дальше можно разделить F на X+Y+Z в столбик просто.
2) Насколько X³+Y³+Z³ отличается от (X+Y+Z)³? X³+Y³+Z³=(X+Y+Z)³-3(X+Y+Z)(XY+YZ+ZX)+3XYZ (можно сказать, что мы выразили левую часть через элементарные симметрические многочлены). Видим, что F=(X+Y+Z)((X+Y+Z)²-3(XY+YZ+ZX))=(X+Y+Z)(X²+Y²+Z²-XY-YZ-ZX).
Дальше на этом пути можно пытаться выразить суммы n-х степеней через элементарные симметрические (“формулы Ньютона”).
3) F — определитель матрицы |X Y Z| |Z X Y| |Y Z X| Если прибавить к первой строке две остальные, то видно, что он делится на (X+Y+Z). Оставшийся определитель легко посчитать, но можно вместо этого заметить, что по аналогичной причине определитель делится на (X+wY+w²Z) и (X+w²Y+wZ), где w — кубический корень из 1.
Это вычисление несложно обобщить на определитель F_n матрицы X_{i-j mod n}. Но на этом история не заканчивается, скорее только начинается. И это история про Фробениуса и теорию представлений конечных групп — можно посмотреть по этому поводу текст K.Conrad’а, https://kconrad.math.uconn.edu/articles/groupdet.pdf
Как разложить F:=X³+Y³+Z³-3XYZ на множители? Вот несколько возможных подходов.
1) Если поверить, что это возможно, то один из множителей линейный. Проверим, делится ли это выражение на симметричный линейный множитель, X+Y+Z. Ну, если X+Y+Z=0, то Z=-(X+Y) и X³+Y³+Z³=X³+Y³-(X+Y)³=-3X²Y-3XY²=-3XY(X+Y)=3XYZ. То есть X³+Y³+Z³-3XYZ=0 (mod X+Y+Z). Дальше можно разделить F на X+Y+Z в столбик просто.
2) Насколько X³+Y³+Z³ отличается от (X+Y+Z)³? X³+Y³+Z³=(X+Y+Z)³-3(X+Y+Z)(XY+YZ+ZX)+3XYZ (можно сказать, что мы выразили левую часть через элементарные симметрические многочлены). Видим, что F=(X+Y+Z)((X+Y+Z)²-3(XY+YZ+ZX))=(X+Y+Z)(X²+Y²+Z²-XY-YZ-ZX).
Дальше на этом пути можно пытаться выразить суммы n-х степеней через элементарные симметрические (“формулы Ньютона”).
3) F — определитель матрицы |X Y Z| |Z X Y| |Y Z X| Если прибавить к первой строке две остальные, то видно, что он делится на (X+Y+Z). Оставшийся определитель легко посчитать, но можно вместо этого заметить, что по аналогичной причине определитель делится на (X+wY+w²Z) и (X+w²Y+wZ), где w — кубический корень из 1.
Это вычисление несложно обобщить на определитель F_n матрицы X_{i-j mod n}. Но на этом история не заканчивается, скорее только начинается. И это история про Фробениуса и теорию представлений конечных групп — можно посмотреть по этому поводу текст K.Conrad’а, https://kconrad.math.uconn.edu/articles/groupdet.pdf
BY Непрерывное математическое образование
Warning: Undefined variable $i in /var/www/group-telegram/post.php on line 260
Telegram was founded in 2013 by two Russian brothers, Nikolai and Pavel Durov. The regulator said it has been undertaking several campaigns to educate the investors to be vigilant while taking investment decisions based on stock tips. The regulator took order for the search and seizure operation from Judge Purushottam B Jadhav, Sebi Special Judge / Additional Sessions Judge. But Telegram says people want to keep their chat history when they get a new phone, and they like having a data backup that will sync their chats across multiple devices. And that is why they let people choose whether they want their messages to be encrypted or not. When not turned on, though, chats are stored on Telegram's services, which are scattered throughout the world. But it has "disclosed 0 bytes of user data to third parties, including governments," Telegram states on its website. These administrators had built substantial positions in these scrips prior to the circulation of recommendations and offloaded their positions subsequent to rise in price of these scrips, making significant profits at the expense of unsuspecting investors, Sebi noted.
from sa
