Что такое вектор? Вопрос политический, но в школе обычно говорят что это класс эквивалентности направленных отрезков (где: направленные отрезки AB и CD эквивалентны, если ABDC — параллелограмм).
У таких общепринятых штук обычно невозможно указать автора — но пишут, что такое определение вектора придумал Джусто Беллавитис в 1833 году: он назвал эту эквивалентность "эквиполентность" и обозначил её как
AB♎️CD.
ссылка: Bellavitis, Giuso (1833), "Sopra alcune applicazioni di un nuovo metodo di geometria analitica", Il poligrafo giornale di scienze, lettre ed arti, Verona, 13: 53–61.
Больше про историю векторного исчисления — здесь. Говорят, к концу 19 века конкурировали три традиции: Гамильтона (кватернионы, удачно им распиаренные), Грассмана (абстрактная, с шестнадцатью разными операциями — то, что сейчас называют "геометрическая алгебра") и Гиббса-Хэвисайда (собственно "векторный анализ" — попытка упростить Грассмана чтобы проще было заниматься электромагнетизмом). Победила третья.Чем только ни занимались, лишь бы не линейной алгеброй...
#истмат
У таких общепринятых штук обычно невозможно указать автора — но пишут, что такое определение вектора придумал Джусто Беллавитис в 1833 году: он назвал эту эквивалентность "эквиполентность" и обозначил её как
AB♎️CD.
ссылка: Bellavitis, Giuso (1833), "Sopra alcune applicazioni di un nuovo metodo di geometria analitica", Il poligrafo giornale di scienze, lettre ed arti, Verona, 13: 53–61.
Больше про историю векторного исчисления — здесь. Говорят, к концу 19 века конкурировали три традиции: Гамильтона (кватернионы, удачно им распиаренные), Грассмана (абстрактная, с шестнадцатью разными операциями — то, что сейчас называют "геометрическая алгебра") и Гиббса-Хэвисайда (собственно "векторный анализ" — попытка упростить Грассмана чтобы проще было заниматься электромагнетизмом). Победила третья.
#истмат
Доказательства всегда в некотором смысле "конструктивны": они дают "алгоритм", просто не все шаги можно быстро проделать на практике. (шаги, связанные с аксиомой выбора, например). Интересно расписать такой план действий. Вот как распознать экзотическую сферу? (в соответствии с вычислением количества гладких структур на сферах, по Керверу-Милнору)
Входные данные: гладкое n-мерное многообразие Σ, гомеоморфное стандартной сфере. Диффеоморфно ли оно стандартной сфере?
Шаг 1: вкладываем Σ в R^{N+n} при N > n.
Шаг 2: строим нормальное оснащение на Σ, то есть N линейно независимых векторных полей на Σ, перпендикулярных поверхности
[Нетривиальный факт: такое оснащение существует. Его можно строить через теорию препятствий; препятствие ровно одно, и оно всегда оказывается равно нулю.] Мы получили оснащённое подмногообразие коразмерности N.
Шаг 3: проверяем, существует ли оснащённый кобордизм между подмногообразием Σ (с нашим нормальным оснащением) и стандартной сферой S^n, стандартно вложенной в R^{N+n} (возможно, с нетривиальным нормальным оснащением).
[На другом языке: по Понтрягину-Тому, нашему нормально оснащённому подмногообразию соответствует отображение S^{N+n} -> S^N, то есть элемент в n-ой стабильной гомотопической группе сфер. Этот элемент либо лежит в образе J-гомоморфизма (т.е. кратен некоторому явному элементу, связанному с ортогональной группой), либо не лежит.
Ещё одна точка зрения: перебираем всевозможные оснащения на Σ и проверяем, будет ли хоть одно из них оснащённо кобордантно нулю].
Если такого кобордизма нет — успех, наша сфера экзотическая.
Пусть такой кобордизм есть. Это значит: можно взять оснащённую связную сумму Σ и сферы так, что получится оснащённое многообразие, кобордантное нулю. Итог: получили оснащённое многообразие P, такое что ∂P=Σ.
[Оснащение на Σ теперь не такое, как раньше, но оно нас больше не интересует.]
Шаг 4: несколько вариантов в зависимости от n.
а) n чётно. Тогда сфера стандартная.
б) n=4k+1, но не 13,29,61,125. Тогда сфера стандартная.
в) n=13,29,61 или 125. Тогда надо посчитать инвариант Кервера многообразия P (то есть Арф-инвариант квадратичной формы на H^{2k+1}(P;Z/2), которая возникает из умножения в когомологиях). Если Арф-инвариант нулевой — сфера стандартная, иначе экзотическая.
[в пункте б) тоже надо бы посчитать инвариант Кервера. Но, если верить Хиллу—Хопкинсу—Рэвенелу, он равен нулю.]
г) n=4k-1. Тогда надо посчитать сигнатуру многообразия P (то есть сигнатуру квадратичной формы на H^{2k}(P;Q), которая возникает из умножения в когомологиях). Если сигнатура делится на некоторое явно выписываемое число, кратное числителю n-ого числа Бернулли — сфера стандартная, иначе экзотическая.
...интересно, можно ли как-нибудь переставить шаги (сначала разобраться с сигнатурой/арф-инвариантом, а потом уже решать гомотопическую задачу).
P. S. Кстати, Милнор строил первые экзотические сферы в размерности n=7. Там J-гомоморфизм сюръективен, поэтому Шаг 3 можно "пропустить": кобордизм всегда существует. (На самом деле пропускать нельзя: на Шаге 4 надо считать сигнатуру заклеивающей плёнки, построенной на Шаге 3.) Сферы Милнора — это тотальные пространства расслоений
S^3 -> Σ -> S^4.
С шагом 3 у Милнора не было проблем, многообразия P — это тотальные пространства ассоциированных расслоений
D^4 -> P -> S^4.
Входные данные: гладкое n-мерное многообразие Σ, гомеоморфное стандартной сфере. Диффеоморфно ли оно стандартной сфере?
Шаг 1: вкладываем Σ в R^{N+n} при N > n.
Шаг 2: строим нормальное оснащение на Σ, то есть N линейно независимых векторных полей на Σ, перпендикулярных поверхности
[Нетривиальный факт: такое оснащение существует. Его можно строить через теорию препятствий; препятствие ровно одно, и оно всегда оказывается равно нулю.] Мы получили оснащённое подмногообразие коразмерности N.
Шаг 3: проверяем, существует ли оснащённый кобордизм между подмногообразием Σ (с нашим нормальным оснащением) и стандартной сферой S^n, стандартно вложенной в R^{N+n} (возможно, с нетривиальным нормальным оснащением).
[На другом языке: по Понтрягину-Тому, нашему нормально оснащённому подмногообразию соответствует отображение S^{N+n} -> S^N, то есть элемент в n-ой стабильной гомотопической группе сфер. Этот элемент либо лежит в образе J-гомоморфизма (т.е. кратен некоторому явному элементу, связанному с ортогональной группой), либо не лежит.
Ещё одна точка зрения: перебираем всевозможные оснащения на Σ и проверяем, будет ли хоть одно из них оснащённо кобордантно нулю].
Если такого кобордизма нет — успех, наша сфера экзотическая.
Пусть такой кобордизм есть. Это значит: можно взять оснащённую связную сумму Σ и сферы так, что получится оснащённое многообразие, кобордантное нулю. Итог: получили оснащённое многообразие P, такое что ∂P=Σ.
[Оснащение на Σ теперь не такое, как раньше, но оно нас больше не интересует.]
Шаг 4: несколько вариантов в зависимости от n.
а) n чётно. Тогда сфера стандартная.
б) n=4k+1, но не 13,29,61,125. Тогда сфера стандартная.
в) n=13,29,61 или 125. Тогда надо посчитать инвариант Кервера многообразия P (то есть Арф-инвариант квадратичной формы на H^{2k+1}(P;Z/2), которая возникает из умножения в когомологиях). Если Арф-инвариант нулевой — сфера стандартная, иначе экзотическая.
[в пункте б) тоже надо бы посчитать инвариант Кервера. Но, если верить Хиллу—Хопкинсу—Рэвенелу, он равен нулю.]
г) n=4k-1. Тогда надо посчитать сигнатуру многообразия P (то есть сигнатуру квадратичной формы на H^{2k}(P;Q), которая возникает из умножения в когомологиях). Если сигнатура делится на некоторое явно выписываемое число, кратное числителю n-ого числа Бернулли — сфера стандартная, иначе экзотическая.
...интересно, можно ли как-нибудь переставить шаги (сначала разобраться с сигнатурой/арф-инвариантом, а потом уже решать гомотопическую задачу).
P. S. Кстати, Милнор строил первые экзотические сферы в размерности n=7. Там J-гомоморфизм сюръективен, поэтому Шаг 3 можно "пропустить": кобордизм всегда существует. (На самом деле пропускать нельзя: на Шаге 4 надо считать сигнатуру заклеивающей плёнки, построенной на Шаге 3.) Сферы Милнора — это тотальные пространства расслоений
S^3 -> Σ -> S^4.
С шагом 3 у Милнора не было проблем, многообразия P — это тотальные пространства ассоциированных расслоений
D^4 -> P -> S^4.
сладко стянул
А я давно хотел понять по гомологическим данным, "сколько* нужно образующих и соотношений" для копредставления связной ассоциативной k-алгебры A. Ответ простой, если k — поле: это размерности векторных пространств Tor_1^A(k,k) и Tor_2^A(k,k). Сегодня я проверил…
Пусть T(x,y) — тензорная алгебра (некоммутативные многочлены от двух переменных) над каким-нибудь коммутативным кольцом. Вот оказывается алгебра T(x,y)/(2x=0, 3y=0) порождается одним элементом (задача: каким?)
(а если ввести мультиградуировку, скажем deg(x):=(1,0), deg(y):=(0,1), и требовать чтобы образующие и соотношения были мультиоднородными, то одним элементом её не породить. Это потому что Z/2⊕Z/3 = Z/6)
(ну и, конечно, алгебра T(x,y)/(2x=0, 2y=0) тоже одним элементом не порождается)
(а если ввести мультиградуировку, скажем deg(x):=(1,0), deg(y):=(0,1), и требовать чтобы образующие и соотношения были мультиоднородными, то одним элементом её не породить. Это потому что Z/2⊕Z/3 = Z/6)
(ну и, конечно, алгебра T(x,y)/(2x=0, 2y=0) тоже одним элементом не порождается)
Есть вот такая загадочная периодичность для квазимногочленов с "целыми" коэффициентами. Я знаю доказательство, даже расскажу, но это какая-то магия. И непонятно, есть ли профит.
(По той же схеме доказывается периодичность mod m для операций Адамса в топологической K-теории. Профиты от этой периодичности тоже не очень понимаю, но при m=2 она вроде нужна чтобы доказать инъективность J-гомоморфизма в размерностях 0,1 mod 8...)
(По той же схеме доказывается периодичность mod m для операций Адамса в топологической K-теории. Профиты от этой периодичности тоже не очень понимаю, но при m=2 она вроде нужна чтобы доказать инъективность J-гомоморфизма в размерностях 0,1 mod 8...)
сладко стянул
Есть вот такая загадочная периодичность для квазимногочленов с "целыми" коэффициентами. Я знаю доказательство, даже расскажу, но это какая-то магия. И непонятно, есть ли профит. (По той же схеме доказывается периодичность mod m для операций Адамса в топологической…
сначала вспомним, как перемножаются экспоненциальные производящие функции: почти так же, как обычные (происходит свёртка), но при свёртке — биномиальный коэффициент.
У нас B(t)=exp(t) или exp(-t), то есть b_l = 1 или b_l = (-1)^l
У нас B(t)=exp(t) или exp(-t), то есть b_l = 1 или b_l = (-1)^l
сладко стянул
сначала вспомним, как перемножаются экспоненциальные производящие функции: почти так же, как обычные (происходит свёртка), но при свёртке — биномиальный коэффициент. У нас B(t)=exp(t) или exp(-t), то есть b_l = 1 или b_l = (-1)^l
Домножим G(t) на exp(-t). Оказывается, наш многочлен имеет "целые" коэффициенты.
Домножим обратно на exp(t). Получается формула для g_k при k>>0, в которой параметр k встречается только в биномиальном коэффициенте. Всё остальное "фиксированное" и "целочисленное".
Домножим обратно на exp(t). Получается формула для g_k при k>>0, в которой параметр k встречается только в биномиальном коэффициенте. Всё остальное "фиксированное" и "целочисленное".
сладко стянул
Домножим G(t) на exp(-t). Оказывается, наш многочлен имеет "целые" коэффициенты. Домножим обратно на exp(t). Получается формула для g_k при k>>0, в которой параметр k встречается только в биномиальном коэффициенте. Всё остальное "фиксированное" и "целочисленное".
а теперь панчлайн: биномиальные коэффициенты (как функции от верхнего индекса) периодичны по любому модулю. Вот и получается периодичность g_k.
сладко стянул
а теперь панчлайн: биномиальные коэффициенты (как функции от верхнего индекса) периодичны по любому модулю. Вот и получается периодичность g_k.
Панчлайн доказывается так: сразу можно считать, что n=N, зафиксировать m, и доказывать индукцией по N. При N=0,1 понятно. Переход от N к N+1 — см. картинку.
Не знаю, можно ли уменьшить период, не сильно усложнив доказательство
Не знаю, можно ли уменьшить период, не сильно усложнив доказательство
сладко стянул
Есть вот такая загадочная периодичность для квазимногочленов с "целыми" коэффициентами. Я знаю доказательство, даже расскажу, но это какая-то магия. И непонятно, есть ли профит. (По той же схеме доказывается периодичность mod m для операций Адамса в топологической…
Здесь Z можно заменить на любое коммутативное кольцо R, то есть рассматривать экспоненциальную производящую функцию как чисто формальный объект, последовательность коэффициентов. Перемножаются они через свёртку, поэтому всё корректно определено.
Тогда "равенство mod m" надо понимать как "существует элемент r нашего кольца такой, что разность равна mr".
У Адамса g_k — это операция Ψ^k, а R — это End(K(X)) (эндоморфизмы топологической K-теории некоторого конечномерного пространства X). Он доказывает, что соответствующая операция f_n тривиально действует на K(X) при n>N (здесь N —функция от dim X), и выводит периодичность Ψ^k примерно как мы. Но операции Ψ^k определены и при k<0, так что рассуждение Адамса ещё сложнее
Тогда "равенство mod m" надо понимать как "существует элемент r нашего кольца такой, что разность равна mr".
У Адамса g_k — это операция Ψ^k, а R — это End(K(X)) (эндоморфизмы топологической K-теории некоторого конечномерного пространства X). Он доказывает, что соответствующая операция f_n тривиально действует на K(X) при n>N (здесь N —функция от dim X), и выводит периодичность Ψ^k примерно как мы. Но операции Ψ^k определены и при k<0, так что рассуждение Адамса ещё сложнее
#картинка
#чётамнаархиве
точка бегает по границе квадрата, какие-то спектры бегают по прямым...
https://arxiv.org/abs/2403.00342
Ещё про периодичность Ботта и конфигурационные пространства см.
https://vk.com/wall3973145_2336
#чётамнаархиве
точка бегает по границе квадрата, какие-то спектры бегают по прямым...
https://arxiv.org/abs/2403.00342
Ещё про периодичность Ботта и конфигурационные пространства см.
https://vk.com/wall3973145_2336
Forwarded from воспоминания математиков
Минлос всегда поражал меня своей техникой вычислений. Если между условием и ответом были две страницы выкладок, то он никогда не ошибался, как будто видел ответ сразу. Может быть, поэтому он объяснял только идейную сторону задачи. Хорошо помню такой его монолог. «Вообще, если не знать, что Риман был очень умный человек, а посмотреть только на интеграл Римана, то это кажется сомнительным. Вот Вы идете вдоль забора из реек одинаковой ширины, но разной длины, и хотите посчитать площадь забора. Что делает Риман? Измеряет длину каждой рейки, умножает на ширину и складывает. Кто же так делает? Надо пойти в прорабскую и узнать, сколько реек каждой длины пошло на забор. Это то, что делает Лебег».
воспоминания И.Д. Новикова
воспоминания И.Д. Новикова
сладко стянул
над любым кольцом оказывается верно! у Лемэра записано над полем, наверно и доказательство обобщается, но проще передоказать. Например, пункт (1): индукция по размерности. Пусть в размерностях <n доказали, что сюръективен. Возьмём элемент b∈B степени n. Он…
к теме вычислений. сегодня дошло, что "лобовое рассуждение" надо читать как "diagram chasing", то есть вместо него можно полтора* раза сослаться на 5-лемму.
доказательство стало понятнее, но длиннее на 77%. примерно как то самое "Гротендик упростил 80-страничную статью Серра, превратив ее в тысячестраничную EGA"
*как известно, 5-лемма состоит из двух 4-лемм. здесь надо два раза сослаться на первую и один раз на вторую
доказательство стало понятнее, но длиннее на 77%. примерно как то самое "Гротендик упростил 80-страничную статью Серра, превратив ее в тысячестраничную EGA"
*как известно, 5-лемма состоит из двух 4-лемм. здесь надо два раза сослаться на первую и один раз на вторую
неизоморфные абелевы группы могут быть прямыми слагаемыми друг друга.
Теория абелевых групп вкладывается в теорию групп, а та — в теорию гомотопий (как полная подкатегория: вложение — функтор K(-,1)).
Значит, и в топологии так бывает: иногда два пространства гомотопически неэквивалентны, но друг на друга ретрагируются
https://mathoverflow.net/questions/10128/when-is-a-isomorphic-to-a3
Теория абелевых групп вкладывается в теорию групп, а та — в теорию гомотопий (как полная подкатегория: вложение — функтор K(-,1)).
Значит, и в топологии так бывает: иногда два пространства гомотопически неэквивалентны, но друг на друга ретрагируются
https://mathoverflow.net/questions/10128/when-is-a-isomorphic-to-a3
сладко стянул
неизоморфные абелевы группы могут быть прямыми слагаемыми друг друга. Теория абелевых групп вкладывается в теорию групп, а та — в теорию гомотопий (как полная подкатегория: вложение — функтор K(-,1)). Значит, и в топологии так бывает: иногда два пространства…
для неабелевых групп есть более явный пример:
счётное прямое произведение копий S_3
vs
счётное прямое произведение копий S_3 x Z/2
(но здесь ретракт — это уже не "подгруппа, которая выделяется прямым слагаемым", а "подгруппа, которая выделяется ненормальным сомножителем в полупрямом произведении")
счётное прямое произведение копий S_3
vs
счётное прямое произведение копий S_3 x Z/2
(но здесь ретракт — это уже не "подгруппа, которая выделяется прямым слагаемым", а "подгруппа, которая выделяется ненормальным сомножителем в полупрямом произведении")
сегодня я узнал, что в Lean'е уже формализовали (то есть записали математическое доказательство, строгость которого проверена на компьютере):
- великую теорему Ферма для регулярных простых (Куммер, 1847)
- основную теорему арифметики, основную теорему алгебры, основную теорему анализа
- выворачивание сферы наизнанку (Смейл, 1957)
- независимость континуум-гипотезы от ZFC (Гёдель, 1940 + Коэн, 1963)
- всякие абстрактные понятия, введенные Шольце (перфектоиды, жидкие векторные пространства...)
- некоторые свежие результаты аддитивной комбинаторики
- довольно много фундаментальной математики https://leanprover-community.github.io/undergrad.html
#картинка:
https://leanprover-community.github.io/lean-perfectoid-spaces/
А из "ста великих теорем" на данный момент формализованы (хотя бы в одном из proof assistant'ов) все, кроме великой теоремы Ферма:
https://www.cs.ru.nl/~freek/100/
- великую теорему Ферма для регулярных простых (Куммер, 1847)
- основную теорему арифметики, основную теорему алгебры, основную теорему анализа
- выворачивание сферы наизнанку (Смейл, 1957)
- независимость континуум-гипотезы от ZFC (Гёдель, 1940 + Коэн, 1963)
- всякие абстрактные понятия, введенные Шольце (перфектоиды, жидкие векторные пространства...)
- некоторые свежие результаты аддитивной комбинаторики
- довольно много фундаментальной математики https://leanprover-community.github.io/undergrad.html
#картинка:
https://leanprover-community.github.io/lean-perfectoid-spaces/
А из "ста великих теорем" на данный момент формализованы (хотя бы в одном из proof assistant'ов) все, кроме великой теоремы Ферма:
https://www.cs.ru.nl/~freek/100/
сладко стянул
А я давно хотел понять по гомологическим данным, "сколько* нужно образующих и соотношений" для копредставления связной ассоциативной k-алгебры A. Ответ простой, если k — поле: это размерности векторных пространств Tor_1^A(k,k) и Tor_2^A(k,k). Сегодня я проверил…
чуть подробнее
youtube.com/live/TYyP60jGrcM
youtube.com/live/TYyP60jGrcM