Forwarded from Мат. Салат
Картинки на выходных. Margarita Philosophica (1503). Титульный лист Четвертой книги, посвящённой арифметике. Изображает состязание двух великих учёных – Пифагора (справа) и Боэция (слева), судьёй в котором выступает сама (персонифицированная) Арифметика.
https://arxiv.org/abs/1703.08108
François Laudenbach. René Thom and an anticipated h-principle
(via @zenzeli)
«The first part of this article intends to present the role played by Thom in diffusing Smale’s ideas about immersion theory, at a time (1957) where some famous mathematicians were doubtful about them: it is clearly impossible to turn the sphere inside out! Around a decade later, M. Gromov transformed Smale’s idea into what is now known as the h-principle. Here, the h stands for homotopy.
Shortly after the astonishing discovery by Smale, Thom gave a conference in Lille (1959) announcing a theorem which would deserve to be named a homological h-principle. The aim of our second part is to comment about this theorem which was completely ignored by the topologists in Paris, but not in Leningrad. (…)»
François Laudenbach. René Thom and an anticipated h-principle
(via @zenzeli)
«The first part of this article intends to present the role played by Thom in diffusing Smale’s ideas about immersion theory, at a time (1957) where some famous mathematicians were doubtful about them: it is clearly impossible to turn the sphere inside out! Around a decade later, M. Gromov transformed Smale’s idea into what is now known as the h-principle. Here, the h stands for homotopy.
Shortly after the astonishing discovery by Smale, Thom gave a conference in Lille (1959) announcing a theorem which would deserve to be named a homological h-principle. The aim of our second part is to comment about this theorem which was completely ignored by the topologists in Paris, but not in Leningrad. (…)»
arXiv.org
Ren{é} Thom and an anticipated h-principle
The first part of this article intends to present the role played by Thom in diffusing Smale's ideas about immersion theory, at a time (1957) where some famous mathematicians were doubtful about...
Forwarded from Непрерывное математическое образование
про «homotopy principle» aka h-принцип можно, кстати, почитать книжку Мишачева и Элиашберга https://biblio.mccme.ru/node/1695/
https://math.hse.ru/announcements/1041249091.html
в понедельник (09.06) на Матфаке ВШЭ будет традиционный день Арнольда с двумя лекциями
— С.В.Иванов. Задача Банаха об изометричных подпространствах
«Пусть в n-мерном нормированном пространстве все k-мерные линейные подпространства изометричны между собой для некоторого фиксированного k, где 1<k<n. Верно ли тогда, что данное пространство обязательно евклидово? Этот естественный вопрос был поставлен еще Стефаном Банахом. На сегодняшний день он решен положительно в некоторых размерностях (например, для всех нечетных n) и остается открытым в остальных. В докладе будет рассказано о разных подходах к этой задаче и известных результатах, как классических, так и новых.»
— Н.Кононенко. Кулоновские ветви и луковые многообразия
«Кулоновские ветви являются интересными, но очень сложными для явного вычисления объектами, возникающими при изучении производной алгебраической геометрии на аффинном грассманиане. Они давно были известны в теоретической физике, но математически строго были определены лишь в 2016 году. В докладе будет рассказано об одном подходе к явному и элементарному описанию кулоновских ветвей определенного типа (а именно, кулоновских ветвей колчанных калибровочных теорий). При этом подходе возникают луковые многообразия, представляющие самостоятельный интерес. Будет рассказано как о «классических» луковых многообразиях Накаждимы-Такаямы (введенных в 2017 году), так и об их альтернативном описании, работающем для исключительных групп.»
в понедельник (09.06) на Матфаке ВШЭ будет традиционный день Арнольда с двумя лекциями
— С.В.Иванов. Задача Банаха об изометричных подпространствах
«Пусть в n-мерном нормированном пространстве все k-мерные линейные подпространства изометричны между собой для некоторого фиксированного k, где 1<k<n. Верно ли тогда, что данное пространство обязательно евклидово? Этот естественный вопрос был поставлен еще Стефаном Банахом. На сегодняшний день он решен положительно в некоторых размерностях (например, для всех нечетных n) и остается открытым в остальных. В докладе будет рассказано о разных подходах к этой задаче и известных результатах, как классических, так и новых.»
— Н.Кононенко. Кулоновские ветви и луковые многообразия
«Кулоновские ветви являются интересными, но очень сложными для явного вычисления объектами, возникающими при изучении производной алгебраической геометрии на аффинном грассманиане. Они давно были известны в теоретической физике, но математически строго были определены лишь в 2016 году. В докладе будет рассказано об одном подходе к явному и элементарному описанию кулоновских ветвей определенного типа (а именно, кулоновских ветвей колчанных калибровочных теорий). При этом подходе возникают луковые многообразия, представляющие самостоятельный интерес. Будет рассказано как о «классических» луковых многообразиях Накаждимы-Такаямы (введенных в 2017 году), так и об их альтернативном описании, работающем для исключительных групп.»
math.hse.ru
День Арнольда 2025 на Факультете математики
В понедельник, 9 июня 2025 г., на Факультете традиционно пройдет День Арнольда, посвященный 88-летию со дня рождения Владимира Игоревича Арнольда (12 июня 1937 г. – 3 июня 2010 г.)
Forwarded from tropical saint petersburg
Книга "Математики Санкт-Петербурга и их открытия'' с увлекательными историями про петербургских математиков вышла в МЦНМО, можно купить. Половина книги довольно забористая математика для неподготовленных читателей, половина — биографии с иллюстрациями, много интересных фактов.
См. моё интервью с Иваном Ямщиковым про книгу.
См. моё интервью с Иваном Ямщиковым про книгу.
Непрерывное математическое образование
Книга "Математики Санкт-Петербурга и их открытия'' с увлекательными историями про петербургских математиков вышла в МЦНМО, можно купить. Половина книги довольно забористая математика для неподготовленных читателей, половина — биографии с иллюстрациями, много…
spbmath-intro.pdf
119.4 KB
предисловие к книге «Математики Санкт-Петербурга…»
https://zykin.mccme.ru/
в среду (11.06) в МИАН будет IX конференция памяти Алексея Зыкина (13.06.1984–22.04.2017)
12:00 Екатерина Преснова. Многочлены Ласку и многогранники Гельфанда–Цетлина
13:15 Екатерина Америк. Потенциальная плотность рациональных точек на гильбертовом кубе некоторых поверхностей типа K3
15:30 Дмитрий Фроленков. Об одной обобщенной функции числа делителей
16:40 Владлен Тиморин. Самоподобие и апериодические точки для внешних бильярдов
в среду (11.06) в МИАН будет IX конференция памяти Алексея Зыкина (13.06.1984–22.04.2017)
12:00 Екатерина Преснова. Многочлены Ласку и многогранники Гельфанда–Цетлина
13:15 Екатерина Америк. Потенциальная плотность рациональных точек на гильбертовом кубе некоторых поверхностей типа K3
15:30 Дмитрий Фроленков. Об одной обобщенной функции числа делителей
16:40 Владлен Тиморин. Самоподобие и апериодические точки для внешних бильярдов
Forwarded from сладко стянул
Прошли лекции памяти Шафаревича (А.Ю.Окуньков — "Теория пересечений на пересечении теорий")
Очень красиво, что в этой глубокой математике речь идёт "всё ещё" о соответствии между двумя способами смотреть на кривые в многообразии: их можно
(1) задавать параметрически (-> пространство модулей стабильных отображений, струны, теория Громова—Виттена)
(2) задавать уравнениями (-> схема Гильберта, калибровки, теория Дональдсона—Томаса)
Типа, основная гипотеза близка к мысли, что "эти двойственные точки зрения дают одинаковые ответы на вопросы исчислительной геометрии". (Хотя формулируется так, что мы сравниваем классы в Aut(X)-эквивариантной K-теории схемы Чжоу многообразия X.)
И это всё-таки как-то связано с трехмерной зеркальной симметрией и с двойственностью Ленглендса.
Собрал какие-то ссылки на статьи, не факт что удачная подборка:
Для краткого знакомства наверно подойдут первые страницы статьи, в которой доказан частный случай гипотезы
https://arxiv.org/abs/0809.3976
Обзорные лекции семилетней давности
https://arxiv.org/abs/1802.00779
Статья, в которой наверно больше про физический смысл
https://arxiv.org/abs/1404.2323
Гипотеза изначально сформулирована в
https://arxiv.org/abs/math/0312059
https://arxiv.org/abs/math/0406092
Наверно, одно из последних продвижений по этому вопросу
https://arxiv.org/abs/2308.02948
Очень красиво, что в этой глубокой математике речь идёт "всё ещё" о соответствии между двумя способами смотреть на кривые в многообразии: их можно
(1) задавать параметрически (-> пространство модулей стабильных отображений, струны, теория Громова—Виттена)
(2) задавать уравнениями (-> схема Гильберта, калибровки, теория Дональдсона—Томаса)
Типа, основная гипотеза близка к мысли, что "эти двойственные точки зрения дают одинаковые ответы на вопросы исчислительной геометрии". (Хотя формулируется так, что мы сравниваем классы в Aut(X)-эквивариантной K-теории схемы Чжоу многообразия X.)
И это всё-таки как-то связано с трехмерной зеркальной симметрией и с двойственностью Ленглендса.
Собрал какие-то ссылки на статьи, не факт что удачная подборка:
Для краткого знакомства наверно подойдут первые страницы статьи, в которой доказан частный случай гипотезы
https://arxiv.org/abs/0809.3976
Обзорные лекции семилетней давности
https://arxiv.org/abs/1802.00779
Статья, в которой наверно больше про физический смысл
https://arxiv.org/abs/1404.2323
Гипотеза изначально сформулирована в
https://arxiv.org/abs/math/0312059
https://arxiv.org/abs/math/0406092
Наверно, одно из последних продвижений по этому вопросу
https://arxiv.org/abs/2308.02948
arXiv.org
Gromov-Witten/Donaldson-Thomas correspondence for toric 3-folds
We prove the equivariant Gromov-Witten theory of a nonsingular toric 3-fold X with primary insertions is equivalent to the equivariant Donaldson-Thomas theory of X. As a corollary, the topological...
https://knotplot.com/zoo/
картинки по выходным (по ссылке на каждый узел/зацепление можно нажать и покрутить в трехмерном пространстве)
картинки по выходным (по ссылке на каждый узел/зацепление можно нажать и покрутить в трехмерном пространстве)
Forwarded from Кроссворд Тьюринга (Vanya Yakovlev)
Gorroochurn_Thirteen_correct_solutions_to_the_“Problem_of_Points”.pdf
430.4 KB
Все началось с задачи о честном разделе приза. В частном случае она звучит так: двое играют партию в кости. Игра идет до 21 очка, вероятность выигрыша в каждом раунде у них одинаковая. Партию прерывают при счёте 14:12. Как честно поделить приз?
Над этим вопросом в XVII веке спорили Паскаль и Ферма — в итоге пришли к идее численной оценки вероятностей и положили начало новой науке
Если будет интересно — можно как-нибудь собраться онлайн и разобрать этот текст
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
то, как работает планиметр, тесно связано с “велосипедной теоремой”
про нее можно посмотреть последний сегмент из ролика выше или прочитать в журнале Квантик (статья «Пифагор на велосипеде»; см. тж. краткие объяснения в «Мат. байках»)
про нее можно посмотреть последний сегмент из ролика выше или прочитать в журнале Квантик (статья «Пифагор на велосипеде»; см. тж. краткие объяснения в «Мат. байках»)
Telegram
Математические байки
Это — частный случай велосипедной теоремы: пусть отрезок-велосипед (у которого вершина-заднее колесо может двигаться только в направлении отрезка-рамы, а вот вершина-рулевое колесо — куда угодно) проезжает по какому-то пути и возвращается в исходное положение…
http://ashap.info/Knigi/Matkruzhki/21-IndukBF.html
«Математическая индукция не входит в школьную программу. Однако стоит хоть немного продолжить изучение математики: в матклассе, на кружках, в вузе — индукция тут как тут. Но вот парадокс: из тех, кто изучал её, умеют пользоваться немногие. А.Д.Мышкис, преподававший математику в хороших инженерных вузах, отмечал, что «студенты не понимают доказательств по индукции, они в них не верят»!
(…)
Итак, в чем же проблемы преподавания индукции? Сложность не в том, что в ней много составляющих. Хуже то, что достаточно заметная часть этих составляющих преподавателями не осознается.
Первое: суть индукции мало похожа на её форму. Н[ачинающий] П[реподаватель] уверен, что форма и есть суть, и индукция и в самом деле состоит только из базы и перехода. Его восхищает идея: произносишь рассуждение названное «индукционный переход» — и утверждение мгновенно становится верным для всех значений n. Но на взгляд ученика это как одним заклинанием из студии зарядить воду у всех телезрителей. Как результат, действия так обученных школьников по сути сводятся к произнесению заклинаний. В стандартных случаях эти заклинания мало отличаются от правильных рассуждений, и НП засчитывает их за правильное решение. В чуть менее стандартных задачах часть нужных слов не произносится, но на ответ это не влияет, поэтому решение засчитывается, но с оговорками и снижением баллов. В мало-мальски нестандартных задачах решение обваливается, и НП выносит вердикт «Ученики тупые, на такие задачи с ними время тратить не стоит».
На деле суть индукции проста: на высоту легче не запрыгивать и не взлетать, а восходить по ступенькам лестницы. Обычно лестница едва намечена или её нет, тогда придётся её найти, принести и самому установить, а в сложных случаях и самому построить. Строить можно и нужно как удобнее: снизу вверх, сверху вниз, даже с двух сторон навстречу, и т.п.
Стандартное обучение учит ходить только по готовым лестницам («увидел n — доказывай по индукции») . Поэтому хочется, конечно, научить видеть место для лестницы, видеть ступеньки и прилаживать их друг к другу. Увы, так поставленная цель неконкретна и школьниками не воспринимается.
(…)
Без многослойной подушки задачной и математической культуры сложное понятие индукции не уложится и не закрепится в голове ученика, как не лягут рельсы на грунт без насыпи. (…) Перечислим нужные навыки, пока без привязки к индукции.
1) Строить большие конструкции с использованием повторяющихся элементов и блоков.
2) Находить закономерность в последовательности чисел или объектов.
3) Пошагово, от объекта к объекту, распространять неизменное свойство (инвариант) на некоторое множество объектов.
4) Включать отдельную конструкцию или задачу в серию однотипных, отличающихся лишь значением параметра, исследовать случаи малых значений параметра и переносить замеченные закономерности на случаи больших значений.
5) Следить за развитием процесса с помощью выбора удобного параметра-счётчика, игнорирующего несущественные подробности и предсказуемо меняющегося на каждом шаге; уметь организовывать нужный процесс.
6) Строить конструкции пошагово, составляя её из наглядных добавок и выбирая очередную добавку в зависимости от текущего состояния.
7) Строить конструкцию постепенно, проходя через промежуточные “частичные” конструкции, не являющиеся полноценными меньшими примерами.
8) Находить связь сложного “серийного” объекта с его предшественником, выстраивать конструкции и цепочки доказательств “сверху вниз”, сводя сложное к более простому.»
(фрагмент предисловия «Индукции без формальностей» А.В.Шаповалова)
«Математическая индукция не входит в школьную программу. Однако стоит хоть немного продолжить изучение математики: в матклассе, на кружках, в вузе — индукция тут как тут. Но вот парадокс: из тех, кто изучал её, умеют пользоваться немногие. А.Д.Мышкис, преподававший математику в хороших инженерных вузах, отмечал, что «студенты не понимают доказательств по индукции, они в них не верят»!
(…)
Итак, в чем же проблемы преподавания индукции? Сложность не в том, что в ней много составляющих. Хуже то, что достаточно заметная часть этих составляющих преподавателями не осознается.
Первое: суть индукции мало похожа на её форму. Н[ачинающий] П[реподаватель] уверен, что форма и есть суть, и индукция и в самом деле состоит только из базы и перехода. Его восхищает идея: произносишь рассуждение названное «индукционный переход» — и утверждение мгновенно становится верным для всех значений n. Но на взгляд ученика это как одним заклинанием из студии зарядить воду у всех телезрителей. Как результат, действия так обученных школьников по сути сводятся к произнесению заклинаний. В стандартных случаях эти заклинания мало отличаются от правильных рассуждений, и НП засчитывает их за правильное решение. В чуть менее стандартных задачах часть нужных слов не произносится, но на ответ это не влияет, поэтому решение засчитывается, но с оговорками и снижением баллов. В мало-мальски нестандартных задачах решение обваливается, и НП выносит вердикт «Ученики тупые, на такие задачи с ними время тратить не стоит».
На деле суть индукции проста: на высоту легче не запрыгивать и не взлетать, а восходить по ступенькам лестницы. Обычно лестница едва намечена или её нет, тогда придётся её найти, принести и самому установить, а в сложных случаях и самому построить. Строить можно и нужно как удобнее: снизу вверх, сверху вниз, даже с двух сторон навстречу, и т.п.
Стандартное обучение учит ходить только по готовым лестницам («увидел n — доказывай по индукции») . Поэтому хочется, конечно, научить видеть место для лестницы, видеть ступеньки и прилаживать их друг к другу. Увы, так поставленная цель неконкретна и школьниками не воспринимается.
(…)
Без многослойной подушки задачной и математической культуры сложное понятие индукции не уложится и не закрепится в голове ученика, как не лягут рельсы на грунт без насыпи. (…) Перечислим нужные навыки, пока без привязки к индукции.
1) Строить большие конструкции с использованием повторяющихся элементов и блоков.
2) Находить закономерность в последовательности чисел или объектов.
3) Пошагово, от объекта к объекту, распространять неизменное свойство (инвариант) на некоторое множество объектов.
4) Включать отдельную конструкцию или задачу в серию однотипных, отличающихся лишь значением параметра, исследовать случаи малых значений параметра и переносить замеченные закономерности на случаи больших значений.
5) Следить за развитием процесса с помощью выбора удобного параметра-счётчика, игнорирующего несущественные подробности и предсказуемо меняющегося на каждом шаге; уметь организовывать нужный процесс.
6) Строить конструкции пошагово, составляя её из наглядных добавок и выбирая очередную добавку в зависимости от текущего состояния.
7) Строить конструкцию постепенно, проходя через промежуточные “частичные” конструкции, не являющиеся полноценными меньшими примерами.
8) Находить связь сложного “серийного” объекта с его предшественником, выстраивать конструкции и цепочки доказательств “сверху вниз”, сводя сложное к более простому.»
(фрагмент предисловия «Индукции без формальностей» А.В.Шаповалова)
Forwarded from Летняя школа по топологии — 2025
Характеристические классы
Как начинать изучение характеристических классов?
Какие источники дают достаточный объем знаний по этой теме?
Вопрос очень сложный, зависит от индивидуальных предпочтений и, скажем честно, природных склонностей.
Характеристический класс определенным образом ставит в соответствие векторному расслоению класс в подходящих когомологиях базы расслоения.
Обычно первым делом рассматривают
● классы Штифеля-Уитни вещественных расслоений;
● классы Чженя (Черна) комплексных расслоений;
● классы Понтрягина вещественных ориентированных расслоений.
Затем обсуждается характер Черна — естественное преобразование комплексной топологической К-теории в рациональные когомологии.
Можно (и нужно!) рассматривать характеристические классы со значениями в экстраординарных теориях когомологий
(в К-теории и подходящих кобордизмах) базы расслоения, можно, например, встретить «классы Коннора-Флойда»
Важно, что имеется более-менее универсальный подход к построению характеристических классов в разных теориях когомологий.
Кроме того, характеристические классы возникают и в других важных контекстах, не обязательно топологических (класс Маслова, классы для слоений и многое-многое другое).
● Классический учебник
Дж.Милнор, Дж. Сташеф. "Характеристические классы», 1973
● До сих пор незаконченная книга
A.Hatcher «Vector Bundles and K-Theory»
https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf
● Записки по лекциям П. Мэя и семинарам Р. Брюнера
https://www.math.uchicago.edu/~may/CHAR/charclasses.pdf
● Записки лекций Arun Debray
https://adebray.github.io/lecture_notes/u17_characteristic_classes.pdf
● Краткое изложение
Mauricio Esteban G´omez L´opez «Introduction to Characteristic Classes»
https://web.math.ku.dk/~moller/students/mauricio.pdf
Подход с точки зрения комплексной геометрии
● Чжэнь Шэн-Шень «Комплексные многообразия» 1961
● Ф.Гриффитс, Дж.Харрис «Принципы алгебраической геометрии» 1982
● Daniel Huybrechts «Complex Geometry: An Introduction» Springer, 2005
● Andrei Moroianu «Lectures on Kähler Geometry» Cambridge University Press, 2007
Напишите в комментариях, какой подход вам ближе:
аксиоматический по Милнору-Сташефу, через ориентацию теории когомологий, через вычисление когомологий грассманианов, через теорию препятствий, через теорию Черна-Вейля? Предложите свой вариант ✍️
Как начинать изучение характеристических классов?
Какие источники дают достаточный объем знаний по этой теме?
Вопрос очень сложный, зависит от индивидуальных предпочтений и, скажем честно, природных склонностей.
Характеристический класс определенным образом ставит в соответствие векторному расслоению класс в подходящих когомологиях базы расслоения.
Обычно первым делом рассматривают
● классы Штифеля-Уитни вещественных расслоений;
● классы Чженя (Черна) комплексных расслоений;
● классы Понтрягина вещественных ориентированных расслоений.
Затем обсуждается характер Черна — естественное преобразование комплексной топологической К-теории в рациональные когомологии.
Можно (и нужно!) рассматривать характеристические классы со значениями в экстраординарных теориях когомологий
(в К-теории и подходящих кобордизмах) базы расслоения, можно, например, встретить «классы Коннора-Флойда»
Важно, что имеется более-менее универсальный подход к построению характеристических классов в разных теориях когомологий.
Кроме того, характеристические классы возникают и в других важных контекстах, не обязательно топологических (класс Маслова, классы для слоений и многое-многое другое).
● Классический учебник
Дж.Милнор, Дж. Сташеф. "Характеристические классы», 1973
● До сих пор незаконченная книга
A.Hatcher «Vector Bundles and K-Theory»
https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf
● Записки по лекциям П. Мэя и семинарам Р. Брюнера
https://www.math.uchicago.edu/~may/CHAR/charclasses.pdf
● Записки лекций Arun Debray
https://adebray.github.io/lecture_notes/u17_characteristic_classes.pdf
● Краткое изложение
Mauricio Esteban G´omez L´opez «Introduction to Characteristic Classes»
https://web.math.ku.dk/~moller/students/mauricio.pdf
Подход с точки зрения комплексной геометрии
● Чжэнь Шэн-Шень «Комплексные многообразия» 1961
● Ф.Гриффитс, Дж.Харрис «Принципы алгебраической геометрии» 1982
● Daniel Huybrechts «Complex Geometry: An Introduction» Springer, 2005
● Andrei Moroianu «Lectures on Kähler Geometry» Cambridge University Press, 2007
Напишите в комментариях, какой подход вам ближе:
аксиоматический по Милнору-Сташефу, через ориентацию теории когомологий, через вычисление когомологий грассманианов, через теорию препятствий, через теорию Черна-Вейля? Предложите свой вариант ✍️
это не картинка по выходным, а название статьи https://arxiv.org/pdf/math/0506466 про формулу Бриона для сумм по целым точкам многогранников и всё такое (Matthias Beck, Christian Haase, Frank Sottile)
пусть нас интересует сумма q^n по всем n на длинном отрезке с целыми концами [a,b]
если число q маленькое, то эта сумма мало отличается от бесконечной суммы q^a+q^{a+1}+…, т.е. от q^a/(1-q)
если, наоборот, число q большое, то сумма примерно равна q^b+q^{b-1}+…, т.е. q^b/(1-q^{-1})
эти два приближенных ответа получены для разных диапазонов q… и тем не менее, если их сложить, то получится не бессмыслица, а точная формула для нашей суммы
упомянутая выше формула Бриона — многомерный аналог того же: вместо суммы по отрезку рассматриваются суммы по многогранникам, а ответ записывается в виде некоторой суммы по вершинам
по картинке можно сообразить, как именно это выглядит для треугольника — или прочитать это в статье
всё это немножко похоже на формулу включений-исключений, только добавлена магия: и вычитать пересечения почему-то не нужно, и складываются ответы, которые (казалось бы) осмысленны для разных диапазонов параметров
если число q маленькое, то эта сумма мало отличается от бесконечной суммы q^a+q^{a+1}+…, т.е. от q^a/(1-q)
если, наоборот, число q большое, то сумма примерно равна q^b+q^{b-1}+…, т.е. q^b/(1-q^{-1})
эти два приближенных ответа получены для разных диапазонов q… и тем не менее, если их сложить, то получится не бессмыслица, а точная формула для нашей суммы
упомянутая выше формула Бриона — многомерный аналог того же: вместо суммы по отрезку рассматриваются суммы по многогранникам, а ответ записывается в виде некоторой суммы по вершинам
по картинке можно сообразить, как именно это выглядит для треугольника — или прочитать это в статье
всё это немножко похоже на формулу включений-исключений, только добавлена магия: и вычитать пересечения почему-то не нужно, и складываются ответы, которые (казалось бы) осмысленны для разных диапазонов параметров
Telegram
Непрерывное математическое образование
это не картинка по выходным, а название статьи https://arxiv.org/pdf/math/0506466 про формулу Бриона для сумм по целым точкам многогранников и всё такое (Matthias Beck, Christian Haase, Frank Sottile)
https://www.youtube.com/watch?v=HUkBz-cdB-k
большое интервью Тао
расшифровка:
https://lexfridman.com/terence-tao-transcript
большое интервью Тао
расшифровка:
https://lexfridman.com/terence-tao-transcript
YouTube
Terence Tao: Hardest Problems in Mathematics, Physics & the Future of AI | Lex Fridman Podcast #472
Terence Tao is widely considered to be one of the greatest mathematicians in history. He won the Fields Medal and the Breakthrough Prize in Mathematics, and has contributed to a wide range of fields from fluid dynamics with Navier-Stokes equations to mathematical…
edu.sirius.online
напомним про дист. курсы Сириуса по математике и другим наукам
в т.ч. доп. главы алгебры, геометрии и комбинаторики… теория вероятностей, мат. анализ и линейная алгебра… и многое другое от анатомии и морфологии до введения в машинное обучение
бесплатно и для всех желающих; видеолекции и конспекты, упражнения и задачи
напомним про дист. курсы Сириуса по математике и другим наукам
в т.ч. доп. главы алгебры, геометрии и комбинаторики… теория вероятностей, мат. анализ и линейная алгебра… и многое другое от анатомии и морфологии до введения в машинное обучение
бесплатно и для всех желающих; видеолекции и конспекты, упражнения и задачи