волей судьбы нашёл статью, в которой впервые рассмотрены пушауты и пулбэки: всего-то 62 года назад,
B. Eckmann, P. J. Hilton "Group-like structures in general categories II equalizers, limits, lengths" (Mathematische Annalen, 1963)
https://link.springer.com/article/10.1007/BF01344176

Пушаут диаграммы
A <-f- B -g-> C
назывался "объединение морфизмов f и g", а пулбэк двух морфизмов
A -f-> B <-g- C —
"пересечение f и g".

В той же статье введены уравнители ("левые уравнители"), коуравнители ("правые уравнители"), ядра и коядра.

Пределы и копределы (т.е., "обратные пределы" и "прямые пределы") уже были введены Каном, одновременно с сопряжёнными функторами ("Adjoint functors", 1958). Но у Экманна и Хилтона слегка другое определение (предел берётся не у диаграммы, а у набора морфизмов; между такими штуками чуть больше отображений).
——————————————
Ещё узнал забавное понятие "гомотопической системы" (даётся со ссылкой на Kan "Abstract homotopy II", 1956) — видимо, ранняя попытка устроить что-то вроде модельных категорий.

Определение. Левая гомотопическая система в категории C — это следующий набор данных:
(i) "Функтор взятия цилиндра" Z:C->C, уважающий копроизведения,
(ii) три естественные преобразования функторов
t:Id_C->Z, b:Id_C->Z, p:Z->Id_C,
такие что p o t = p o b = id: Id_C->Id_C.
Тогда: две стрелки f,g:A->B гомотопны в C, если найдётся стрелка F:Z(A)->B такая, что F o b_A = f и F o t_A = g.

(+Надо либо добавить аксиомы, гарантирующие, что это будет отношением эквивалентности, либо породить отношение эквивалентности) ~> определена соответствующая "гомотопическая категория".
———————————
А вдохновлено это всё попытками изучать групповые объекты в произвольных категориях (и не только групповые; например, унитальные магмы, т.е. аналоги H-пространств), и штуками вроде категории Люстерника—Шнирельмана + соответствующих оценок на нильпотентность...:
We have stated that, from the point of view of this paper, the notions of
equalizer, intersection, union, and direct and inverse limit discussed in the first two sections are in the nature of necessary preparation for the subsequent notions of length and weak length. However, we believe that they are basic to any development of category theory, and they will recur very frequently and prominently in paper III of the series and in subsequent contributions to abstract homotopy theory

P.S. Кстати, на страничке https://en.wikipedia.org/wiki/Timeline_of_category_theory_and_related_mathematics эта статья не упоминается — потому что теорем мало) только определения, причём частные случаи уже существующих

кстати, разве это правда? туплю разобрались

Прочитать на русском я, конечно, не смог, но вдохновиться успел

Вот в очередной раз убеждаюсь что если в математическом исследовании встречается интеграл который вам удается взять -- то это против бога, даже если получится взять разум только помутнеет от этого. Если встречается сложный интеграл то надо искать тайную структуру (чаще всего она симплектическая) и вычислять с помощью локализации Дюйстермаата-Хекмана.

Так вот, я теперь знаю какие ожидаемые значения диагоналей у случайного полигона (со всеми длинами ребер 1) в R^3.

возьмем правильный n-угольник выберем на нем точку и проведем из нее n-3 диагоналей. теперь мы хотим приписать диагоналям положительные действительные числа так чтобы все неравенства треугольников удовлеторялись (задать полиэдральную метрику если хотите). все такие наборы чисел задают выпуклый политоп в R^+_{n-3}. Координаты его центра масс и есть средние значения диагоналей.

[секретно этот политоп это конечно образ отображения моментов действия тора ассоциированного к триангуляции -- bending flow]

Метаморфозы текстов под действием журналистов (на примере интервью Окунькова "Афише" 10-летней давности):
https://www.math.columbia.edu/~okounkov/Najdi10otlichij.html

Думал детально сравнить исходный текст с итоговым
https://daily.afisha.ru/archive/gorod/people/fildsovskiy-laureat-andrey-okunkov-o-tom-gde-uchitsya-matematike/
, но изменений что-то уж совсем много.

Например, изначально Окуньков ответил вот так на вот такой вопрос:
- Что изменилось в российском математическом образовании? Раньше считалось, что оно качественное, но ужасно консервативное, что студенты могут знать наизусть Фихтенгольца, но до пятого курса так и не открыть ни одной свежей научной статьи. Это меняется? А вы чего хотели бы добиться?
- Да нет, никто никогда учебников наизусть не учил, даже таких великолепных как книга В. А. Зорича, да и по числу и современности спецкурсов и семинаров для студентов наши факультеты математики далеко опережали университеты США. Кстати, чтение свежих научных статей это, конечно, похвальное занятие для студентов, но также стоит обратить внимание на хорошее знание основ и классики. Это, в каком-то смысле, особенно актуально в мире современных информационных технологий, которые, на данный момент по крайней мере, норовят познакомить всех интересующихся предметом с новейшими сочинениями на любую заданную тему. Увы, мысли классиков, ясные и зачастую более глубокие, редко высвечиваются первыми в поисковых системах.

вместо этого ответа появился фрагмент:
- Насколько соответствует действительности стереотип, что студенты-математики в США слабее российских?
- На самом деле в Америке так много людей идут в высшие учебные заведения, что «студент» становится очень размытым понятием. Там тысячи университетов, среди них есть Принстон и Гарвард, а есть условный University of Nowhere, где учатся люди, которых интересует только американский футбол. В США есть много студентов, которые рассматривают свое обучение как четыре года непрерывной вечеринки, а есть те, что пришли за знанием. К слову, и в России ведь ситуация похожая. Так вот, если говорить о тех, кто пришел за знаниями, им действительно часто не хватает некой образовательной базы. Американским студентам, которые учатся на математиков, приходится прослушать очень много других курсов вроде какой-нибудь истории литературы, на собственно математику у них остается сильно меньше половины времени — а на том же мехмате МГУ математические курсы занимают чуть ли не 90 процентов программы. Если не ошибаюсь, в Принстоне можно получить диплом математика, прослушав десять семестровых курсов, у нас примерно столько слушают на первом курсе. В итоге уровень людей до аспирантуры, в общем-то, ниже, чем у наших студентов хороших вузов, но в аспирантуре — те, кто в нее пошел, — они это как-то наверстывают.

Ещё из ответов Окунькова пропали:
- "Математический аквариум" Уфнаровского
- похвала математическим олимпиадам
- Зорич, Галилей и Мотидзуки
вместо этого в интервью появились:
- исторический анекдот про Колмогорова, Гельфанда и Арнольда
- сравнение с залезанием в горы
- Пикассо и Перельман

То есть он ещё поотвечал на вопросы после того, как послал изначальные ответы и/или интервьюер приписал ему какие-то мысли из ниоткуда?! (Видимо, скорее второе, раз Окуньков недоволен результатом; интервью, которыми он доволен, есть тут.)

бонус https://www.math.columbia.edu/~okounkov/Steinberg.jpg

В 90-е, но после запрета коммунистов, вспоминается практика по философии. Препод:вот все великие учёные были религиозными, вот Декарт, вот Коши, - и я на автомате во весь голос на всю аудиторию : И Буняковский!!! (Хотя кто его знает, может и верил ..)

#картинка
L. Smith, Split extensions of Hopf algebras and semi-tensor products (1970)

и вот так ещё

два бонуса: заметка Бергмана, которая изначально называлась не как кликбейт, а "Groups acting on rings, group-graded rings, and beyond—some thoughts"

и второй кликбейт: статья Парейгиса A non-commutative non-cocommutative Hopf algebra in "nature" https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0021869381902246

вопрос который Берглунд сейчас ставит своим аспирантам: связать (1) модулярные формы (2) харклассы расслоений Серра со слоем, например, "произведение n копий S^d". (см. Berglund-Zeman; у них также были предшественники)

(забавно, что Серр модулярными формами тоже занимался)

Скобки Ли и панк-рок

если x▷y — билинейная операция, введём ассоциатор
a(x,y,z) := x▷(y▷z) - (x▷y)▷z.

Руководствуясь геометрическими (Винберг'62) или деформационными (Gerstenhaber'63) соображениями, можно придумать такую аксиому:
Алгеброй Винберга—Кошуля (Koszul—Vinberg algebra), или пред-алгеброй Ли (pre-Lie algebra), называется векторное пространство A вместе с билинейной операцией ▷ такой, что
a(x,y,z) = a(y,z,x).

Позднее их переоткрыли (Аграчёв, Гамкрелидзе '80) под названием "хронологическая алгебра".

Ещё позже было придумано вот такое понятие (Vallette'04), из чисто операдных соображений (это алгебры над операдой, двойственной по Кошулю к коммутативным триалгебрам):
Пост-алгеброй Ли (post-Lie algebra) называется алгебра Ли L вместе с билинейной операцией ▷ такая, что
x▷[y,z] = [x▷y, z] + [y, x▷z],
[x,y]▷z = a(x,y,z) - a(y,x,z).

То есть: a pre-Lie algebra is a post-Lie algebra whose underlying Lie algebra is abelian. А в жизни всё наоборот: пост-панк — это прото-панк с тривиальной панк-составляющей.)
——————————-
А как такое может возникнуть в нормальной математике?

Если M — гладкое многообразие, ∇ — аффинная связность на нём, то можно рассмотреть пространство
L := Vect(M)
и бинарную операцию
X▷Y := ∇_X (Y).

Коммутатор векторных полей обозначим через [[X,Y]]. Тогда тензор кручения связности — это
T(X,Y):=X▷Y-Y▷X-[[X,Y]],
а тензор кривизны Римана — это
R(X,Y)Z = a(X,Y,Z)-a(Y,X,Z)+T(X,Y)▷Z.

Если R=T=0, то получается алгебра Кошуля—Винберга. Если R=0 и ∇T=0, то получается пост-алгебра Ли относительно скобки Ли [x,y] := -T(x,y). Из-за тождеств Бьянки. Ссылка: https://arxiv.org/abs/1203.4738

(Обратно: на всякой пост-алгебре Ли есть ещё одна скобка Ли [[x,y]]:=x▷y-y▷x+[x,y].)
————————
И вообще пишут: Meanwhile, it was found that post-Lie algebras play an essential role in regularity structures in stochastic analysis [9,10,25]. Recently, post-Lie algebras have been studied from different points of view including constructions of nonabelian generalized Lax pairs, PBW type theorems, factorization theorems and relations to post-Lie groups.

hot take: надо совсем перестать говорить "натуральное (число)" и всегда говорить "положительное/неотрицательное целое". поводы такие:
(1) не будет неоднозначности при общении с французами
(2) не будет коллизии с "естественностью" при переводе на английский
(3) забудьте всё, чему вас учили в школе
(4) "натура" — это не по-русски,правильно "природа"

меры и p-адические поля на службе у комплексной геометрии
https://arxiv.org/abs/1707.09534
(узнал из доклада Америк)

Муров в математике настолько много (четыре?), что в топологии есть целых два Moore space

как раз думаю про них чуть-чуть написать с биографическими справками

https://arxiv.org/abs/1001.5140v1

Moore's theorem
Vladlen Timorin

For a closed equivalence relation on the 2-sphere such that all equivalence classes are connected and non-separating, and not all points are equivalent, the quotient space is homeomorphic to the 2-sphere

"...One of the strongest versions is due to R.H. Bing [B]: a compact connected locally connected metrizable space X with more than one point is homeomorphic to the 2-sphere, provided that no embedded S⁰ separates* X, and all embedded S¹ separate X"

(A ⊂ X separates X, if X\A линейно несвязно. Бинг вообще использует слово disrupts)

А про Бинга интересно, что полное имя его отца — Rupert Henry Bing, а полное имя самого Бинга — R. H. Bing.

Причина (см. Singh'91):
«Bing's mother thought that "Rupert Henry" was too British for Texas.»

Следствие (источник: Mathematical Apocrypha):
«It is told that once Bing was applying for a visa and was requested not to use initials. He explained that his name was really "R-only H-only Bing", and ended up receiving a visa made out to "Ronly Honly Bing".»

кстати, а вы замечали, что в математике слово "знак" полностью деградировало, и (вместо намёков на семантику) часто означает просто "плюс или минус"? Это же ужасно, если вдуматься; мы сильно сузили свои выразительные возможности.

Кстати, поэтому мы привыкли использовать громоздкое, зато однозначное, слово "обозначение" (исключения: клише вроде "вынести за знак интеграла")