сладко стянул
Берём cdga A, сдвигаем на n, дуализуем, берём прямую сумму с исходной, строим какое-то плюс-минус очевидное произведение на этой прямой сумме — и получаем алгебру P_n(A) с двойственностью Пуанкаре, геом. смысл которой ещё нормально не исследован! Но похоже на "когда мы вкладываем CW-комплекс X в R^n и берём границу его эпсилон-окрестности, то получается многообразие M". Типа, если A — модель для X, то P_n(A) — модель для M? (в статье это не доказано, потому что непосредственно не нужно — но хочется в это верить)
в итоге это доказали (препринт пока не опубликован)
https://arxiv.org/abs/2203.15098
ещё увидел-полистал прикольную статью Lambrechts, Stanley
https://arxiv.org/abs/math/0701309
где доказано: если (A,d) — cdga над полем k, такая что H(A,d) — односвязная алгебра Пуанкаре, то (A,d)~(A',d'), где (A',d') — односвязная dg-алгебра Пуанкаре. Рассуждение напоминает односвязную хирургию и заключается в убийстве сирот.
——————
Алгебра Пуанкаре (A,eps) над полем k: это градуированно-коммутативная алгебра A вместе с линейным отображением eps:A^n -> k таким, что
(a,b) -> eps(a*b)
задаёт невырожденное спаривание между A^i и A^{n-i}. (Пример: когомологии n-мерного многообразия.)
dg-алгебра Пуанкаре (A,d,eps): cdga (A,d) + алгебра Пуанкаре (A,eps), причём eps(d(x))=0 для всех x. (Тогда H(A,d) — тоже алгебра Пуанкаре.)
Вообще: если A — градуированно-коммутативная k-алгебра, eps:A^n -> k — какое-то линейное отображение, то можно определить множество сирот (orphans)
O:={a: eps(a*b)=0 для любого b}.
Это идеал, и A/O — алгебра Пуанкаре относительно индуцированной ориентации. (Аналогично для dg-алгебр Пуанкаре.)
———————-
Идея доказательства — убивать группы H^i(O) индукцией по размерности. (Когда мы убьём всё, стрелка A->A/O будет квази-изоморфизмом, и значит A/O будет искомой моделью.) На этих группах есть двойственность Пуанкаре, потому что на H(A) есть.
Для сравнения: в односвязной хирургии дано отображение многообразий f:M->N степени 1, и мы потихоньку убиваем группы K_i := Ker(H_i(M)->H_i(N)). На них есть двойственность Пуанкаре, потому что на M и N есть
https://arxiv.org/abs/2203.15098
ещё увидел-полистал прикольную статью Lambrechts, Stanley
https://arxiv.org/abs/math/0701309
где доказано: если (A,d) — cdga над полем k, такая что H(A,d) — односвязная алгебра Пуанкаре, то (A,d)~(A',d'), где (A',d') — односвязная dg-алгебра Пуанкаре. Рассуждение напоминает односвязную хирургию и заключается в убийстве сирот.
——————
Алгебра Пуанкаре (A,eps) над полем k: это градуированно-коммутативная алгебра A вместе с линейным отображением eps:A^n -> k таким, что
(a,b) -> eps(a*b)
задаёт невырожденное спаривание между A^i и A^{n-i}. (Пример: когомологии n-мерного многообразия.)
dg-алгебра Пуанкаре (A,d,eps): cdga (A,d) + алгебра Пуанкаре (A,eps), причём eps(d(x))=0 для всех x. (Тогда H(A,d) — тоже алгебра Пуанкаре.)
Вообще: если A — градуированно-коммутативная k-алгебра, eps:A^n -> k — какое-то линейное отображение, то можно определить множество сирот (orphans)
O:={a: eps(a*b)=0 для любого b}.
Это идеал, и A/O — алгебра Пуанкаре относительно индуцированной ориентации. (Аналогично для dg-алгебр Пуанкаре.)
———————-
Идея доказательства — убивать группы H^i(O) индукцией по размерности. (Когда мы убьём всё, стрелка A->A/O будет квази-изоморфизмом, и значит A/O будет искомой моделью.) На этих группах есть двойственность Пуанкаре, потому что на H(A) есть.
Для сравнения: в односвязной хирургии дано отображение многообразий f:M->N степени 1, и мы потихоньку убиваем группы K_i := Ker(H_i(M)->H_i(N)). На них есть двойственность Пуанкаре, потому что на M и N есть
arXiv.org
Poincaré dualization and Massey products
We study the rational homotopy theoretic and geometric properties of a construction which extends any cohomologically connected, finite type cdga to one satisfying cohomological Poincaré...
❤7💋5👍2
Иногда на архиве появляются препринты типа "теорема Гуревича в теории типов" что звучит комично — зачем вы её ещё раз доказали. (Не преувеличение.)
Но Дэн Кристенсен вроде убедил меня что это всё-таки не ерунда:
- то, что так доказано, проще формализовать и поэтому верифицировать
- то, что так доказано, верно в любом бесконечность-топосе (значит, гипотетически применимо в не-топологической теории гомотопий)
- есть вещи, которые верны не в любом бесконечность-топосе: например, теорема Уайтхеда (если она верна, говорят, что это hypercomplete topos). Цитируя HoTT Book, §8.8:
- нетривиальные бесконечность-топосы бывают и в топологии: например, что-то связанное с parametrized spectra (если я правильно понял, в каком-то таком контексте теорема Уайтхеда тоже бывает неверна — но инструментарий теории типов применим)
- иногда сам взгляд с точки зрения теории типов даёт новую интуицию, новую интерпретацию привычных объектов
(см. https://arxiv.org/abs/2301.02636, а лучше наверно файл в комментах — там всё на языке пространств)
- медитировать полезно для здоровья
Но Дэн Кристенсен вроде убедил меня что это всё-таки не ерунда:
- то, что так доказано, проще формализовать и поэтому верифицировать
- то, что так доказано, верно в любом бесконечность-топосе (значит, гипотетически применимо в не-топологической теории гомотопий)
- есть вещи, которые верны не в любом бесконечность-топосе: например, теорема Уайтхеда (если она верна, говорят, что это hypercomplete topos). Цитируя HoTT Book, §8.8:
From a foundational point of view, therefore, we may speak of Whitehead’s principle as a "classicality axiom", akin to LEM and AC. It may consistently be assumed, but it is not part of the computationally motivated type theory, nor does it hold in all natural models. But when working from set-theoretic foundations, this principle is invisible: it cannot fail to be true in a world where ∞-groupoids are built up out of sets (using topological spaces, simplicial sets, or any other such model).
- нетривиальные бесконечность-топосы бывают и в топологии: например, что-то связанное с parametrized spectra (если я правильно понял, в каком-то таком контексте теорема Уайтхеда тоже бывает неверна — но инструментарий теории типов применим)
- иногда сам взгляд с точки зрения теории типов даёт новую интуицию, новую интерпретацию привычных объектов
(см. https://arxiv.org/abs/2301.02636, а лучше наверно файл в комментах — там всё на языке пространств)
- медитировать полезно для здоровья
arXiv.org
Central H-spaces and banded types
We introduce and study central types, which are generalizations of Eilenberg-Mac Lane spaces. A type is central when it is equivalent to the component of the identity among its own...
💅13❤5❤🔥1👍1💋1
сладко стянул
совпало: как раз тоже хотел написать, что настоящую фундаментальную группу алгебраического многообразия (рассматриваемого в комплексной топологии) иногда нельзя восстановить алгебраически (несмотря на триумфы этальной топологии: мы умеем восстанавливать когомологии…
в чём-то похожее явление обсуждается в https://arxiv.org/abs/1906.04885 — там Porter и Suciu осмысляют "инвариант Рыбникова" в терминах "башен Постникова" для LCS-фильтраций на группах. А инвариант Рыбникова придуман, чтобы различать фундаментальные группы дополнений конфигураций гиперплоскостей.
Рассмотрим M(A) — дополнение до конечного набора A гиперплоскостей в С^n (проходящих через ноль). В докладе Sur les groupes de tresses (https://webhomes.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/brieskorn8.pdf) (семинар Бурбаки, 1971) Брискорн доказал гипотезу Арнольда: кольцо H*(M(A);Z) можно описать чисто в комбинаторных терминах — это функтор от решётки L(A). (Сейчас это кольцо известно как алгебра Орлика—Соломона, см. книжку Orlik, Terao "Arrangements of Hyperplanes").
Из доказательства Брискорна следует, что M(A) — рационально формальное пространство, то есть его рациональный гомотопический тип полностью определяется решёткой L(A). В частности, мальцевское пополнение группы π_1(M(A)) — тоже.
Так вот, Рыбников в 1994 году построил пример двух конфигураций A и B таких, что L(A)=L(B), но π_1(M(A))≠π_1(M(B)). Это 13 прямых в CP^2, то есть все равно что 13 гиперплоскостей в C^3.
(опубликовано в 2011, https://doi.org/10.4213/faa3025)
Инвариант, который различает фундаментальные группы, живёт на G/γ_4(G) и можно построить в терминах тройного произведения Масси на первых когомологиях, см. https://arxiv.org/abs/math/9805061
Рассмотрим M(A) — дополнение до конечного набора A гиперплоскостей в С^n (проходящих через ноль). В докладе Sur les groupes de tresses (https://webhomes.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/brieskorn8.pdf) (семинар Бурбаки, 1971) Брискорн доказал гипотезу Арнольда: кольцо H*(M(A);Z) можно описать чисто в комбинаторных терминах — это функтор от решётки L(A). (Сейчас это кольцо известно как алгебра Орлика—Соломона, см. книжку Orlik, Terao "Arrangements of Hyperplanes").
Из доказательства Брискорна следует, что M(A) — рационально формальное пространство, то есть его рациональный гомотопический тип полностью определяется решёткой L(A). В частности, мальцевское пополнение группы π_1(M(A)) — тоже.
Так вот, Рыбников в 1994 году построил пример двух конфигураций A и B таких, что L(A)=L(B), но π_1(M(A))≠π_1(M(B)). Это 13 прямых в CP^2, то есть все равно что 13 гиперплоскостей в C^3.
(опубликовано в 2011, https://doi.org/10.4213/faa3025)
Инвариант, который различает фундаментальные группы, живёт на G/γ_4(G) и можно построить в терминах тройного произведения Масси на первых когомологиях, см. https://arxiv.org/abs/math/9805061
arXiv.org
Homology, lower central series, and hyperplane arrangements
We explore finitely generated groups by studying the nilpotent towers and the various Lie algebras attached to such groups. Our main goal is to relate an isomorphism extension problem in the...
👍7❤4👌2💋1🆒1
сладко стянул
Это 13 прямых в CP^2, то есть все равно что 13 гиперплоскостей в C^3.
Конструкция у этих 13 прямых такая.
Рассмотрим 8-элементный матроид Маклейна
ML=F_3 x F_3 \ {(0,0)}.
Это проколотая плоскость над трёхэлементным полем F_3 = {0,1,2}. Про любой поднабор в ML можно сказать, лежат эти точки на одной (аффинной) прямой или нет.
Факт: на CP^2 можно выбрать восемь прямых так, что: набор прямых имеет общую точку <=> соответствующие им элементы ML лежат на одной прямой над F_3.
На картинке приведена такая конфигурация C. Прямые заданы довольно приятными координатами, в которых фигурирует ω — кубический корень из единицы. (Любая другая конфигурация на самом деле ей проективно эквивалентна, но нам это не понадобится.)
Чтоб получить пример Рыбникова, надо "склеить" две такие конфигурации по первым трём прямым. Конкретнее: так как ω можно выбрать двумя способами, у нас есть "две реализации с приятными координатами": C+ и C-. Выберем в общем положении проективное отображение ψ:CP^2->CP^2, которое оставляет первые три прямые на месте. Примеры Рыбникова — это A:=C+⋃ψ(С+) и B:=C+⋃ψ(С-).
Рассмотрим 8-элементный матроид Маклейна
ML=F_3 x F_3 \ {(0,0)}.
Это проколотая плоскость над трёхэлементным полем F_3 = {0,1,2}. Про любой поднабор в ML можно сказать, лежат эти точки на одной (аффинной) прямой или нет.
Факт: на CP^2 можно выбрать восемь прямых так, что: набор прямых имеет общую точку <=> соответствующие им элементы ML лежат на одной прямой над F_3.
На картинке приведена такая конфигурация C. Прямые заданы довольно приятными координатами, в которых фигурирует ω — кубический корень из единицы. (Любая другая конфигурация на самом деле ей проективно эквивалентна, но нам это не понадобится.)
Чтоб получить пример Рыбникова, надо "склеить" две такие конфигурации по первым трём прямым. Конкретнее: так как ω можно выбрать двумя способами, у нас есть "две реализации с приятными координатами": C+ и C-. Выберем в общем положении проективное отображение ψ:CP^2->CP^2, которое оставляет первые три прямые на месте. Примеры Рыбникова — это A:=C+⋃ψ(С+) и B:=C+⋃ψ(С-).
👍5❤🔥1💋1
Эксклюзив для подписчиков: передний край науки*, early access к неопубликованным работам конспект трёх лекций Оскара Рэндала-Уильямса о взгляде на явление гомологической стабильности с точки зрения хроматической теории гомотопий. Изложение немного вольное и отражает моё (не)понимание ситуации.
*Эти результаты, видимо, ещё нигде не написаны! P.S. см. ниже
Видеозаписи:
https://youtu.be/nmTaMhhS8KM
https://youtu.be/1PKDaoUwGxg
https://youtu.be/GomeUD6hOlY
Видеозаписи:
https://youtu.be/nmTaMhhS8KM
https://youtu.be/1PKDaoUwGxg
https://youtu.be/GomeUD6hOlY
🔥8🤯1💋1
Рэндал_Уильямс_Филдс_2025.pdf
480.9 KB
"Хроматический подход к гомологической стабильности" (14-16 июля 2025, Fields Institute)
⚡8💋2
а как вы переводите
0) stalk (of a sheaf)
1) (un)stable stems (of homotopy groups)
2) gerbe (on a topological space)
3) linear strand (of a minimal free resolution)
?
0) stalk (of a sheaf)
1) (un)stable stems (of homotopy groups)
2) gerbe (on a topological space)
3) linear strand (of a minimal free resolution)
?
💋2❤1
https://arxiv.org/abs/2507.15004
топология локально стандартных действий тора сложности ноль — окончательно не лес, а парк
...но редко кто-то заходит в него дальше квазиторических многообразий (случая, когда многообразие с углами диффеоморфно выпуклому многограннику): потому что большинство важных примеров — геометрические, а в симплектической геометрии есть теорема выпуклости для отображения моментов
топология локально стандартных действий тора сложности ноль — окончательно не лес, а парк
...но редко кто-то заходит в него дальше квазиторических многообразий (случая, когда многообразие с углами диффеоморфно выпуклому многограннику): потому что большинство важных примеров — геометрические, а в симплектической геометрии есть теорема выпуклости для отображения моментов
arXiv.org
Classification of locally standard torus actions
An action of a torus T on a manifold M is locally standard if, at each point, the stabilizer is a sub-torus and the non-zero isotropy weights are a basis to its weight lattice. The quotient M/T is...
🤔3💋2🔥1
Forwarded from Математическая свалка Сепы (Sergei)
Хочу предложить вам послушать песню "Only Yau" о филдсовском лауреате профессоре Яу, которой он поделился в общем чате нашего института.
Перевод на русский (google переводчик):
В тумане дифференциальной геометрии, Яу,
Ты прорываешься, словно рассвет.
Своей мудростью ты победил гипотезу Калаби,
И медаль Филдса свидетельствует о твоей славе и гордости.
Ты стал пионером геометрического анализа,
И многообразие Калаби-Яу – твой шедевр.
Яу, твоё имя ярко сияет в математическом мире,
Словно вечно угасающая звезда.
Только Яу, ты – Император Математики.
Ты стоишь один на вершине дифференциальной геометрии.
Яу, твоя мудрость подобна океану,
И геометрический анализ становится ещё более ярким благодаря тебе.
Прокладывая путь в лабиринте чисел,
Ты используешь свою мудрость,
Чтобы отпирать один замок за другим.
Яу, твои достижения величественны, как горы и реки,
Оставив глубокий след в истории математики.
Твоё имя выгравировано в храме математики,
А твоя мудрость – маяк и путеводитель для тех,
Кто придёт после тебя.
Яу, ты не только Император Математики,
Но и вечный герой и образец для подражания в наших сердцах. Геометрический анализ сияет ярче благодаря тебе.
Яу, каждый твой шаг покоится на фундаменте истины.
Твоё имя навсегда останется в памяти,
Твоё сияние струится по долгой реке математики.
Только Яу, ты – Император Математики.
Ты один создал легенду дифференциальной геометрии.
Яу, твоя мудрость подобна звезде, и геометрический анализ сияет ещё ярче благодаря тебе.
Яу, Яу, твоё имя будут воспевать вечно.
В мире математики ты самый ослепительный.
Только Яу, мы будем вечно петь тебе хвалу.
Яу, ты – Император Математики в наших сердцах.
——————————
Оригинальный китайский текст:
在微分几何的迷雾里，Yau，你如光破晓，卡拉比猜想，你以智慧征服，菲尔兹奖章，见证你的荣耀与骄傲。几何分析，你开创先河，Calabi-Yau manifold，是你的杰作，Yau，你的名字，在数学界闪烁，如星辰般璀璨，永不凋落。Only Yau，你是数学皇帝，微分几何的巅峰，你独自屹立。Yau，你的智慧如海，几何分析，因你而更加精彩。在数字的迷宫中穿梭，你用智慧，解开一道道锁，Yau，你的成就，如山川般巍峨，在数学的历史上，留下浓墨重彩的一笔。你的名字，被镌刻在数学的殿堂，你的智慧，是后来者的灯塔与方向，Yau，你不仅是数学皇帝，更是我们心中，永远的英雄与榜样。几何分析，因你而更加辉煌，Yau，你的每一步，都踏在真理的基石上，你的名字，将永远被铭记，在数学的长河中，流淌着你的光芒。Only Yau，你是数学皇帝，微分几何的传奇，你独自书写。Yau，你的智慧如星，几何分析，因你而更加闪耀。Yau，Yau，你的名字永传唱，在数学的世界里，你最耀眼。Only Yau，我们永远歌颂你，Yau，你是我们心中的数学皇帝。
Перевод на русский (google переводчик):
В тумане дифференциальной геометрии, Яу,
Ты прорываешься, словно рассвет.
Своей мудростью ты победил гипотезу Калаби,
И медаль Филдса свидетельствует о твоей славе и гордости.
Ты стал пионером геометрического анализа,
И многообразие Калаби-Яу – твой шедевр.
Яу, твоё имя ярко сияет в математическом мире,
Словно вечно угасающая звезда.
Только Яу, ты – Император Математики.
Ты стоишь один на вершине дифференциальной геометрии.
Яу, твоя мудрость подобна океану,
И геометрический анализ становится ещё более ярким благодаря тебе.
Прокладывая путь в лабиринте чисел,
Ты используешь свою мудрость,
Чтобы отпирать один замок за другим.
Яу, твои достижения величественны, как горы и реки,
Оставив глубокий след в истории математики.
Твоё имя выгравировано в храме математики,
А твоя мудрость – маяк и путеводитель для тех,
Кто придёт после тебя.
Яу, ты не только Император Математики,
Но и вечный герой и образец для подражания в наших сердцах. Геометрический анализ сияет ярче благодаря тебе.
Яу, каждый твой шаг покоится на фундаменте истины.
Твоё имя навсегда останется в памяти,
Твоё сияние струится по долгой реке математики.
Только Яу, ты – Император Математики.
Ты один создал легенду дифференциальной геометрии.
Яу, твоя мудрость подобна звезде, и геометрический анализ сияет ещё ярче благодаря тебе.
Яу, Яу, твоё имя будут воспевать вечно.
В мире математики ты самый ослепительный.
Только Яу, мы будем вечно петь тебе хвалу.
Яу, ты – Император Математики в наших сердцах.
——————————
Оригинальный китайский текст:
在微分几何的迷雾里，Yau，你如光破晓，卡拉比猜想，你以智慧征服，菲尔兹奖章，见证你的荣耀与骄傲。几何分析，你开创先河，Calabi-Yau manifold，是你的杰作，Yau，你的名字，在数学界闪烁，如星辰般璀璨，永不凋落。Only Yau，你是数学皇帝，微分几何的巅峰，你独自屹立。Yau，你的智慧如海，几何分析，因你而更加精彩。在数字的迷宫中穿梭，你用智慧，解开一道道锁，Yau，你的成就，如山川般巍峨，在数学的历史上，留下浓墨重彩的一笔。你的名字，被镌刻在数学的殿堂，你的智慧，是后来者的灯塔与方向，Yau，你不仅是数学皇帝，更是我们心中，永远的英雄与榜样。几何分析，因你而更加辉煌，Yau，你的每一步，都踏在真理的基石上，你的名字，将永远被铭记，在数学的长河中，流淌着你的光芒。Only Yau，你是数学皇帝，微分几何的传奇，你独自书写。Yau，你的智慧如星，几何分析，因你而更加闪耀。Yau，Yau，你的名字永传唱，在数学的世界里，你最耀眼。Only Yau，我们永远歌颂你，Yau，你是我们心中的数学皇帝。
小红书
Only Yau歌词重制版 - 小红书
3 亿人的生活经验，都在小红书
😁11❤6🗿5🍾2💋2🎃2💅2❤🔥1
Кстати сейчас люди "застряли" где-то в районе 93-й стабильной г.г.с. Число 93 можно понимать как "приблизительно три четверти от 128".
Можно предположить что в следующий раз человечество застрянет в районе трёх четвертей от 256, то есть ~192. Правда, инвариант Кервера нетривиален в размерностях 2,6,14,30,62 и 126, но начиная с 254 уже тривиален — так что не всё так однозначно. А ещё спектр tmf 192-периодичен. Что бы это значило
Можно предположить что в следующий раз человечество застрянет в районе трёх четвертей от 256, то есть ~192. Правда, инвариант Кервера нетривиален в размерностях 2,6,14,30,62 и 126, но начиная с 254 уже тривиален — так что не всё так однозначно. А ещё спектр tmf 192-периодичен. Что бы это значило
💋5
сладко стянул
On Wed, Feb 19, 2025 at 10:16 AM "John R. Klein" <[email protected]> wrote: Sad News about Bill Browder... ---------- Forwarded message --------- From: Bjørn Jahren <[email protected]> Date: Wed, Feb 19, 2025 at 7:26 AM Subject: To: John R. Klein…
From: W Stephen Wilson <[email protected]>
To: algebraic topology list <[email protected]>
Cc: W Stephen Wilson <[email protected]>
Subject: [ALGTOP-L] Jack Morava
Date: Fri, 1 Aug 2025 09:09:06 -0400
It is with great sadness that I pass on the news from Lili that
Jack Morava passed away early this morning.
There are no words.
Steve
- - - - - - - - - - - - - - - - -
Nick Kuhn:
This is sad news. He was very frail in recent years.
Dev Sinha:
To be perhaps too philosophical… I not only felt blessed to know Jack, the joy of work with such an intellect being at the heart of why I pursue academics. But I also see our ability to nurture and be nurtured by intellects such as his as validation of the academic ideal.
There will not be another like him.
(истории и воспоминания — в комментариях)
To: algebraic topology list <[email protected]>
Cc: W Stephen Wilson <[email protected]>
Subject: [ALGTOP-L] Jack Morava
Date: Fri, 1 Aug 2025 09:09:06 -0400
It is with great sadness that I pass on the news from Lili that
Jack Morava passed away early this morning.
There are no words.
Steve
- - - - - - - - - - - - - - - - -
Nick Kuhn:
This is sad news. He was very frail in recent years.
Dev Sinha:
To be perhaps too philosophical… I not only felt blessed to know Jack, the joy of work with such an intellect being at the heart of why I pursue academics. But I also see our ability to nurture and be nurtured by intellects such as his as validation of the academic ideal.
There will not be another like him.
(истории и воспоминания — в комментариях)
😭17🫡9😢4💋1
(from Doug's archive)
Jack Morava, The moduli variety for formal groups (1972) —- unpublished but shown here with the Jack's permission after he found a copy of it 50 years later. This may be the earliest account of the ideas that led to chromatic homotopy theory. It describes what is now known as the moduli stack of formal groups. It is reviewed in my Glasgow lecture of May 24, 2022 (slides, recording). This version is John Rognes' transcription of the original photocopy
(наверно, лекция Рэвенела 2024 года более актуальна, хотя и не такая элементарная: слайды, запись)
Jack Morava, The moduli variety for formal groups (1972) —- unpublished but shown here with the Jack's permission after he found a copy of it 50 years later. This may be the earliest account of the ideas that led to chromatic homotopy theory. It describes what is now known as the moduli stack of formal groups. It is reviewed in my Glasgow lecture of May 24, 2022 (slides, recording). This version is John Rognes' transcription of the original photocopy
(наверно, лекция Рэвенела 2024 года более актуальна, хотя и не такая элементарная: слайды, запись)
❤4💋1
А много вы знаете анонимных статей?
В трудах конференции в честь 60-летия S.Gitler'а опубликована
Once in class with Sam
BY ONE OF HIS STUDENTS AT CINVESTAV.
Официально её автор — Anonymous, хотя надеюсь хоть кто-нибудь попытался процитировать её в духе
[1] B. O. H. S. A. Cinvestav, Once in class with Sam. In: Homotopy Theory and Its Applications (Cocoyoc, 1993), A. Adem, R. J. Milgram, D. C. Ravenel, eds, 25-28. Contemp. Math. 188, American Mathematical Society, Providence, RI, 1995.
В трудах конференции в честь 60-летия S.Gitler'а опубликована
Once in class with Sam
BY ONE OF HIS STUDENTS AT CINVESTAV.
Официально её автор — Anonymous, хотя надеюсь хоть кто-нибудь попытался процитировать её в духе
[1] B. O. H. S. A. Cinvestav, Once in class with Sam. In: Homotopy Theory and Its Applications (Cocoyoc, 1993), A. Adem, R. J. Milgram, D. C. Ravenel, eds, 25-28. Contemp. Math. 188, American Mathematical Society, Providence, RI, 1995.
💯7🔥3❤🔥2💋1
Там вот что. Скажем, что m-мерное (вещественное) векторное расслоение ξ имеет геометрическую размерность не более d, если оно стабильно эквивалентно d-мерному расслоению. (Иными словами, если существует d-мерное расслоение η и число N такое, что расслоения ξ⊕R^d⊕R^N и η⊕R^m⊕R^N изоморфны. Эквивалентно, если классифицирующее отображение X->BO для класса [ξ] в приведённой KO-теории пропускается через BO(d). Понятие введено в статье Атьи Immersions and embeddings of manifolds, и, видимо, широко известно в узких кругах. Ключевые имена: D.M.Davis, S.Gitler, M.E.Mahowald)
Так вот, один из студентов S. Gitler'а пишет:
«Once, twenty years ago at the end of a session, Sam said: "A ver que pueden hacer con estas cochinadas. Hay un monton de coincidencias de grupos de homotopia que se anulan." Then he gave us a proof of the following proposition.
Proposition 1. The geometric dimension of 36 times the Hopf bundle over the projective space P^10 is greater than 5. In symbols, gd(36ξ_10) > 5.
As far as I know, this is the only known proof of this fact.»
(Такого рода вопросы нужны, чтобы изучать погружения проективных пространств. А именно, из теории Смейла—Хирша выводится, что следующие утверждения эквивалентны:
- RP^n погружается в R^m;
- gd(-(n+1)ξ_n) ≤ m-n;
- gd((m+1)ξ_n) ≤ m-n.
См. Sanderson "A non-immersion theorem for real projective space". Не знаю, какой геометрический смысл у Proposition 1)
Так вот, один из студентов S. Gitler'а пишет:
«Once, twenty years ago at the end of a session, Sam said: "A ver que pueden hacer con estas cochinadas. Hay un monton de coincidencias de grupos de homotopia que se anulan." Then he gave us a proof of the following proposition.
Proposition 1. The geometric dimension of 36 times the Hopf bundle over the projective space P^10 is greater than 5. In symbols, gd(36ξ_10) > 5.
As far as I know, this is the only known proof of this fact.»
(Такого рода вопросы нужны, чтобы изучать погружения проективных пространств. А именно, из теории Смейла—Хирша выводится, что следующие утверждения эквивалентны:
- RP^n погружается в R^m;
- gd(-(n+1)ξ_n) ≤ m-n;
- gd((m+1)ξ_n) ≤ m-n.
См. Sanderson "A non-immersion theorem for real projective space". Не знаю, какой геометрический смысл у Proposition 1)
❤3❤🔥1💋1