Собственно, как Серёжа пишет в тексте «Circles and Parabolas», сначала он наткнулся на задачу в American Mathematical Monthly:

Задача. Пусть даны две пересекающиеся параболы с вертикальными осями. Тогда прямая, проходящая через две их точки пересечения, делит их отрезок их общей касательной, заключённый между точками касания, пополам (см. Figure 1).

И эта задача замечательно перекликается с известным (и доказывающимся, например, через степень точки) утверждением про окружности:

Задача. Пусть даны две пересекающиеся окружности. Тогда прямая, проходящая через две их точки пересечения, делит их отрезок их общей касательной, заключённый между точками касания, пополам (см. Figure 2).

===

Рисунки я взял из текста выше — S. Markelov, Circles and Parabolas, The Mathematical Intelligencer, 21 (1999). Кстати — этот текст вышел в колонке «Mathematical entertainment» под редакцией А. Шеня, и дальше в той же колонке идёт письмо В. В. Успенского про потрясающе красивое трёхмерное доказательство теоремы Брианшона — с использованием однополостного гиперболоида, двух семейств прямых на нём и «вида сверху». Я вот раньше не знал!

Так вот — в 1998 году на Летнюю Конференцию Турнира Городов Серёжа Маркелов предлагает задачу с большим словарём подобных задач (представляет её Михаил Вялый, помогает Вадим Бугаенко). Вот ещё один пример оттуда:

Задача 3а. Пусть даны две концентрические окружности. Выберем на внешней из них точку M. Фигура C_M образована двумя касательными из точки M к внутренней окружности и дугой этой окружности, заключённой между точками касания (см. рис. 3а). Докажите, что площадь фигуры C_M не зависит от выбора точки M.

Задача 3б. Пусть даны две параболы с общей осью, отличающиеся на сдвиг вдоль этой оси. Выберем на внешней из них точку M. Фигура P_M образована двумя касательными из точки M к внутренней параболе и дугой этой параболы, заключённой между точками касания (см. рис. 3б). Докажите, что площадь фигуры З_M не зависит от выбора точки M.

Изображения: рисунок к задаче и текст, предваряющий решения задачи, из материалов ЛКТГ.
(image credit: С. Маркелов, Парабола как окружность, https://turgor.ru/lktg/1998/lktg1998.pdf ; Десятая конференция ЛКТГ, М.: МЦНМО, 1999.)

Давайте я чуть-чуть теперь скажу про то, откуда такой словарь берётся (или, точнее, может браться).

Возьмём окружность единичного радиуса, x^2+ (y-1)^2=1, и точку B=(0,0) на ней.
Растянем её во много раз (для начала в 10) вокруг точки B — посмотрим на её окрестность под увеличительным стеклом. Под увеличением окружность — как и любая гладкая кривая — становится всё больше похожа на касательную в той точке, вокруг которой мы увеличиваем. Так что казалось бы, ничего интересного мы так не увидим. Но!
Давайте дополнительно растягивать в направлении, перпендикулярном касательной, ещё во столько же раз. В итоге, если мы по горизонтали растягиваем в 10 раз — по вертикали мы растянем в 100. Под действием такого преобразования окружность начинает становиться всё больше похожей на параболу (в данном случае, на y=x^2/2)!

То есть можно брать верное семейство утверждений, у которых «всё самое интересное» происходит всё ближе и ближе к точке B, и смотреть на них через такое «кривое увеличение». В пределе из эллипсов, в которые мы растягиваем окружность, получится та самая парабола, и предельное утверждение про неё.

Эти два скриншота — из написанной в те годы статьи Ф. Петрова и С. Тихомирова, «Об углах и расстояниях», по ссылке из недавнего поста в fp math.