Учебный год уже на носу! К его началу мы подготовили для вас сюрприз 🎁
Иван Андреевич при поддержке нашего паблика на базе школы ЦПМ будет вести бесплатный онлайн-спецкурс "Геометрия: от олимпиад к науке" 🎉
Спецкурс рассчитан на старшеклассников и студентов, имеющих за плечами обучение в школьных кружках ⚪⚫
Предполагается, что за цикл лекций, участники курса смогут продвинутся от классических тем — поворотная гомотетия, поляра, инверсия — до таких вершин 🏔 как сложение➕ точек на кубике 🎲, геометрия Лобачевского, геометрия окружностей и методы движения 🏃♂️точек и поиска ГМТ (включая принцип относительности!)
Занятия курса будут проходить по средам начиная с 18:30 мск ⏰ Первое организационное занятие состоится уже 3 сентября в эту среду. Примерную программу курса прилагаем ниже👇
Для участия подайте заявку при помощи 👉 формы 👈
Торопитесь, число мест ограниченно!
Иван Андреевич при поддержке нашего паблика на базе школы ЦПМ будет вести бесплатный онлайн-спецкурс "Геометрия: от олимпиад к науке" 🎉
Спецкурс рассчитан на старшеклассников и студентов, имеющих за плечами обучение в школьных кружках ⚪⚫
Предполагается, что за цикл лекций, участники курса смогут продвинутся от классических тем — поворотная гомотетия, поляра, инверсия — до таких вершин 🏔 как сложение
Занятия курса будут проходить по средам начиная с 18:30 мск ⏰ Первое организационное занятие состоится уже 3 сентября в эту среду. Примерную программу курса прилагаем ниже👇
Для участия подайте заявку при помощи 👉 формы 👈
Торопитесь, число мест ограниченно!
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤13❤🔥6🥰4
#геом_разминка #easy #7
Задача. По центру круглого кусочка хлеба лежит круглый кусочек сыра. Через две точки границ этих окружностей, лежащие на одной прямой с их общим центром, проведена произвольная окружность — граница колбасы. Докажите, что две другие точки пересечения границы колбасы с данными окружностями также лежат на одной прямой с центром.
Всем вкусного завтрака 🥪
Задача. По центру круглого кусочка хлеба лежит круглый кусочек сыра. Через две точки границ этих окружностей, лежащие на одной прямой с их общим центром, проведена произвольная окружность — граница колбасы. Докажите, что две другие точки пересечения границы колбасы с данными окружностями также лежат на одной прямой с центром.
Всем вкусного завтрака 🥪
❤16😁6❤🔥3😈1
#геом_разминка #easy #7
Задача. На биссектриссе угла 𝐴 треугольника 𝐴𝐵𝐶 (∠𝐴 = 30°, ∠𝐵 = 105°) отмечена точка 𝑃 такая, что она лежит внутри треугольника и 𝑃𝐶 = 𝐵𝐶. Найдите угол 𝐴𝑃𝐶.
Задача. На биссектриссе угла 𝐴 треугольника 𝐴𝐵𝐶 (∠𝐴 = 30°, ∠𝐵 = 105°) отмечена точка 𝑃 такая, что она лежит внутри треугольника и 𝑃𝐶 = 𝐵𝐶. Найдите угол 𝐴𝑃𝐶.
👍8❤6🥰1🤡1
#геом_разминка #medium #9
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷 — вписанный четырехугольник, такой, что 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶 и 𝐶𝐷 < 𝐴𝐵. Диагонали 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷 пересекаются в точке 𝑃, а прямые 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 — в точке 𝑄. Биссектриса угла ∠𝐴𝑃𝐵 пересекается с 𝐴𝐵 в точке 𝑇. Докажите, что центр окружности описанной окружности треугольника 𝐶𝑇𝐷 лежит на описанной окружности треугольника 𝐶𝑄𝐷.
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷 — вписанный четырехугольник, такой, что 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶 и 𝐶𝐷 < 𝐴𝐵. Диагонали 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷 пересекаются в точке 𝑃, а прямые 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 — в точке 𝑄. Биссектриса угла ∠𝐴𝑃𝐵 пересекается с 𝐴𝐵 в точке 𝑇. Докажите, что центр окружности описанной окружности треугольника 𝐶𝑇𝐷 лежит на описанной окружности треугольника 𝐶𝑄𝐷.
❤4👍2🔥1🥰1
#геом_разминка #medium #9
Задача. Дана трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 в которой 𝐵𝐶 ‖ 𝐴𝐷. Точки 𝐵′ и 𝐶′ симметричны 𝐵 и 𝐶 относительно прямых 𝐶𝐷 и 𝐴𝐵 соответственно. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных окружностей треугольников 𝐴𝐵𝐶′ и 𝐵′𝐶𝐷, равноудалена от 𝐴 и 𝐷.
Задача. Дана трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 в которой 𝐵𝐶 ‖ 𝐴𝐷. Точки 𝐵′ и 𝐶′ симметричны 𝐵 и 𝐶 относительно прямых 𝐶𝐷 и 𝐴𝐵 соответственно. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных окружностей треугольников 𝐴𝐵𝐶′ и 𝐵′𝐶𝐷, равноудалена от 𝐴 и 𝐷.
❤4👍2🔥2
#геом_разминка #hard #10
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶, вписанный в окружность 𝜔 с центром 𝑂. Пусть Γ — окружность построенная как на диаметре на стороне 𝐴𝐶. Окружность Γ пересекает стороны 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 и прямую 𝑂𝐶 в точках 𝐹 , 𝐷 и 𝐸. Пусть 𝐾 — точка пересечения 𝐴𝐷 с 𝜔; 𝐾𝐹 пересекает 𝜔 в точке 𝐿, отличной от 𝐾. Прямая 𝐴𝐸 пересекает 𝐶𝐿 в точке 𝑁. Докажите, что 𝐹𝑁 ⊥ 𝐹𝑂.
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶, вписанный в окружность 𝜔 с центром 𝑂. Пусть Γ — окружность построенная как на диаметре на стороне 𝐴𝐶. Окружность Γ пересекает стороны 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 и прямую 𝑂𝐶 в точках 𝐹 , 𝐷 и 𝐸. Пусть 𝐾 — точка пересечения 𝐴𝐷 с 𝜔; 𝐾𝐹 пересекает 𝜔 в точке 𝐿, отличной от 𝐾. Прямая 𝐴𝐸 пересекает 𝐶𝐿 в точке 𝑁. Докажите, что 𝐹𝑁 ⊥ 𝐹𝑂.
🎉6❤2🔥2🥰1
#геом_разминка #insane #10
Задача. Четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность 𝜔. Биссектрисы между диагоналями этого четырехугольника пересекают 𝜔 в четырех точках, образующих четырехугольник 𝑃𝑄𝑅𝑆. Тогда следующие условия на точку 𝑋 равносильны: 𝑋𝐴 · 𝑋𝐶 = 𝑋𝐵 · 𝑋𝐷 и ∠(𝑋𝑃, 𝑋𝑄) = ∠(𝑋𝑆, 𝑋𝑅).
Сегодня у нас не просто разминка, а анонс лекции нашего друга и коллеги Давида Бродского 🔥
Давид Бродский планирует провести занятие 9 сентября во вторник в 20:00 ⏰. Он расскажет три решения этой задачи: чисто геометрическое 📐, комплексный счет без счета ✍️ и методом поиска 🔍 ГМТ (о котором был наш проект на ЛКТГ).
На лекции будут доказаны следствия этой задачи: IMO-2024 Shortlist G5 и 9.4 финала Всеросса 2023 года. Обе задачи придумал сам лектор.
Все подробности будут в этом канале.
Бодрого вам утра и хорошего дня 🤗
Задача. Четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность 𝜔. Биссектрисы между диагоналями этого четырехугольника пересекают 𝜔 в четырех точках, образующих четырехугольник 𝑃𝑄𝑅𝑆. Тогда следующие условия на точку 𝑋 равносильны: 𝑋𝐴 · 𝑋𝐶 = 𝑋𝐵 · 𝑋𝐷 и ∠(𝑋𝑃, 𝑋𝑄) = ∠(𝑋𝑆, 𝑋𝑅).
Сегодня у нас не просто разминка, а анонс лекции нашего друга и коллеги Давида Бродского 🔥
Давид Бродский планирует провести занятие 9 сентября во вторник в 20:00 ⏰. Он расскажет три решения этой задачи: чисто геометрическое 📐, комплексный счет без счета ✍️ и методом поиска 🔍 ГМТ (о котором был наш проект на ЛКТГ).
На лекции будут доказаны следствия этой задачи: IMO-2024 Shortlist G5 и 9.4 финала Всеросса 2023 года. Обе задачи придумал сам лектор.
Все подробности будут в этом канале.
Бодрого вам утра и хорошего дня 🤗
👍13❤6🔥4❤🔥2😈2
#геом_разминка #medium #9
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶 с центром вписанной окружности — точкой 𝐼 и центром вневписанной окружности, касающейся стороны 𝐵𝐶, — точкой 𝐽. Точки 𝐸 и 𝐹 взяты на прямой 𝐵𝐶 так, что 𝐼𝐸 и 𝐽𝐹 перпендикулярны 𝐴𝐼. Рассмотрим точки 𝐺 на 𝐴𝐸 и 𝐻 на 𝐴𝐹 такие, что 𝐼𝐺 и 𝐽𝐻 перпендикулярны 𝐴𝐸 и 𝐴𝐹 соответственно. Докажите, что 𝐵𝐺 = 𝐶𝐻.
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶 с центром вписанной окружности — точкой 𝐼 и центром вневписанной окружности, касающейся стороны 𝐵𝐶, — точкой 𝐽. Точки 𝐸 и 𝐹 взяты на прямой 𝐵𝐶 так, что 𝐼𝐸 и 𝐽𝐹 перпендикулярны 𝐴𝐼. Рассмотрим точки 𝐺 на 𝐴𝐸 и 𝐻 на 𝐴𝐹 такие, что 𝐼𝐺 и 𝐽𝐻 перпендикулярны 𝐴𝐸 и 𝐴𝐹 соответственно. Докажите, что 𝐵𝐺 = 𝐶𝐻.
❤6❤🔥2👍2
#геом_разминка #easy #8
Задача. Точка 𝑀 является серединой гипотенузы 𝐴𝐵 прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶. Точки 𝑃 и 𝑄 лежат на отрезках 𝐴𝑀 и 𝑀𝐵 соответственно и 𝑃𝑄 = 𝐶𝑄. Докажите, что 𝐴𝑃 ≤ 2𝑀𝑄.
Задача. Точка 𝑀 является серединой гипотенузы 𝐴𝐵 прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶. Точки 𝑃 и 𝑄 лежат на отрезках 𝐴𝑀 и 𝑀𝐵 соответственно и 𝑃𝑄 = 𝐶𝑄. Докажите, что 𝐴𝑃 ≤ 2𝑀𝑄.
❤10❤🔥3🔥3
#геом_разминка #medium #9
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶. Окружность пересекает стороны в точках 𝑃, 𝑃′, 𝑄, 𝑄′, 𝑅 и 𝑅′. Оказалось, что |𝑃′𝑄| = |𝑄′𝑅| = |𝑅′𝑃|. Точки 𝑁, 𝐿 и 𝑀 являются серединами отрезков 𝑃′𝑄, 𝑄′𝑅 и 𝑅′𝑃 соответственно. Докажите, что прямые 𝐴𝐿, 𝐵𝑀 и 𝐶𝑁 пересекаются в одной точке.
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶. Окружность пересекает стороны в точках 𝑃, 𝑃′, 𝑄, 𝑄′, 𝑅 и 𝑅′. Оказалось, что |𝑃′𝑄| = |𝑄′𝑅| = |𝑅′𝑃|. Точки 𝑁, 𝐿 и 𝑀 являются серединами отрезков 𝑃′𝑄, 𝑄′𝑅 и 𝑅′𝑃 соответственно. Докажите, что прямые 𝐴𝐿, 𝐵𝑀 и 𝐶𝑁 пересекаются в одной точке.
❤🔥17❤5🔥2
#геом_разминка #easy #9
Задача. Треугольник 𝐴𝐵𝐶, в котором 𝐴𝐵 < 𝐴𝐶, вписан в окружность 𝜔. Окружности 𝛾₁ и 𝛾₂ с центрами на 𝜔 касаются прямых 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶. Докажите, что 𝐶 лежит на общей внешней касательной к 𝛾₁ и 𝛾₂.
Задача. Треугольник 𝐴𝐵𝐶, в котором 𝐴𝐵 < 𝐴𝐶, вписан в окружность 𝜔. Окружности 𝛾₁ и 𝛾₂ с центрами на 𝜔 касаются прямых 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶. Докажите, что 𝐶 лежит на общей внешней касательной к 𝛾₁ и 𝛾₂.
😐12❤5❤🔥2🔥2👍1
#геом_разминка #easy #9
Задача. Дан параллелограмм 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝑃 — точка на диагонали 𝐴𝐶, такая, что 𝑃𝐶 = 𝐵𝐶. Пусть 𝐻 — основание высоты из точки 𝑃 на 𝐶𝐷, 𝑄 — точка пересечения 𝐴𝐷 с 𝐵𝑃, 𝑀 — середина отрезка 𝑃𝑄, 𝑇 — точка пересечения 𝐴𝑀 с 𝐶𝐷. Докажите, что углы 𝑀𝑄𝑇 и 𝑀𝐻𝑇 равны.
Задача. Дан параллелограмм 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝑃 — точка на диагонали 𝐴𝐶, такая, что 𝑃𝐶 = 𝐵𝐶. Пусть 𝐻 — основание высоты из точки 𝑃 на 𝐶𝐷, 𝑄 — точка пересечения 𝐴𝐷 с 𝐵𝑃, 𝑀 — середина отрезка 𝑃𝑄, 𝑇 — точка пересечения 𝐴𝑀 с 𝐶𝐷. Докажите, что углы 𝑀𝑄𝑇 и 𝑀𝐻𝑇 равны.
❤8❤🔥3🔥2
#геом_разминка #medium #9
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — остроугольный треугольник, причём 𝐴𝐵 < 𝐶𝐴. Пусть 𝜔 — его описанная окружность. 𝑃 — середина дуги 𝐵𝐶 окружности 𝜔, не содержащей 𝐴, а 𝑄 — середина дуги 𝐵𝐶 окружности 𝜔, содержащей 𝐴. Перпендикуляр к прямой 𝐶𝐴, проходящий через 𝑄, пересекает 𝐶𝐴 в точке 𝑀. Докажите, что окружность, описанная около треугольника 𝐴𝐵𝑀, проходит через середину отрезка 𝐴𝑃.
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — остроугольный треугольник, причём 𝐴𝐵 < 𝐶𝐴. Пусть 𝜔 — его описанная окружность. 𝑃 — середина дуги 𝐵𝐶 окружности 𝜔, не содержащей 𝐴, а 𝑄 — середина дуги 𝐵𝐶 окружности 𝜔, содержащей 𝐴. Перпендикуляр к прямой 𝐶𝐴, проходящий через 𝑄, пересекает 𝐶𝐴 в точке 𝑀. Докажите, что окружность, описанная около треугольника 𝐴𝐵𝑀, проходит через середину отрезка 𝐴𝑃.
❤7❤🔥3👍1🔥1
#геом_разминка #medium #8
Задача. Дан выпуклый четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷. Найдите расположение точек 𝑃 внутри четырехугольника таких, что 𝑆ᴘᴀʙ · 𝑆ᴘᴄᴅ = 𝑆ᴘʙᴄ · 𝑆ᴘᴅᴀ (где 𝑆x обозначает площадь треугольника 𝑋).
Задача. Дан выпуклый четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷. Найдите расположение точек 𝑃 внутри четырехугольника таких, что 𝑆ᴘᴀʙ · 𝑆ᴘᴄᴅ = 𝑆ᴘʙᴄ · 𝑆ᴘᴅᴀ (где 𝑆x обозначает площадь треугольника 𝑋).
❤7❤🔥2🔥2👍1
#геом_разминка #уголки_планеты #medium #8
Сегодня вспоминаем нашу поездку в Бухару 🕌 — город с 2500-летней историей!
Мулла Ходжа Насреддин — персонаж многих народных баек и историй, которые широко известны на Востоке. В его честь в Бухаре даже есть памятник.
Для поднятия настроения 😊 в начале рабочей недели предлагаем вашему вниманию одну из историй о Ходже Насреддине. Желаем вкусного завтрака 🍎
Сегодня вспоминаем нашу поездку в Бухару 🕌 — город с 2500-летней историей!
Мулла Ходжа Насреддин — персонаж многих народных баек и историй, которые широко известны на Востоке. В его честь в Бухаре даже есть памятник.
Для поднятия настроения 😊 в начале рабочей недели предлагаем вашему вниманию одну из историй о Ходже Насреддине. Желаем вкусного завтрака 🍎
Сын Муллы Насреддина вернулся из университета. Там он изучал логику и стал «великим философом» — как каждый склонен думать в юности.
Сын, как и каждый выпускник университета, был очень заинтересован в том, чтобы продемонстрировать свои познания. Они сидели за столом, и мать принесла два яблока. Увидев хорошую возможность, сын Муллы сказал:
— Мама, я покажу тебе то, чему я научился. Что ты видишь на этой тарелке?
Мать сказала:
— Два яблока.
Он сказал:
— Нет, логика говорит нечто другое. Здесь три яблока, а не два.
Бедная мать посмотрела снова, но там было два яблока. Она сказала:
— Что ты имеешь в виду?
Сын ответил:
— Посмотри. Это яблоко — одно, это яблоко — два. Сколько будет одно плюс два?
Мать сказала:
— Конечно, один плюс два будет три.
Сын был очень счастлив. Мулла Насреддин наблюдал за всем этим. Он сказал:
— Хорошо, очень хорошо. Я съем первое, твоё, мать — второе. Ты же ешь третье.
❤20👍6❤🔥3👎1
#геом_разминка #easy #8
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷 прямоугольник, 𝜔 — полуокружность с диаметром 𝐵𝐶, расположенная в той же полуплоскости относительно прямой 𝐵𝐶, что и точка 𝐴. Окружность с центром 𝐵 и радиусом 𝐴𝐵 пересекает 𝜔 в точке 𝐸. Прямая 𝐴𝐸 вторично пересекает 𝜔 в точке 𝐹. Докажите, что 𝐴𝐹 = 𝐵𝐹.
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷 прямоугольник, 𝜔 — полуокружность с диаметром 𝐵𝐶, расположенная в той же полуплоскости относительно прямой 𝐵𝐶, что и точка 𝐴. Окружность с центром 𝐵 и радиусом 𝐴𝐵 пересекает 𝜔 в точке 𝐸. Прямая 𝐴𝐸 вторично пересекает 𝜔 в точке 𝐹. Докажите, что 𝐴𝐹 = 𝐵𝐹.
😐11❤10👎3❤🔥2👍1🔥1
#геом_разминка #medium #9
Задача. Дан вписанный четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝛾 — его описанная окружность, а 𝑀 — середина меньшей дуги 𝐴𝐵. Прямая, проходящая через 𝑀 и точку пересечения диагоналей 𝐴𝐵𝐶𝐷, пересекает 𝛾 в точке 𝑁. Пусть 𝑃, 𝑄 — две точки, расположенные на 𝐶𝐷, такие, что ∠𝐴𝑄𝐷 = ∠𝐷𝐴𝑃 и ∠𝐵𝑃𝐶 = ∠𝐶𝐵𝑄. Докажите, что окружность (𝑁𝑃𝑄) касается 𝛾.
Задача. Дан вписанный четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝛾 — его описанная окружность, а 𝑀 — середина меньшей дуги 𝐴𝐵. Прямая, проходящая через 𝑀 и точку пересечения диагоналей 𝐴𝐵𝐶𝐷, пересекает 𝛾 в точке 𝑁. Пусть 𝑃, 𝑄 — две точки, расположенные на 𝐶𝐷, такие, что ∠𝐴𝑄𝐷 = ∠𝐷𝐴𝑃 и ∠𝐵𝑃𝐶 = ∠𝐶𝐵𝑄. Докажите, что окружность (𝑁𝑃𝑄) касается 𝛾.
❤🔥8🔥6❤5
#геом_разминка #medium #9
Задача. На координатной плоскости нарисованы графики двух приведённых квадратных трёхчленов и две непараллельные прямые 𝑙₁ и 𝑙₂. Известно, что отрезки, высекаемые графиками на 𝑙₁, равны, и отрезки, высекаемые графиками на 𝑙₂, также равны. Докажите, что графики трёхчленов совпадают.
Задача. На координатной плоскости нарисованы графики двух приведённых квадратных трёхчленов и две непараллельные прямые 𝑙₁ и 𝑙₂. Известно, что отрезки, высекаемые графиками на 𝑙₁, равны, и отрезки, высекаемые графиками на 𝑙₂, также равны. Докажите, что графики трёхчленов совпадают.
❤🔥11❤7😁6