Прокинулись — посміхнулись 🌚

Дано блакитний квадрат та довільну червону точку в середині нього. Доведіть перпендикулярність синіх відрізків.

Дано описаний чотирикутник... Доведіть перпендикулярність зелених відрізків.

Київська міська олімпіада 2025, 2 тур, 10.4

Точка A1 знаходиться всередині гострокутного трикутника ABC така, що ∠ACB = 2∠A1BC та ∠ABC = 2∠A1CB. Точки A і A2 лежать по різні боки відносно прямої BC, причому AA2⊥BC та серединний перпендикуляр до AA2 дотикається описаного кола трикутника ABC. Визначимо точки B1, B2, C1, C2 аналогічно. Доведіть, що описані кола трикутників AA1A2, BB1B2 та CC1C2 перетинаються рівно в двох спільних точках.

Вадим Соломка

Дуже прикольний та важливий факт)

IO — прямая Ейлера тангенціального трикутника.

Київська міська олімпіада 2025, 2 тур, 7.4

Нехай 𝐵𝐸 і 𝐶𝐹 − медіани △ 𝐴𝐵𝐶, 𝐺 − точка їх перетину. На відрізках 𝐺𝐹 та 𝐺𝐸 знайшлися точки 𝐾 і 𝐿 відповідно такі, що 𝐵𝐾=𝐶𝐿=𝐴𝐺. Доведіть, що ∠𝐵𝐾𝐹 +∠𝐶𝐿𝐸 =∠𝐵𝐺𝐶.

Вадим Соломка

Київська міська олімпіада 2025, 2 тур, 9.4

Нехай 𝐻 – точка перетину висот, а точка 𝑂 – центр описаного кола трикутника 𝐴𝐵𝐶. Пряма 𝐴𝐻 вдруге перетинає описане коло ∆𝐴𝐵𝐶 в точці 𝑁. Описане коло ∆𝐵𝑂𝐶 з центром в точці 𝑄 вдруге перетинає пряму 𝑂𝐻 в точці 𝑋. Доведіть, що точки 𝑂,𝑄, 𝑁, 𝑋 лежать на одному колі.

Матвій Курський

Київська міська олімпіада 2025, 2 тур, 11.3

На сторонах 𝐴𝐵 і 𝐴𝐶 гострокутного нерівнобедреного трикутника 𝐴𝐵𝐶 обрано точки 𝑃 і 𝑄 відповідно так, що центр кола Ейлера 𝑂_9 трикутника 𝐴𝐵𝐶 є серединою відрізку 𝑃𝑄. Нехай 𝑂 – центр описаного кола 𝐴𝐵𝐶. На промені 𝑂𝑃 за точку 𝑃 відклали відрізок 𝑃𝑋 так, що 𝑃𝑋 = 𝐴𝑄, на промені 𝑂𝑄 за точку 𝑄 відклали відрізок 𝑄𝑌 так, що 𝑄𝑌 = 𝐴𝑃. Доведіть, що середина сторони 𝐵𝐶, середина відрізку 𝑋𝑌 і точка 𝑂_9 лежать на одній прямій.

Данило Хілько

Київська міська олімпіада 2025, 2 тур, 8.4

Всередині опуклого чотирикутника 𝐴𝐵𝐶𝐷 обрано точку 𝑃 так що ∠𝑃𝐴𝐷 =∠𝑃𝐴𝐵 =∠𝑃𝐵𝐶 =∠𝑃𝐶𝐵 =∠𝑃𝐷𝐴 = 30°. Доведіть, що ∠𝐶𝐷𝑃 = 30°.

Вадим Соломка

Нещодавно на гуртку Кванта (на який, до речі, учні 7-9 класів можуть долучитись 😉) було заняття з теми "точка Мікеля" і насправді за останній рік вона для мене заграла новими фарбами.

Ділюся листочком, який знайомить з точкою Мікеля і дає змогу попрактикуватись на відповідних задачах. Головною перевагою цього листочку є те, що майже всi задачi, навіть складні, розв’язуються банальним "перекидуванням" кутiв. Цей "скiл" насправдi є дуже корисним i, на мою думку, чи не найважливiшим взагалi.

Точки X та Y такі, що CY = MY, BX = MX та ∠CYM = 2∠MAB, ∠MXB = 2∠CAM.
Доведіть, що XY⊥AM.

Дано чотирикутник ABCD, в який вписано коло з центром I. Дотичні в точках А та С до описаного кола трикутника AIC перетинаються в точці Х, а дотичні в точках B та D до описаного кола трикутника BID перетинаються в точці Y.
Доведіть, що точки I, X та Y лежать на одній прямій.

Дано чотирикутник ABCD, через E, F середини AC і BD проведено пряму що перетинає BC і CD в точках L і K, через які проведено прямі паралельні до AB і AD, що перетинаються в P. Доведіть, колінеарність точок A, E, P.

Вже скоро проходитиме чергова олімпіада із геометричних побудов у GeoGebra Гекон. Як і завжди, задачі і атмосфера будуть на вищому рівні, тож долучайтесь!

Більше інформації про реєстрацію, дату проведення і тд. дізнайтесь за посиланням.

На каналі ви могли бачити динамічні картинки деяких теорем чи задач, створенні за допомогою GeoGebra. З точки зору побудови, деякі з них легкі, а деякі складніші і потребували глибокого аналізу, наприклад ця.

А спробуйте самотужки побудувати у GeoGebra наприклад дві такі конструкції, представлені на відео. Зліва та справа у рівносторонній трикутник певним чином вписано кола, червоним кольором позначено дотики, які при ворушінні конструкції мають зберігатись.

Точки О та Н — центр описаного коло та ортоцентр трикутника АВС. Пряма АО перетинає ВН та СН у точках X та Y. Доведіть, що пряма Ейлера трикутника HXY паралельна прямій, яка сполучає точку А та центр описаного кола трикутника АОН.

Простенька авторка Антона Жилінського про квадрати)
Умову публікую картинкою

Ладно, ось більш адекватний варіант

Частина розв'язку моєї авторскьої, яка фактично співпадає з Problem 5 RMM 2025.

Дано трикутник АВС з ортоцентром Н. K така точка на площині, що Н — інцентр ВКС. ABCD — рівнобічна трапеція. Доведіть, що пряма KD паралельна прямій Ейлера трикутника ABC.

Ap - перша точка Аполлонія трикутника ABC. Точка M вибрана всередині ABC таким чином, що BM=MC і <BMC=120°. Ізогональ до AM перетинає (ApBC) в точці K за межами трикутника ABC. Доведіть, що K - точка дотику кола що ззовні дотикається кіл (ApBC), (ApCA), (ApAB).