Премьера проекта «Математические этюды» — фильм «Псевдосфера: поверхность постоянной отрицательной кривизны» https://etudes.ru/models/pseudosphere-constant-negative-curvature/ , в котором представлена механическая интерпретация понятия поверхности постоянной гауссовой кривизны.
Для двух простейших примеров поверхностей постоянной гауссовой кривизны — плоскости (нулевая гауссова кривизна) и сферы (положительная гауссова кривизна равная 1/R^2) — очевидно, что кусочек поверхности можно двигать по самой поверхности, вращать, и он всегда будет прилегать к поверхности.
Псевдосфера — поверхность Бельтрами — является поверхностью постоянной отрицательной гауссовой кривизны, реализующей в трёхмерном пространстве геометрию плоскости Лобачевского. В случае псевдосферы без математических знаний кажется совершенно удивительным, что пластинку можно перемещать по поверхности и даже вращать https://www.group-telegram.com/EtudesRu.com/767 !
Описанная модель, изготовленная на рубеже XIX—XX веков, как тогда было принято, из гипса, хранится в Музее Николая Ивановича Лобачевского Казанского федерального университета. Деревянная модель, с которой можно проводить эксперименты, находится в лаборатории популяризации и пропаганды математики Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук.
Для двух простейших примеров поверхностей постоянной гауссовой кривизны — плоскости (нулевая гауссова кривизна) и сферы (положительная гауссова кривизна равная 1/R^2) — очевидно, что кусочек поверхности можно двигать по самой поверхности, вращать, и он всегда будет прилегать к поверхности.
Псевдосфера — поверхность Бельтрами — является поверхностью постоянной отрицательной гауссовой кривизны, реализующей в трёхмерном пространстве геометрию плоскости Лобачевского. В случае псевдосферы без математических знаний кажется совершенно удивительным, что пластинку можно перемещать по поверхности и даже вращать https://www.group-telegram.com/EtudesRu.com/767 !
Описанная модель, изготовленная на рубеже XIX—XX веков, как тогда было принято, из гипса, хранится в Музее Николая Ивановича Лобачевского Казанского федерального университета. Деревянная модель, с которой можно проводить эксперименты, находится в лаборатории популяризации и пропаганды математики Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук.
etudes.ru
Псевдосфера: поверхность постоянной отрицательной кривизны / Модели // Математические этюды
Механическая интерпретация постоянства гауссовой кривизны псевдосферы.
«Топологический человек», сцепивший пальцы, — сфера с двумя ручками. Может ли он, не расцепляя пальцы, расцепить руки при помощи гладкой деформации? На первый взгляд нет. Однако, такая изотопия есть — вот известный рисунок Анатолия Тимофеевича Фоменко https://etudes.ru/etudes/unlacing-fingers/ . На сайте кафедры «Дифференциальной геометрии и приложений» механико-математического факультета МГУ можно найти и другие его картины.
Заметим, что брюки никоим образом не мешают расцеплению пальцев и хорошо сидят после расцепления. Но если «топологический человек» наденет пиджак, то после расцепления пальцев выглядеть он будет странно. Вот статья «Амёба… в пиджаке» из журнала «Квант», рассказывающая историю с Международного математического конгресса 1966 года в Москве. А вот эта же идея, но с часами, в рисунке А.Т. Фоменко.
Заметим, что брюки никоим образом не мешают расцеплению пальцев и хорошо сидят после расцепления. Но если «топологический человек» наденет пиджак, то после расцепления пальцев выглядеть он будет странно. Вот статья «Амёба… в пиджаке» из журнала «Квант», рассказывающая историю с Международного математического конгресса 1966 года в Москве. А вот эта же идея, но с часами, в рисунке А.Т. Фоменко.
В проекте «Математические этюды» – новый раздел «Игротеки» https://etudes.ru/mathgrounds/ !
В разделе будет собираться опыт «станций», активностей, которые можно организовывать при проведении фестивалей математики. В частности, устраивая не просто олимпиады, не просто занятия по математике, а именно математические праздники. Какие-то станции более математические, какие-то менее, какие-то проще в реализации, какие-то сложнее. Можно выбирать по вкусу и по возможностям.
Представленные идеи можно использовать и просто на кружках и уроках математики.
Как обычно, наполнение будет постепенным, постараемся указывать и техническую информацию, необходимую для организаторов мероприятий. А первые идеи – уже на сайте.
В разделе будет собираться опыт «станций», активностей, которые можно организовывать при проведении фестивалей математики. В частности, устраивая не просто олимпиады, не просто занятия по математике, а именно математические праздники. Какие-то станции более математические, какие-то менее, какие-то проще в реализации, какие-то сложнее. Можно выбирать по вкусу и по возможностям.
Представленные идеи можно использовать и просто на кружках и уроках математики.
Как обычно, наполнение будет постепенным, постараемся указывать и техническую информацию, необходимую для организаторов мероприятий. А первые идеи – уже на сайте.
etudes.ru
Игротеки // Математические этюды
Активности, сопровождающие математические мероприятия
В преддверии Дня математика, отмечающегося теперь в России в день рождения Николая Ивановича Лобачевского (1 декабря; по старому стилю – 20 ноября 1792 года), представляем серию плакатов Три геометрии: сходства и различия https://etudes.ru/etudes/Euclidean-spherical-Lobachevskian-geometries/ .
Пятый постулат Евклида равносилен утверждению, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Если пятый постулат не выполняется, то возможны две ситуации. Через точку, не лежащую на прямой, нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной. Получается сферическая геометрия. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной. Получается геометрия Лобачевского.
На плакатах коротко и наглядно демонстрируются сходства и различия между этими тремя геометриями. Представленные плакаты можно скачать и распечатать на бумаге формата «А». Минимальный размер – листы А3.
Пятый постулат Евклида равносилен утверждению, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Если пятый постулат не выполняется, то возможны две ситуации. Через точку, не лежащую на прямой, нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной. Получается сферическая геометрия. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной. Получается геометрия Лобачевского.
На плакатах коротко и наглядно демонстрируются сходства и различия между этими тремя геометриями. Представленные плакаты можно скачать и распечатать на бумаге формата «А». Минимальный размер – листы А3.
etudes.ru
Три геометрии: сходства и различия / Этюды // Математические этюды
Серия плакатов, демонстрирующих сходства и различия трёх геометрий — евклидовой, сферической и геометрии Лобачевского.
Как ни странно, но даже чёткое определение, казалось бы, такого простого объекта, как многогранник, является не такой простой задачей. Желающим разобраться предлагаем посмотреть брошюру классика этой темы – Николай Петровича Долбилина – «Жемчужины теории многогранников».
Определения вершины многогранника можно давать разные. Но главной характеристикой вершины выпуклого многогранника является «недостаток угла» в этой точке https://etudes.ru/etudes/polyhedron-vertices/ .
Определения вершины многогранника можно давать разные. Но главной характеристикой вершины выпуклого многогранника является «недостаток угла» в этой точке https://etudes.ru/etudes/polyhedron-vertices/ .
etudes.ru
Вершины многогранника / Этюды // Математические этюды
Характеристика вершин выпуклого многогранника.
В продолжение темы неевклидовой геометрии предлагаем погрузиться в неё с помощью красивой интерактивной модели «Геометрия Лобачевского: интерактивная модель Пуанкаре в круге» https://etudes.ru/etudes/Lobachevskian-geometry-Poincare-disk-model/ .
Точки и прямые можно двигать! А прошедшие сквозь геометрию Лобачевского до конца сюжета смогут построить свой гиперболический калейдоскоп!
Приятно преподнести этот красивый подарок всем, urbi et orbi, в день 25-летнего юбилея глубокого математика и удивительного человека, деятельно участвующего в жизни нашей лаборатории популяризации и пропаганды математики Математического института им. В.А. Стеклова РАН.
Точки и прямые можно двигать! А прошедшие сквозь геометрию Лобачевского до конца сюжета смогут построить свой гиперболический калейдоскоп!
Приятно преподнести этот красивый подарок всем, urbi et orbi, в день 25-летнего юбилея глубокого математика и удивительного человека, деятельно участвующего в жизни нашей лаборатории популяризации и пропаганды математики Математического института им. В.А. Стеклова РАН.
etudes.ru
Геометрия Лобачевского: интерактивная модель Пуанкаре в круге / Этюды // Математические этюды
Введение в геометрию Лобачевского с использованием интерактивной модели Пуанкаре в круге.
Наступает новый, 2025 год!
«Понимаете, у нас традиция, 31 декабря каждый год мы с друзьями …», проверяем арифметику очередного номера года https://vk.com/etudesru?w=wall-192547232_3379 .
Число 2025 одновременно представимо и как квадрат суммы последовательных чисел, и как сумма кубов этих же чисел:
2025=(1+2+3+…+9)^2=1^3+2^3+3^3+…+9^3.
Предыдущие года, которые обладают таким свойством, — это 784 и 1296, а следующие будут тоже не скоро — 3025 и 4356.
Легко заметить, что число 2025 является квадратом нечётного числа: 2025=45^2. Предыдущие нечётные квадраты — это 1681 и 1849, а следующие — 2209 и 2401.
Но всё это не главное. Главное — чтобы год был счастливым!
«Понимаете, у нас традиция, 31 декабря каждый год мы с друзьями …», проверяем арифметику очередного номера года https://vk.com/etudesru?w=wall-192547232_3379 .
Число 2025 одновременно представимо и как квадрат суммы последовательных чисел, и как сумма кубов этих же чисел:
2025=(1+2+3+…+9)^2=1^3+2^3+3^3+…+9^3.
Предыдущие года, которые обладают таким свойством, — это 784 и 1296, а следующие будут тоже не скоро — 3025 и 4356.
Легко заметить, что число 2025 является квадратом нечётного числа: 2025=45^2. Предыдущие нечётные квадраты — это 1681 и 1849, а следующие — 2209 и 2401.
Но всё это не главное. Главное — чтобы год был счастливым!
https://etudes.ru/etudes/Dandelin-spheres/
Шары касаются эллипса в его фокусах!
С наступающим Новым годом! Счастья, тепла, радости и, конечно, новых интересных математических сюжетов, а кому-то — и новых хороших теорем!
Шары касаются эллипса в его фокусах!
С наступающим Новым годом! Счастья, тепла, радости и, конечно, новых интересных математических сюжетов, а кому-то — и новых хороших теорем!
В сюжете «Геометрия Лобачевского: интерактивная модель Пуанкаре в круге»
https://etudes.ru/etudes/Lobachevskian-geometry-Poincare-disk-model/
появились новые возможности.
Калейдоскоп одинаковых правильных многоугольников можно строить так, чтобы в центре абсолюта был центр одного из многоугольников, а можно таким образом, чтобы в центре абсолюта находилась вершина замощения.
И в том, и в другом случае получившиеся картины теперь можно сохранить в векторном формате PDF!
Напомним и о цикле гравюр Маурица Эшера «Circle Limit».
https://etudes.ru/etudes/Lobachevskian-geometry-Poincare-disk-model/
появились новые возможности.
Калейдоскоп одинаковых правильных многоугольников можно строить так, чтобы в центре абсолюта был центр одного из многоугольников, а можно таким образом, чтобы в центре абсолюта находилась вершина замощения.
И в том, и в другом случае получившиеся картины теперь можно сохранить в векторном формате PDF!
Напомним и о цикле гравюр Маурица Эшера «Circle Limit».
В рамках проведения Математического праздника 2025 года
olympiads.mccme.ru/matprazdnik/
иногородние участники (и сопровождающие их взрослые) приглашаются на экскурсию в Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук и его лабораторию популяризации и пропаганды математики.
Экскурсии планируется провести (в зависимости от количества поступивших заявок):
15 февраля (суббота), с 13 до 15 часов;
15 февраля (суббота), с 16 до 18 часов;
16 февраля (воскресенье), с 17 до 19 часов.
Адрес: Москва, ул. Губкина, д. 8.
Обязательная запись на экскурсии: [email protected] . В письме просьба указывать город, количество участников и их класс, количество сопровождающих, телефон для связи в день экскурсии.
Экскурсии проводятся в выходные дни, поэтому специально для участников вход на территорию института с улицы Губкина будет открываться за полчаса до начала экскурсии, и будет закрываться с её началом. Не опаздывайте!
По опыту прошлых лет – дети, более младшие, чем участники Матпраздника, очень сильно отвлекают весь зал и мешают обсуждению. Просьба приходить только участникам Математического праздника и сопровождающим их взрослым.
Общее пожелание для иногородних групп. Математика – это хорошо, но в жизни есть не только она. Сводите приехавших детей в московские музеи!
Информация про экскурсии для москвичей: https://vk.com/etudesru?w=wall-192547232_3109 .
olympiads.mccme.ru/matprazdnik/
иногородние участники (и сопровождающие их взрослые) приглашаются на экскурсию в Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук и его лабораторию популяризации и пропаганды математики.
Экскурсии планируется провести (в зависимости от количества поступивших заявок):
15 февраля (суббота), с 13 до 15 часов;
15 февраля (суббота), с 16 до 18 часов;
16 февраля (воскресенье), с 17 до 19 часов.
Адрес: Москва, ул. Губкина, д. 8.
Обязательная запись на экскурсии: [email protected] . В письме просьба указывать город, количество участников и их класс, количество сопровождающих, телефон для связи в день экскурсии.
Экскурсии проводятся в выходные дни, поэтому специально для участников вход на территорию института с улицы Губкина будет открываться за полчаса до начала экскурсии, и будет закрываться с её началом. Не опаздывайте!
По опыту прошлых лет – дети, более младшие, чем участники Матпраздника, очень сильно отвлекают весь зал и мешают обсуждению. Просьба приходить только участникам Математического праздника и сопровождающим их взрослым.
Общее пожелание для иногородних групп. Математика – это хорошо, но в жизни есть не только она. Сводите приехавших детей в московские музеи!
Информация про экскурсии для москвичей: https://vk.com/etudesru?w=wall-192547232_3109 .
olympiads.mccme.ru
Математический праздник