Про каждое доказательство интересно подумать, "куда оно обобщается" и "что оно использует/передоказывает". Про фундаментальную группу я спрашиваю, потому что в таких рассуждениях по-любому неявно зашит гомоморфизм надстройки в гомологиях / гомотопических группах. Но не суть.
А рассуждая буквально как в посте, получаем: если d нечётно, M — гладкая замкнутая гиперповерхность в R^d, и на M есть всюду ненулевое касательное поле, то отображение Гаусса для поля нормалей к M G_n: M -> S^{d-1} гомотопно своей композиции с антиподальным; следовательно, имеет степень ноль.
Но степень G_n равна* \chi(M)/2: это вроде бы видно из теории Морса, аккуратно я пока не доказал. Идея: если i-ая координата в R^d оказалась морсовской функцией на M, то надо просто посчитать степень G_n локально в регулярных значениях e_i и -e_i. Там просуммируются критические точки с коэффициентами плюс-минус один. Осталось убедиться, что с такими знаками, что получается ЭХ комплекса Морса — а значит, и ЭХ многообразия.
Вывод: если гиперповерхность можно причесать, то chi(M) = 0. А как это доказать в большей коразмерности?
*"умное" доказательство использует естественность класса Эйлера, тождество <e(TM),[M]> = chi(M) и то, что обратный образ TS^{d-1} под действием G_n равен TM.
Про каждое доказательство интересно подумать, "куда оно обобщается" и "что оно использует/передоказывает". Про фундаментальную группу я спрашиваю, потому что в таких рассуждениях по-любому неявно зашит гомоморфизм надстройки в гомологиях / гомотопических группах. Но не суть.
А рассуждая буквально как в посте, получаем: если d нечётно, M — гладкая замкнутая гиперповерхность в R^d, и на M есть всюду ненулевое касательное поле, то отображение Гаусса для поля нормалей к M G_n: M -> S^{d-1} гомотопно своей композиции с антиподальным; следовательно, имеет степень ноль.
Но степень G_n равна* \chi(M)/2: это вроде бы видно из теории Морса, аккуратно я пока не доказал. Идея: если i-ая координата в R^d оказалась морсовской функцией на M, то надо просто посчитать степень G_n локально в регулярных значениях e_i и -e_i. Там просуммируются критические точки с коэффициентами плюс-минус один. Осталось убедиться, что с такими знаками, что получается ЭХ комплекса Морса — а значит, и ЭХ многообразия.
Вывод: если гиперповерхность можно причесать, то chi(M) = 0. А как это доказать в большей коразмерности?
*"умное" доказательство использует естественность класса Эйлера, тождество <e(TM),[M]> = chi(M) и то, что обратный образ TS^{d-1} под действием G_n равен TM.
BY сладко стянул
Warning: Undefined variable $i in /var/www/group-telegram/post.php on line 260
In February 2014, the Ukrainian people ousted pro-Russian president Viktor Yanukovych, prompting Russia to invade and annex the Crimean peninsula. By the start of April, Pavel Durov had given his notice, with TechCrunch saying at the time that the CEO had resisted pressure to suppress pages criticizing the Russian government. Official government accounts have also spread fake fact checks. An official Twitter account for the Russia diplomatic mission in Geneva shared a fake debunking video claiming without evidence that "Western and Ukrainian media are creating thousands of fake news on Russia every day." The video, which has amassed almost 30,000 views, offered a "how-to" spot misinformation. Meanwhile, a completely redesigned attachment menu appears when sending multiple photos or vides. Users can tap "X selected" (X being the number of items) at the top of the panel to preview how the album will look in the chat when it's sent, as well as rearrange or remove selected media. Emerson Brooking, a disinformation expert at the Atlantic Council's Digital Forensic Research Lab, said: "Back in the Wild West period of content moderation, like 2014 or 2015, maybe they could have gotten away with it, but it stands in marked contrast with how other companies run themselves today." The Russian invasion of Ukraine has been a driving force in markets for the past few weeks.
from us
