совпало: как раз тоже хотел написать, что настоящую фундаментальную группу алгебраического многообразия (рассматриваемого в комплексной топологии) иногда нельзя восстановить алгебраически (несмотря на триумфы этальной топологии: мы умеем восстанавливать когомологии с конечными коэффициентами, а также проконечное пополнение фундаментальной группы)
Чуть более явный пример, чем в посте на secret blogging seminar, предъявляют Боровой и Корнюлье (более того, в их примере X=G/H — однородное пространство):
пусть G=SL(n,C)×C*, n≥5, и пусть
H={функции Z/11 -> Z/11 вида f(x)=a²x+b}, умножение = композиция. Другими словами, H=Z/11Z полупрямо на Z/5Z={квадратичные вычеты кольца Z/11Z}.
Тогда можно разными способами вложить H в G, и фундаментальные группы полученных пространств G/H будут неизоморфными группами вида "Z/11Z полупрямо на Z"! (Вложения рассматриваем такие: в первый раз H надо вложить в SL(n,C) произвольно, а H->C* отобразить композицией
H -> Z/5Z -> C*, где вторая стрелка — произвольное вложение. Дальше выберем¹ автоморфизм поля C, при котором выбранное вложение Z/5Z -> C* переходит в свой квадрат. Вложение H в SL(n,C) тоже изменим на этот автоморфизм поля. Так мы построили второе вложение H в G)
Построенные вложения сопряжены относительно некоторого автоморфизма поля C. Поэтому алгебраический геометр не почувствует разницы между G/H и G/H!
https://arxiv.org/abs/1505.02323
¹Существование такого автоморфизма — отдельный вопрос, для решения которого, видимо, нужна аксиома выбора: https://math.stackexchange.com/questions/412010/wild-automorphisms-of-the-complex-numbers
То есть отмазка такая: "одинаковость наших многообразий неконструктивна, в модели Соловея для теории множеств её может и не быть".
Чуть более явный пример, чем в посте на secret blogging seminar, предъявляют Боровой и Корнюлье (более того, в их примере X=G/H — однородное пространство):
пусть G=SL(n,C)×C*, n≥5, и пусть
H={функции Z/11 -> Z/11 вида f(x)=a²x+b}, умножение = композиция. Другими словами, H=Z/11Z полупрямо на Z/5Z={квадратичные вычеты кольца Z/11Z}.
Тогда можно разными способами вложить H в G, и фундаментальные группы полученных пространств G/H будут неизоморфными группами вида "Z/11Z полупрямо на Z"! (Вложения рассматриваем такие: в первый раз H надо вложить в SL(n,C) произвольно, а H->C* отобразить композицией
H -> Z/5Z -> C*, где вторая стрелка — произвольное вложение. Дальше выберем¹ автоморфизм поля C, при котором выбранное вложение Z/5Z -> C* переходит в свой квадрат. Вложение H в SL(n,C) тоже изменим на этот автоморфизм поля. Так мы построили второе вложение H в G)
Построенные вложения сопряжены относительно некоторого автоморфизма поля C. Поэтому алгебраический геометр не почувствует разницы между G/H и G/H!
https://arxiv.org/abs/1505.02323
¹Существование такого автоморфизма — отдельный вопрос, для решения которого, видимо, нужна аксиома выбора: https://math.stackexchange.com/questions/412010/wild-automorphisms-of-the-complex-numbers
То есть отмазка такая: "одинаковость наших многообразий неконструктивна, в модели Соловея для теории множеств её может и не быть".
arXiv.org
Conjugate complex homogeneous spaces with non-isomorphic fundamental groups
Let X=G/H be the quotient of a connected reductive algebraic C-group G defined over the field of complex numbers C by a finite subgroup H. We describe the topological fundamental group of the...
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://sbseminar.wordpress.com/2009/07/28/topology-that-algebra-cant-see/
«Let X be an algebraic variety over ℂ; that is to say, the zero locus of a bunch of polynomials with complex coefficients. We will consider this zero locus as a topological space using the ordinary topology on ℂ. One of the main themes of algebraic geometry in the last century has been learning how to study the topology of X in terms of the algebraic properties of the defining equations.
In this post, I will explain that there are intrinsic limits to this approach; things that cannot be computed algebraically. In particular, I want to explain how from a categorical point of view, we can’t even compute the homology H₁(X,ℤ). And, even if you don’t believe in categories, you’ll still have to concede that we can’t compute π₁(X). This is a very pretty example and it should be more widely known.
Absolutely none of the ideas in this post are original; I think most of them are due to Serre.»
«Let X be an algebraic variety over ℂ; that is to say, the zero locus of a bunch of polynomials with complex coefficients. We will consider this zero locus as a topological space using the ordinary topology on ℂ. One of the main themes of algebraic geometry in the last century has been learning how to study the topology of X in terms of the algebraic properties of the defining equations.
In this post, I will explain that there are intrinsic limits to this approach; things that cannot be computed algebraically. In particular, I want to explain how from a categorical point of view, we can’t even compute the homology H₁(X,ℤ). And, even if you don’t believe in categories, you’ll still have to concede that we can’t compute π₁(X). This is a very pretty example and it should be more widely known.
Absolutely none of the ideas in this post are original; I think most of them are due to Serre.»
сладко стянул
совпало: как раз тоже хотел написать, что настоящую фундаментальную группу алгебраического многообразия (рассматриваемого в комплексной топологии) иногда нельзя восстановить алгебраически (несмотря на триумфы этальной топологии: мы умеем восстанавливать когомологии…
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
сладко стянул
(2/7) Автоморфизмы и фундаментальная группа (обычная)
Зафиксируем хорошее топологическое пространство X и рассмотрим категорию "пространств над X": объекты := отображения Y->X, морфизмы := отображения Y1->Y2, согласованные с отображениями в X. Возникает группа автоморфизмов данного объекта Y->X этой категории; обозначим её Aut_X(Y).
Ограничимся случаем, когда Y связно и Y->X — накрытие. Теория накрытий говорит, что таких объектов столько же, сколько подгрупп в группе G=п_1(X): а именно, п_1(Y)->п_1(X) всегда инъективно, его образ — и есть подгруппа, соответствующая накрытию; слой над отмеченной точкой — это фактормножество по ней. Если п_1(Y)=H < G, то
Aut_X(Y) = N(H)/H,
факторгруппа нормализатора* H в G. В частности: если подгруппа H нормальна в G (тогда Y->X называют нормальным накрытием, или "накрытием Галуа"), то Aut_X(Y) = G/H. Эквивалентно:
Y->X — накрытие Галуа <=> в слое ровно |Aut_X(Y)| точек.
Нормальные подгруппы в G образуют обратную систему, поэтому соответствующие накрытия Галуа Y->X и их группы автоморфизмов — тоже (если H1 < H2 < G, то возникает гомоморфизм Aut_X(Y1) -> Aut_X(Y2): это в точности G/H1 -> G/H2).
Поэтому: если нам известна "часть накрытий", то мы кое-что можем узнать о фундаментальной группе. Например: если "даны" все конечнолистные накрытия Галуа над X (как полная подкатегория в категории пространств над X), то мы можем восстановить по ним обратный предел от G/H по всем нормальным подгруппам H<G конечного индекса; это так называемое проконечное пополнение (profinite completion) группы G.
*N(H):={g: gHg^-1=H} — это наибольшая подгруппа в G, в которой H нормальна
Зафиксируем хорошее топологическое пространство X и рассмотрим категорию "пространств над X": объекты := отображения Y->X, морфизмы := отображения Y1->Y2, согласованные с отображениями в X. Возникает группа автоморфизмов данного объекта Y->X этой категории; обозначим её Aut_X(Y).
Ограничимся случаем, когда Y связно и Y->X — накрытие. Теория накрытий говорит, что таких объектов столько же, сколько подгрупп в группе G=п_1(X): а именно, п_1(Y)->п_1(X) всегда инъективно, его образ — и есть подгруппа, соответствующая накрытию; слой над отмеченной точкой — это фактормножество по ней. Если п_1(Y)=H < G, то
Aut_X(Y) = N(H)/H,
факторгруппа нормализатора* H в G. В частности: если подгруппа H нормальна в G (тогда Y->X называют нормальным накрытием, или "накрытием Галуа"), то Aut_X(Y) = G/H. Эквивалентно:
Y->X — накрытие Галуа <=> в слое ровно |Aut_X(Y)| точек.
Нормальные подгруппы в G образуют обратную систему, поэтому соответствующие накрытия Галуа Y->X и их группы автоморфизмов — тоже (если H1 < H2 < G, то возникает гомоморфизм Aut_X(Y1) -> Aut_X(Y2): это в точности G/H1 -> G/H2).
Поэтому: если нам известна "часть накрытий", то мы кое-что можем узнать о фундаментальной группе. Например: если "даны" все конечнолистные накрытия Галуа над X (как полная подкатегория в категории пространств над X), то мы можем восстановить по ним обратный предел от G/H по всем нормальным подгруппам H<G конечного индекса; это так называемое проконечное пополнение (profinite completion) группы G.
*N(H):={g: gHg^-1=H} — это наибольшая подгруппа в G, в которой H нормальна
сладко стянул
(2/7) Автоморфизмы и фундаментальная группа (обычная) Зафиксируем хорошее топологическое пространство X и рассмотрим категорию "пространств над X": объекты := отображения Y->X, морфизмы := отображения Y1->Y2, согласованные с отображениями в X. Возникает группа…
(3/7) Автоморфизмы и фундаментальная группа (этальная)
Пусть теперь X — алгебраическое многообразие над полем k. Скажем, что морфизм алгебраических многообразий Y->X — "накрытие Галуа", если это этальный морфизм, причём*
|Aut_X(Y)|=deg(Y/X).
Определим этальную фундаментальную группу п^et_1(X) как обратный предел групп Aut_X(Y) по всем накрытиям Галуа.
Теорема (Гротендик, SGA1): если X — алгебраическое многообразие над C, то п^et_1(X) — это проконечное пополнение группы п_1(X_an), фундаментальной группы этого многообразия в комплексной топологии.
(Это следует из "теоремы Римана о существовании", то есть из эквивалентности этальных морфизмов над комплексными алгебраическими многообразиями и конечнолистных накрытий над соответствующими аналитическими пространствами (Grauert,Remmert))
То есть, как и обещалось: алгебраическая геометрия помнит что-то о фундаментальной группе комплексного алгебраического многообразия. (Но не всё! см. пример выше, https://www.group-telegram.com/sweet_homotopy.com/2114)
Не над C всё, видимо, интереснее; в частности, фамилия Галуа, в отличие от топологической ситуации, здесь по делу...
*Степень — это число точек в типичном слое, ну или степень соответствующего расширения полей k(Y):k(X). То есть определение вполне аналогично топологическому.
Пусть теперь X — алгебраическое многообразие над полем k. Скажем, что морфизм алгебраических многообразий Y->X — "накрытие Галуа", если это этальный морфизм, причём*
|Aut_X(Y)|=deg(Y/X).
Определим этальную фундаментальную группу п^et_1(X) как обратный предел групп Aut_X(Y) по всем накрытиям Галуа.
Теорема (Гротендик, SGA1): если X — алгебраическое многообразие над C, то п^et_1(X) — это проконечное пополнение группы п_1(X_an), фундаментальной группы этого многообразия в комплексной топологии.
(Это следует из "теоремы Римана о существовании", то есть из эквивалентности этальных морфизмов над комплексными алгебраическими многообразиями и конечнолистных накрытий над соответствующими аналитическими пространствами (Grauert,Remmert))
То есть, как и обещалось: алгебраическая геометрия помнит что-то о фундаментальной группе комплексного алгебраического многообразия. (Но не всё! см. пример выше, https://www.group-telegram.com/sweet_homotopy.com/2114)
Не над C всё, видимо, интереснее; в частности, фамилия Галуа, в отличие от топологической ситуации, здесь по делу...
*Степень — это число точек в типичном слое, ну или степень соответствующего расширения полей k(Y):k(X). То есть определение вполне аналогично топологическому.
Telegram
сладко стянул
https://sbseminar.wordpress.com/2009/07/28/topology-that-algebra-cant-see/
«Let X be an algebraic variety over ℂ; that is to say, the zero locus of a bunch of polynomials with complex coefficients. We will consider this zero locus as a topological space…
«Let X be an algebraic variety over ℂ; that is to say, the zero locus of a bunch of polynomials with complex coefficients. We will consider this zero locus as a topological space…
сладко стянул
(3/7) Автоморфизмы и фундаментальная группа (этальная) Пусть теперь X — алгебраическое многообразие над полем k. Скажем, что морфизм алгебраических многообразий Y->X — "накрытие Галуа", если это этальный морфизм, причём* |Aut_X(Y)|=deg(Y/X). Определим этальную…
(4/7) Пучки (обычные)
Вместо определения — мотивирующий пример ("пучок ростков гладких функций"): если M — гладкое многообразие и k≥0, то
(1) каждому открытому подмножеству U < M сопоставляется абелева группа
F(U) := {гладкие функции U->R^k};
(2) если U1 < U2, то задан очевидный гомоморфизм ограничения
F(U2) -> F(U1).
Эти гомоморфизмы согласованы между собой: композиция ограничений — тоже ограничение.
(3) Есть "склейка":
если U — объединение набора открытых подмножеств {Ui}, то задать гладкую функцию U -> R^k — все равно что задать набор гладких функций Ui -> R^k, которые совпадают на попарных пересечениях.
Эквивалентно, F(U) изоморфна группе "согласованных" наборов элементов групп F(Ui).
(Набор {fi ∈ F(Ui)} "согласован", если при морфизмах ограничения элементы fi и fj переходят в один и тот же элемент группы F(Ui ∩ Uj)).
Эквивалентно, F(U) — это предел диаграммы, составленной из групп F(Ui) и F(Ui ∩ Uj) и морфизмов ограничения. (Можно переписать ещё абстрактнее, как уравнитель морфизмов: см. картинку)
Вместо определения — мотивирующий пример ("пучок ростков гладких функций"): если M — гладкое многообразие и k≥0, то
(1) каждому открытому подмножеству U < M сопоставляется абелева группа
F(U) := {гладкие функции U->R^k};
(2) если U1 < U2, то задан очевидный гомоморфизм ограничения
F(U2) -> F(U1).
Эти гомоморфизмы согласованы между собой: композиция ограничений — тоже ограничение.
(3) Есть "склейка":
если U — объединение набора открытых подмножеств {Ui}, то задать гладкую функцию U -> R^k — все равно что задать набор гладких функций Ui -> R^k, которые совпадают на попарных пересечениях.
Эквивалентно, F(U) изоморфна группе "согласованных" наборов элементов групп F(Ui).
(Набор {fi ∈ F(Ui)} "согласован", если при морфизмах ограничения элементы fi и fj переходят в один и тот же элемент группы F(Ui ∩ Uj)).
Эквивалентно, F(U) — это предел диаграммы, составленной из групп F(Ui) и F(Ui ∩ Uj) и морфизмов ограничения. (Можно переписать ещё абстрактнее, как уравнитель морфизмов: см. картинку)
сладко стянул
(4/7) Пучки (обычные) Вместо определения — мотивирующий пример ("пучок ростков гладких функций"): если M — гладкое многообразие и k≥0, то (1) каждому открытому подмножеству U < M сопоставляется абелева группа F(U) := {гладкие функции U->R^k}; (2) если U1…
(5/7) Пучки (этальные)
В определении пучка (на топологическом пространстве) используются такие понятия, как:
(1) Открытые подмножества U < X;
(2) Вложения U1 < U2 открытых подмножеств;
(3) Пересечения Uij открытых подмножеств Ui и Uj;
(4) Покрытия открытых подмножеств U семействами открытых подмножеств {Ui}.
В случае, когда X — алгебраическое многообразие, формально заменим их на
(1') Этальные морфизмы U -> X;
(2') Морфизмы U1 -> U2 над X; (отметим: такие обязательно будут этальными!)
(3') Расслоенные произведения Ui ×_X Uj -> X этальных морфизмов Ui -> X и Uj -> X;
(4') Наборы этальных морфизмов Ui -> U таких, что объединение их образов — это всё U. (такой набор называется "этальным покрытием" для U)
Получается понятие этального пучка (абелевых групп): это сопоставление каждому этальному морфизму U->X абелевой группы F(U), [и так далее: чтоб получить пучок, нужно ещё задать гомоморфизмы ограничения так, чтобы они были согласованы, и для этальных покрытий выполнялась аксиома склейки]
В определении пучка (на топологическом пространстве) используются такие понятия, как:
(1) Открытые подмножества U < X;
(2) Вложения U1 < U2 открытых подмножеств;
(3) Пересечения Uij открытых подмножеств Ui и Uj;
(4) Покрытия открытых подмножеств U семействами открытых подмножеств {Ui}.
В случае, когда X — алгебраическое многообразие, формально заменим их на
(1') Этальные морфизмы U -> X;
(2') Морфизмы U1 -> U2 над X; (отметим: такие обязательно будут этальными!)
(3') Расслоенные произведения Ui ×_X Uj -> X этальных морфизмов Ui -> X и Uj -> X;
(4') Наборы этальных морфизмов Ui -> U таких, что объединение их образов — это всё U. (такой набор называется "этальным покрытием" для U)
Получается понятие этального пучка (абелевых групп): это сопоставление каждому этальному морфизму U->X абелевой группы F(U), [и так далее: чтоб получить пучок, нужно ещё задать гомоморфизмы ограничения так, чтобы они были согласованы, и для этальных покрытий выполнялась аксиома склейки]
сладко стянул
(5/7) Пучки (этальные) В определении пучка (на топологическом пространстве) используются такие понятия, как: (1) Открытые подмножества U < X; (2) Вложения U1 < U2 открытых подмножеств; (3) Пересечения Uij открытых подмножеств Ui и Uj; (4) Покрытия открытых…
(6/7) Пучки (на сайтах)
Итак: пучок — это контравариантный функтор, удовлетворяющий аксиоме склейки. Чтобы её сформулировать, нужно выбрать, что называть "покрытиями". Этот выбор называется "топология Гротендика" (на категории "открытых подмножеств какого-то пространства").
Определение (по Артину). Выберем в категории C какой-то класс T наборов отображений {fi: Ui -> U: i∈I}={Ui->U} и назовём их "покрытиями". (Например, я могу взять два морфизма f:X->Z и g:Y->Z; тогда двухэлементное множество {f,g} либо является "покрытием" объекта Z (если {f,g}∈T), либо не является).
Так вот, T называется топологией Гротендика, если выполнены три аксиомы:
(i) Если f:X->Y — изоморфизм, то одноэлементный набор {f} — покрытие;
(ii) Если дано покрытие {Ui->U} и, для каждого i, покрытие {Vij->Ui}, то {Vij->U} — покрытие;
(iii) Если дано покрытие {Ui->U} и морфизм V->U, то определены расслоенные произведения Ui x_U V, причём {Ui x_U V -> V} — покрытие.
То есть пространство покрывает себя, покрытие покрытия — покрытие, обратный образ покрытия — тоже. Пару (C,T) называют сайтом (site). Обычные пучки, этальные пучки — частные случаи пучков на сайте (понятно, что это такое: кофунктор из C куда-либо, удовлетворяющий аксиоме склейки для каждого элемента из T).
Примеры сайтов:
(1) Обычная топология (на топологическом пространстве X):
C={открытые вложения U->X} или {открытые подмножества U < X},
T={все покрытия в обычном смысле}
={наборы открытых вложений {Ui->U} таких, что U — объединение образов};
(2) Этальная топология (на алгебраическом многообразии X):
C={этальные морфизмы U->X},
T={наборы этальных морфизмов {Ui->U} таких, что U — объединение образов (в теоретико-множественном смысле)};
(2') Большой этальный сайт:
C={все морфизмы U->X},
T={наборы этальных морфизмов {Ui->U} таких, что U — объединение образов (в теоретико-множественном смысле)};
(3) Топология Нисневича, которую используют в A^1-теории гомотопий: почти аналогично, но требования к морфизмам усиливаются: надо, чтобы у каждой точки x∈U (в схемном смысле) нашёлся прообраз y∈Ui в каком-то из Ui, для которого индуцированное отображение полей вычетов k(x)->k(y) — изоморфизм.
Вроде как на подкатегории гладких многообразий это выглядит проще:
T={такие наборы этальных морфизмов {Ui->U}, что для любого поля k верно: множество U(k) — это объединение образов множеств Ui(k)}.
———————————-
P.S. Современное определение топологии Гротендика немного другое, оно получается из T некоторым "насыщением".
Определение. Пусть U∈C — объект какой-то категории. Набор морфизмов S={Ui->U} называется ситом (sieve) на U, если верно:
для всякого морфизма Y->Ui композиция Y->U тоже принадлежит S.
Ясно:
(1) любой набор морфизмов {Ui->U} порождает какое-то сито;
(2) если S — сито на U, и задан морфизм f:V->U, то мы получаем сито f*S на V,
f*S := {g:W->V | fg∈S}.
Определение (по Гротендику). Пусть каждому объекту U∈C сопоставлен набор сит J(U) на нём, которые мы будем называть "покрывающими ситами". Такое сопоставление J называется топологией Гротендика, если выполнены аксиомы:
(i) Сито {все морфизмы откуда-либо в U} покрывающее;
(ii) Если S — сито на U и, для некоторого объекта Y, множество {f:Y->U | f*S∈J(Y)} содержит какое-то покрывающее сито, то S покрывающее;
(iii) Если S — покрывающее сито на U, и задан морфизм f:V->U, то f*S — покрывающее.
Пару (C,J) иногда тоже называют сайтом. Видимо, по множеству T (из определения по Артину) можно построить J (но не наоборот), и аксиомы пучка зависят только от J. То есть, "пучки живут на сайтах". Вроде как "топос — это то же самое, что категория всех пучков на некотором сайте", но видимо это уже совсем другая история...
Итак: пучок — это контравариантный функтор, удовлетворяющий аксиоме склейки. Чтобы её сформулировать, нужно выбрать, что называть "покрытиями". Этот выбор называется "топология Гротендика" (на категории "открытых подмножеств какого-то пространства").
Определение (по Артину). Выберем в категории C какой-то класс T наборов отображений {fi: Ui -> U: i∈I}={Ui->U} и назовём их "покрытиями". (Например, я могу взять два морфизма f:X->Z и g:Y->Z; тогда двухэлементное множество {f,g} либо является "покрытием" объекта Z (если {f,g}∈T), либо не является).
Так вот, T называется топологией Гротендика, если выполнены три аксиомы:
(i) Если f:X->Y — изоморфизм, то одноэлементный набор {f} — покрытие;
(ii) Если дано покрытие {Ui->U} и, для каждого i, покрытие {Vij->Ui}, то {Vij->U} — покрытие;
(iii) Если дано покрытие {Ui->U} и морфизм V->U, то определены расслоенные произведения Ui x_U V, причём {Ui x_U V -> V} — покрытие.
То есть пространство покрывает себя, покрытие покрытия — покрытие, обратный образ покрытия — тоже. Пару (C,T) называют сайтом (site). Обычные пучки, этальные пучки — частные случаи пучков на сайте (понятно, что это такое: кофунктор из C куда-либо, удовлетворяющий аксиоме склейки для каждого элемента из T).
Примеры сайтов:
(1) Обычная топология (на топологическом пространстве X):
C={открытые вложения U->X} или {открытые подмножества U < X},
T={все покрытия в обычном смысле}
={наборы открытых вложений {Ui->U} таких, что U — объединение образов};
(2) Этальная топология (на алгебраическом многообразии X):
C={этальные морфизмы U->X},
T={наборы этальных морфизмов {Ui->U} таких, что U — объединение образов (в теоретико-множественном смысле)};
(2') Большой этальный сайт:
C={все морфизмы U->X},
T={наборы этальных морфизмов {Ui->U} таких, что U — объединение образов (в теоретико-множественном смысле)};
(3) Топология Нисневича, которую используют в A^1-теории гомотопий: почти аналогично, но требования к морфизмам усиливаются: надо, чтобы у каждой точки x∈U (в схемном смысле) нашёлся прообраз y∈Ui в каком-то из Ui, для которого индуцированное отображение полей вычетов k(x)->k(y) — изоморфизм.
Вроде как на подкатегории гладких многообразий это выглядит проще:
T={такие наборы этальных морфизмов {Ui->U}, что для любого поля k верно: множество U(k) — это объединение образов множеств Ui(k)}.
———————————-
P.S. Современное определение топологии Гротендика немного другое, оно получается из T некоторым "насыщением".
Определение. Пусть U∈C — объект какой-то категории. Набор морфизмов S={Ui->U} называется ситом (sieve) на U, если верно:
для всякого морфизма Y->Ui композиция Y->U тоже принадлежит S.
Ясно:
(1) любой набор морфизмов {Ui->U} порождает какое-то сито;
(2) если S — сито на U, и задан морфизм f:V->U, то мы получаем сито f*S на V,
f*S := {g:W->V | fg∈S}.
Определение (по Гротендику). Пусть каждому объекту U∈C сопоставлен набор сит J(U) на нём, которые мы будем называть "покрывающими ситами". Такое сопоставление J называется топологией Гротендика, если выполнены аксиомы:
(i) Сито {все морфизмы откуда-либо в U} покрывающее;
(ii) Если S — сито на U и, для некоторого объекта Y, множество {f:Y->U | f*S∈J(Y)} содержит какое-то покрывающее сито, то S покрывающее;
(iii) Если S — покрывающее сито на U, и задан морфизм f:V->U, то f*S — покрывающее.
Пару (C,J) иногда тоже называют сайтом. Видимо, по множеству T (из определения по Артину) можно построить J (но не наоборот), и аксиомы пучка зависят только от J. То есть, "пучки живут на сайтах". Вроде как "топос — это то же самое, что категория всех пучков на некотором сайте", но видимо это уже совсем другая история...
сладко стянул
(6/7) Пучки (на сайтах) Итак: пучок — это контравариантный функтор, удовлетворяющий аксиоме склейки. Чтобы её сформулировать, нужно выбрать, что называть "покрытиями". Этот выбор называется "топология Гротендика" (на категории "открытых подмножеств какого…
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
сладко стянул
(5/7) Пучки (этальные) В определении пучка (на топологическом пространстве) используются такие понятия, как: (1) Открытые подмножества U < X; (2) Вложения U1 < U2 открытых подмножеств; (3) Пересечения Uij открытых подмножеств Ui и Uj; (4) Покрытия открытых…
(7/7) Когомологии пучков
Дальше стандартная машинерия (с которой, как и с пучками, лучше впервые знакомиться по брошюре Натанзона):
Теорема (Гротендик): Пучки абелевых групп на топологическом пространстве X образуют абелеву категорию Sh(X), в которой достаточно много инъективных объектов.
Функтор глобальных сечений Г:Sh(X) -> Ab, который сопоставляет пучку F абелеву группу F(X), полуточен. Поэтому у Г(-) есть производные функторы; их и называют когомологиями пучка F, ну или "когомологии X с коэффициентами в F" (обозначение: H*(X,F)). В частности, H⁰(X,F)=F(X).
Теорема: если X — хаусдорфов паракомпакт, то его когомологии с коэффициентами в постоянном пучке F=A (F(U)=A для любого связного U) изоморфны чеховским когомологиям пространства X с коэффициентам в группе A. То есть для достаточно хороших пространств обычные когомологии — частный случай когомологий пучков. (что, в общем-то, чудо: удивительно, например, что номер производного функтора совпадает с нашим интуитивным представлением о размерности полостей, которые им ухватываются)
Наблюдение: если X — неприводимое алгебраическое многообразие (которое мы рассматриваем с топологией Зарисского), то когомологии любого постоянного пучка на нём тривиальны,
H⁰(X,A)=A, Hⁿ(X,A)=0 при n>0.
(Из-за неприводимости любое непустое открытое подмножество связно, поэтому этот пучок будет вялым (flabby, или flasque), то есть все отображения ограничения сюръективны; а когомологии вялого пучка тривиальны)
------------
Этальные когомологии ("когомологии этальных пучков") считаются по той же схеме и обозначаются H*(X_et,F). (Обозначение разумное: этальный пучок это всё-таки не "экзотический аналог пучка на X", а скорее "обычный пучок на пространстве X с этальной топологией вместо топологии Зарисского")
Теорема (Артин): если X — алгебраическое многообразие над C, то этальные когомологии H*(X_et,Z/nZ) изоморфны обычным когомологиям соответствующего комплексного многообразия, группе H*(X_an,Z/nZ).
То есть все группы гомологий комплексного многообразия можно (неканонически) восстановить методами алгебраической геометрии.
Более того, этальные когомологии хорошо себя ведут и для многообразий над полем характеристики p>0, если gcd(p,n)=1; вроде, для этого их и придумали
Дальше стандартная машинерия (с которой, как и с пучками, лучше впервые знакомиться по брошюре Натанзона):
Теорема (Гротендик): Пучки абелевых групп на топологическом пространстве X образуют абелеву категорию Sh(X), в которой достаточно много инъективных объектов.
Функтор глобальных сечений Г:Sh(X) -> Ab, который сопоставляет пучку F абелеву группу F(X), полуточен. Поэтому у Г(-) есть производные функторы; их и называют когомологиями пучка F, ну или "когомологии X с коэффициентами в F" (обозначение: H*(X,F)). В частности, H⁰(X,F)=F(X).
Теорема: если X — хаусдорфов паракомпакт, то его когомологии с коэффициентами в постоянном пучке F=A (F(U)=A для любого связного U) изоморфны чеховским когомологиям пространства X с коэффициентам в группе A. То есть для достаточно хороших пространств обычные когомологии — частный случай когомологий пучков. (что, в общем-то, чудо: удивительно, например, что номер производного функтора совпадает с нашим интуитивным представлением о размерности полостей, которые им ухватываются)
Наблюдение: если X — неприводимое алгебраическое многообразие (которое мы рассматриваем с топологией Зарисского), то когомологии любого постоянного пучка на нём тривиальны,
H⁰(X,A)=A, Hⁿ(X,A)=0 при n>0.
(Из-за неприводимости любое непустое открытое подмножество связно, поэтому этот пучок будет вялым (flabby, или flasque), то есть все отображения ограничения сюръективны; а когомологии вялого пучка тривиальны)
------------
Этальные когомологии ("когомологии этальных пучков") считаются по той же схеме и обозначаются H*(X_et,F). (Обозначение разумное: этальный пучок это всё-таки не "экзотический аналог пучка на X", а скорее "обычный пучок на пространстве X с этальной топологией вместо топологии Зарисского")
Теорема (Артин): если X — алгебраическое многообразие над C, то этальные когомологии H*(X_et,Z/nZ) изоморфны обычным когомологиям соответствующего комплексного многообразия, группе H*(X_an,Z/nZ).
То есть все группы гомологий комплексного многообразия можно (неканонически) восстановить методами алгебраической геометрии.
Более того, этальные когомологии хорошо себя ведут и для многообразий над полем характеристики p>0, если gcd(p,n)=1; вроде, для этого их и придумали
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Exponential_Collatz_Fractal.jpg
Видимо, множество Жюлиа* для
f(z):=z/2+(2z+1)(1-exp(πiz))/4.
Отметим, что f(n)=n/2 при чётных n и f(n)=(3n+1)/2 при нечётных.
*Множество таких z, что последовательность z, f(z), f(f(z)),..., ограничена
Осторожно, разрешение 30720x17280
Видимо, множество Жюлиа* для
f(z):=z/2+(2z+1)(1-exp(πiz))/4.
Отметим, что f(n)=n/2 при чётных n и f(n)=(3n+1)/2 при нечётных.
*Множество таких z, что последовательность z, f(z), f(f(z)),..., ограничена
Осторожно, разрешение 30720x17280
"creativity fails not only due to exterior (social) repression but largely due to the acceptance and interiorisation of this repression by each person."
https://www.landsburg.com/grothendieck/clef.pdf
https://www.landsburg.com/grothendieck/clef.pdf
Forwarded from н. кольский
Причем заметьте, ЕГА, СГА, записки семинара Анри Картана доступны в интернете. «Урожаи и посевы» доступны и даже напечатаны. Даже «Ключи снов» выложены в интернет. Работает целый институт. И только трактат о природе зла на 15 тысяч страниц, которые А.Г. писал последние двадцать лет своей жизни, выращивая в огороде кабачки и делая домашние настойки, до сих пор лежит где-то в архивах. Видимо, что-то там действительно интересное написано
#властискрывают
#властискрывают
сладко стянул
Причем заметьте, ЕГА, СГА, записки семинара Анри Картана доступны в интернете. «Урожаи и посевы» доступны и даже напечатаны. Даже «Ключи снов» выложены в интернет. Работает целый институт. И только трактат о природе зла на 15 тысяч страниц, которые А.Г. писал…
про природу зла см. https://www.theguardian.com/science/article/2024/aug/31/alexander-grothendieck-huawei-ai-artificial-intelligence
the Guardian
‘He was in mystic delirium’: was this hermit mathematician a forgotten genius whose ideas could transform AI – or a lonely madman?
In isolation, Alexander Grothendieck seemed to have lost touch with reality, but some say his metaphysical theories could contain wonders
сладко стянул
про администрацию факультета ничего не хочу сказать, они действуют в своих интересах а-ля "не выносите сор из избы".
а вот студсовету позор: они не просто не стали протестовать, а даже второй раз замалчивают тот факт что их представителя попросили заткнуться, и он смиренно согласился вопреки интересам студентов)
а вот студсовету позор: они не просто не стали протестовать, а даже второй раз замалчивают тот факт что их представителя попросили заткнуться, и он смиренно согласился вопреки интересам студентов)
сладко стянул
кстати, протоколы такого рода заседаний учёных советов обычно выкладывают в сеть (но, видимо, не студенты):
матфак ВШЭ https://math.hse.ru/protokol-US
МИАН (см. в архиве новостей: https://mi-ras.ru/index.php?c=news )
матфак ВШЭ https://math.hse.ru/protokol-US
МИАН (см. в архиве новостей: https://mi-ras.ru/index.php?c=news )
math.hse.ru
Протоколы заседаний Учёного совета
Протоколы заседаний Ученого совета факультета математики
Обсуждали с Димой расслоения над окружностью (aka торы гомеоморфных отображений), вроде как поняли что
(1) Спектралка Серра вырождается в такие вот симпатичные короткие точные последовательности
(2) У них не менее симпатичная геометрическая интерпретация: через левую стрелку факторизуется стандартный морфизм H_*(F) -> H_*(X), а правая стрелка — это "трансверсальное пересечение цикла со слоем"
(Обозначения: если группа G действует на модуле M, то
M^G := {m: g.m=m, ∀g} — подмодуль инвариантов,
M_G := M/span(g.m-m, ∀g,m) — фактормодуль коинвариантов.
Z — это фундаментальная группа окружности, которая действует на гомологиях слоя)
Про mapping tori и open book decompositions наука вообще глубокая,
https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/surgery/torus.pdf
https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/books/knot.pdf
есть ли в книжках формула с картинки? не знаю
(1) Спектралка Серра вырождается в такие вот симпатичные короткие точные последовательности
(2) У них не менее симпатичная геометрическая интерпретация: через левую стрелку факторизуется стандартный морфизм H_*(F) -> H_*(X), а правая стрелка — это "трансверсальное пересечение цикла со слоем"
(Обозначения: если группа G действует на модуле M, то
M^G := {m: g.m=m, ∀g} — подмодуль инвариантов,
M_G := M/span(g.m-m, ∀g,m) — фактормодуль коинвариантов.
Z — это фундаментальная группа окружности, которая действует на гомологиях слоя)
Про mapping tori и open book decompositions наука вообще глубокая,
https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/surgery/torus.pdf
https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/books/knot.pdf
есть ли в книжках формула с картинки? не знаю
[ALGTOP-L] Alexander Dumas and mathematics
For those unfamiliar with popular French literature, Alexandre Dumas (1802-1870) was the author of perennial best sellers such as The Three Musketeers and The Count of Monte Cristo, which have been the subject of many movies. French scholars have recently discovered a long lost manuscript of The Man in the Iron Mask, the last of his sequels to The Three Musketeers. It includes a subplot that is not in the published book.
In the 1660s, the aging D’Artagnan (the youngest of the four main characters in the story) has risen to a prominent position in the French military. He encounters a technical problem having to do with artillery trajectories that he does not know how to solve. He enlists the aid of his mathematically talented childhood friend Pierre de Fermat. (Readers of The Three Musketeers will recall that D’Artagnan, like Fermat, was born in Gascony, an area in the southwest of France, in 1607.) Fermat answers with a letter promising to reveal a marvelous solution the next time they meet. Unfortunately, he dies (in 1665) before this happens, and D’Artagnan himself is killed in battle in 1667.
Coming up next:
In 1829 Edmund Dantes, later known as the Count of Monte Cristo, escaped from a prison on a Mediterranean island off Marseilles, in which he had been held for 14 years on false charges. Soon after that he met the young Evariste Galois, possibly averting the latter’s tragic death in a duel in 1832 at the age of 20, to the great benefit of algebraic number theory.
Doug Ravenel
For those unfamiliar with popular French literature, Alexandre Dumas (1802-1870) was the author of perennial best sellers such as The Three Musketeers and The Count of Monte Cristo, which have been the subject of many movies. French scholars have recently discovered a long lost manuscript of The Man in the Iron Mask, the last of his sequels to The Three Musketeers. It includes a subplot that is not in the published book.
In the 1660s, the aging D’Artagnan (the youngest of the four main characters in the story) has risen to a prominent position in the French military. He encounters a technical problem having to do with artillery trajectories that he does not know how to solve. He enlists the aid of his mathematically talented childhood friend Pierre de Fermat. (Readers of The Three Musketeers will recall that D’Artagnan, like Fermat, was born in Gascony, an area in the southwest of France, in 1607.) Fermat answers with a letter promising to reveal a marvelous solution the next time they meet. Unfortunately, he dies (in 1665) before this happens, and D’Artagnan himself is killed in battle in 1667.
Coming up next:
In 1829 Edmund Dantes, later known as the Count of Monte Cristo, escaped from a prison on a Mediterranean island off Marseilles, in which he had been held for 14 years on false charges. Soon after that he met the young Evariste Galois, possibly averting the latter’s tragic death in a duel in 1832 at the age of 20, to the great benefit of algebraic number theory.
Doug Ravenel
Для пространства X рассмотрим конфигурационное пространство
F_n(X) := {(x1,..,xn) ∈ X^n: xi ≠ xj при i≠j},
("его точки — упорядоченные наборы n частиц, бегающих по X").
Часто также пишут Conf_n(X) вместо F_n(X), а пространство неупорядоченных наборов обозначают C_n(X) := Conf_n(X) / S_n. Буква F происходит от фамилии Fadell; это я узнал из обзора, который написал Kallel.)
Разумная гипотеза: если M и N — гомотопически эквивалентные многообразия, то F_n(M) и F_n(N) — тоже. (то есть "F_n(M) — гомотопический инвариант многообразия M")
Частичные подтверждения:
(1) Levitt, 1995: ΩF_n(M) — гомотопический инвариант. Если M 2-связно, то F_2(M) — гомотопический инвариант.
(2) Aouina-Klein, 2003: если M — r-связное d-мерное, то
Σ^N F_n(M) — гомотопический инвариант при N-2>(n-2)d-r.
Опровержение:
(3) Longoni-Salvatore, 2004: рассмотрим линзовые пространства M=L(7,1) и N=L(7,2). (Это гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные замкнутые трехмерные многообразия; оба — факторпространства S^3 по Z/7Z). Тогда F_n(M) и F_n(N) не гомотопически эквивалентны. При n=2 доказывается так:
односвязное накрытие над F_2(M) гомотопически эквивалентно букету шести копий S^3 x S^2;
односвязное накрытие над F_2(N) имеет нетривиальные произведения Масси в когомологиях.
F_n(X) := {(x1,..,xn) ∈ X^n: xi ≠ xj при i≠j},
("его точки — упорядоченные наборы n частиц, бегающих по X").
Часто также пишут Conf_n(X) вместо F_n(X), а пространство неупорядоченных наборов обозначают C_n(X) := Conf_n(X) / S_n. Буква F происходит от фамилии Fadell; это я узнал из обзора, который написал Kallel.)
Разумная гипотеза: если M и N — гомотопически эквивалентные многообразия, то F_n(M) и F_n(N) — тоже. (то есть "F_n(M) — гомотопический инвариант многообразия M")
Частичные подтверждения:
(1) Levitt, 1995: ΩF_n(M) — гомотопический инвариант. Если M 2-связно, то F_2(M) — гомотопический инвариант.
(2) Aouina-Klein, 2003: если M — r-связное d-мерное, то
Σ^N F_n(M) — гомотопический инвариант при N-2>(n-2)d-r.
Опровержение:
(3) Longoni-Salvatore, 2004: рассмотрим линзовые пространства M=L(7,1) и N=L(7,2). (Это гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные замкнутые трехмерные многообразия; оба — факторпространства S^3 по Z/7Z). Тогда F_n(M) и F_n(N) не гомотопически эквивалентны. При n=2 доказывается так:
односвязное накрытие над F_2(M) гомотопически эквивалентно букету шести копий S^3 x S^2;
односвязное накрытие над F_2(N) имеет нетривиальные произведения Масси в когомологиях.