Notice: file_put_contents(): Write of 13865 bytes failed with errno=28 No space left on device in /var/www/group-telegram/post.php on line 50 Математические байки | Telegram Webview: mathtabletalks/4645 -
А что будет, если мы попробуем то же самое доказательство провести на сфере? (Где сумма углов треугольника уже не π — скажем, там есть равносторонний прямоугольный треугольник с тремя прямыми углами!)
Проблема будет в том, что у нас уже нет параллельного переноса, позволяющего отождествить касательные плоскости в разных точках сферы. А вектор скорости идущего вдоль забора человека — лежит в касательной плоскости в той точке, где человек сейчас находится; в частности, угол, на который он поворачивает в вершине — откладывается в касательной плоскости именно в этой вершине. А касательные плоскости в разных точках — разные.
Ну хорошо, а нельзя ли с этим что-нибудь сделать? Например: а что, если идущий человек попытается тащить касательную плоскость с собой?
Пусть он идёт вдоль пути длины L. Поделим его на N отрезков длины L/N. Человек прошёл один отрезок и перенёс касательную плоскость параллельно в R^3. Но в новой точке касательная плоскость другая — параллельно перенесённые вектора накренились на угол порядка (1/N) (точнее, (L/R) (1/N), где R — радиус сферы, но путь и сфера у нас фиксированы, а меняем мы N). Человек спохватился и что-нибудь с этим сделал — например, ортогонально спроецировал новые вектора на касательную плоскость в новой точке. («Какая ещё нормальная компонента? Вам показалось, тут ничего не было!») И так он сделал N раз.
А сильно ли у нас поменялись длины векторов к концу пути? У нас было N операций проецирования — так что на вид кажется, что сильно. Но. Каждая из них умножает длины на косинус соответствующего угла, который порядка (1/N). А cos x = 1 - x^2/2 + …, так что косинусы эти не просто близкие к 1, а отличаются на величину всего лишь порядка 1/N^2 ! Так что даже произведение N таких косинусов близко к 1 (логарифм у него порядка 1/N).
Итого — мы определили параллельный перенос вдоль кривой (на сфере, а на самом деле — на любой поверхности, и даже на любом многообразии, вложенном в хоть какое-нибудь R^n). И он оказался ортогональным — сохраняющим длины касательных векторов — преобразованием.
Но вот только… результат параллельного переноса будет зависеть от выбора пути! Или, что то же самое — пройдя по замкнутому пути, мы можем обнаружить (и почти всегда обнаружим), что наше касательное пространство как-то повернулось.
Собственно — для случая поверхности в R^3, именно этот поворот и есть дефект угла, то, на сколько сумма внешних углов отличается от 2π! Потому что — представим себе, что человек обходит многоугольник, например, на сфере. Он несёт с собой касательное пространство (ну хорошо, для реалистичности — его переносную модель), и отмечает на нём свою скорость. В каждой вершине он добавляет новый сектор-угол поворота. Вернувшись в исходную точку, он получает на своей модели все сектора-углы, на которые он повернулся. И казалось бы, это полный оборот, только заканчивается их сумма в его векторе скорости сейчас, а начинается — в том же самом векторе скорости, обнесённом вокруг всего многоугольника. То есть повёрнутом параллельным переносом!
Так что на формулу, что на сфере радиуса R сумма углов треугольника равна π+(S/R^2) — можно смотреть как на утверждение, что при обходе фигуры площади S параллельный перенос приводит к повороту на S/R^2 (с правильным знаком). (И это не конец рассказа, конечно.)
А что будет, если мы попробуем то же самое доказательство провести на сфере? (Где сумма углов треугольника уже не π — скажем, там есть равносторонний прямоугольный треугольник с тремя прямыми углами!)
Проблема будет в том, что у нас уже нет параллельного переноса, позволяющего отождествить касательные плоскости в разных точках сферы. А вектор скорости идущего вдоль забора человека — лежит в касательной плоскости в той точке, где человек сейчас находится; в частности, угол, на который он поворачивает в вершине — откладывается в касательной плоскости именно в этой вершине. А касательные плоскости в разных точках — разные.
Ну хорошо, а нельзя ли с этим что-нибудь сделать? Например: а что, если идущий человек попытается тащить касательную плоскость с собой?
Пусть он идёт вдоль пути длины L. Поделим его на N отрезков длины L/N. Человек прошёл один отрезок и перенёс касательную плоскость параллельно в R^3. Но в новой точке касательная плоскость другая — параллельно перенесённые вектора накренились на угол порядка (1/N) (точнее, (L/R) (1/N), где R — радиус сферы, но путь и сфера у нас фиксированы, а меняем мы N). Человек спохватился и что-нибудь с этим сделал — например, ортогонально спроецировал новые вектора на касательную плоскость в новой точке. («Какая ещё нормальная компонента? Вам показалось, тут ничего не было!») И так он сделал N раз.
А сильно ли у нас поменялись длины векторов к концу пути? У нас было N операций проецирования — так что на вид кажется, что сильно. Но. Каждая из них умножает длины на косинус соответствующего угла, который порядка (1/N). А cos x = 1 - x^2/2 + …, так что косинусы эти не просто близкие к 1, а отличаются на величину всего лишь порядка 1/N^2 ! Так что даже произведение N таких косинусов близко к 1 (логарифм у него порядка 1/N).
Итого — мы определили параллельный перенос вдоль кривой (на сфере, а на самом деле — на любой поверхности, и даже на любом многообразии, вложенном в хоть какое-нибудь R^n). И он оказался ортогональным — сохраняющим длины касательных векторов — преобразованием.
Но вот только… результат параллельного переноса будет зависеть от выбора пути! Или, что то же самое — пройдя по замкнутому пути, мы можем обнаружить (и почти всегда обнаружим), что наше касательное пространство как-то повернулось.
Собственно — для случая поверхности в R^3, именно этот поворот и есть дефект угла, то, на сколько сумма внешних углов отличается от 2π! Потому что — представим себе, что человек обходит многоугольник, например, на сфере. Он несёт с собой касательное пространство (ну хорошо, для реалистичности — его переносную модель), и отмечает на нём свою скорость. В каждой вершине он добавляет новый сектор-угол поворота. Вернувшись в исходную точку, он получает на своей модели все сектора-углы, на которые он повернулся. И казалось бы, это полный оборот, только заканчивается их сумма в его векторе скорости сейчас, а начинается — в том же самом векторе скорости, обнесённом вокруг всего многоугольника. То есть повёрнутом параллельным переносом!
Так что на формулу, что на сфере радиуса R сумма углов треугольника равна π+(S/R^2) — можно смотреть как на утверждение, что при обходе фигуры площади S параллельный перенос приводит к повороту на S/R^2 (с правильным знаком). (И это не конец рассказа, конечно.)
What distinguishes the app from competitors is its use of what's known as channels: Public or private feeds of photos and videos that can be set up by one person or an organization. The channels have become popular with on-the-ground journalists, aid workers and Ukrainian President Volodymyr Zelenskyy, who broadcasts on a Telegram channel. The channels can be followed by an unlimited number of people. Unlike Facebook, Twitter and other popular social networks, there is no advertising on Telegram and the flow of information is not driven by an algorithm. The perpetrators use various names to carry out the investment scams. They may also impersonate or clone licensed capital market intermediaries by using the names, logos, credentials, websites and other details of the legitimate entities to promote the illegal schemes. The company maintains that it cannot act against individual or group chats, which are “private amongst their participants,” but it will respond to requests in relation to sticker sets, channels and bots which are publicly available. During the invasion of Ukraine, Pavel Durov has wrestled with this issue a lot more prominently than he has before. Channels like Donbass Insider and Bellum Acta, as reported by Foreign Policy, started pumping out pro-Russian propaganda as the invasion began. So much so that the Ukrainian National Security and Defense Council issued a statement labeling which accounts are Russian-backed. Ukrainian officials, in potential violation of the Geneva Convention, have shared imagery of dead and captured Russian soldiers on the platform. Ukrainian forces have since put up a strong resistance to the Russian troops amid the war that has left hundreds of Ukrainian civilians, including children, dead, according to the United Nations. Ukrainian and international officials have accused Russia of targeting civilian populations with shelling and bombardments. "The inflation fire was already hot and now with war-driven inflation added to the mix, it will grow even hotter, setting off a scramble by the world’s central banks to pull back their stimulus earlier than expected," Chris Rupkey, chief economist at FWDBONDS, wrote in an email. "A spike in inflation rates has preceded economic recessions historically and this time prices have soared to levels that once again pose a threat to growth."
from tr
