А я давно хотел понять по гомологическим данным, "сколько* нужно образующих и соотношений" для копредставления связной ассоциативной k-алгебры A. Ответ простой, если k — поле: это размерности векторных пространств Tor_1^A(k,k) и Tor_2^A(k,k).
Сегодня я проверил, что он чуть-чуть обобщается:
Теорема. Пусть k — ОГИ, A — связная ассоциативная k-алгебра конечного типа. Тогда (1) в любом однородном копредставлении алгебры A хотя бы gen(Tor_1) образующих и хотя бы rel(Tor_1)+gen(Tor_2) соотношений; (2) существует однородное копредставление, в котором ровно gen(Tor_1) образующих и ровно rel(Tor_1)+gen(Tor_2) соотношений.
[при этом gen и rel можно считать покомпонентно: образующих степени i нужно ровно gen(Tor_{1,i}), и аналогично с соотношениями.]
Пример: для алгебры A=T(x,y)/(5x³=8y², 21y=0), deg(x)=2, deg(y)=3, имеем Tor_{1,2} = k, Tor_{1,3} = k/(21), Tor_{2,6} = k, остальные Tor_{1,*}, Tor_{2,*} нулевые. Первое соотношение порождает Tor_2, второе даёт кручение в Tor_1.
Для произвольного k получаются оценки снизу и сверху, но пока не знаю, совпадают они или нет. Хотите сформулирую? Вопрос в предыдущем посте — примерно про это
*Для простоты я предполагаю, что алгебра имеет конечный тип, то есть каждая градуированная компонента — к.п. k-модуль. Тогда образующих/соотношений в каждой размерности нужно только конечное число, поэтому вопрос корректен. Да и градуированные k-модули Tor_1 и Tor_2 тоже имеют конечный тип
А я давно хотел понять по гомологическим данным, "сколько* нужно образующих и соотношений" для копредставления связной ассоциативной k-алгебры A. Ответ простой, если k — поле: это размерности векторных пространств Tor_1^A(k,k) и Tor_2^A(k,k).
Сегодня я проверил, что он чуть-чуть обобщается:
Теорема. Пусть k — ОГИ, A — связная ассоциативная k-алгебра конечного типа. Тогда (1) в любом однородном копредставлении алгебры A хотя бы gen(Tor_1) образующих и хотя бы rel(Tor_1)+gen(Tor_2) соотношений; (2) существует однородное копредставление, в котором ровно gen(Tor_1) образующих и ровно rel(Tor_1)+gen(Tor_2) соотношений.
[при этом gen и rel можно считать покомпонентно: образующих степени i нужно ровно gen(Tor_{1,i}), и аналогично с соотношениями.]
Пример: для алгебры A=T(x,y)/(5x³=8y², 21y=0), deg(x)=2, deg(y)=3, имеем Tor_{1,2} = k, Tor_{1,3} = k/(21), Tor_{2,6} = k, остальные Tor_{1,*}, Tor_{2,*} нулевые. Первое соотношение порождает Tor_2, второе даёт кручение в Tor_1.
Для произвольного k получаются оценки снизу и сверху, но пока не знаю, совпадают они или нет. Хотите сформулирую? Вопрос в предыдущем посте — примерно про это
*Для простоты я предполагаю, что алгебра имеет конечный тип, то есть каждая градуированная компонента — к.п. k-модуль. Тогда образующих/соотношений в каждой размерности нужно только конечное число, поэтому вопрос корректен. Да и градуированные k-модули Tor_1 и Tor_2 тоже имеют конечный тип
BY сладко стянул
Warning: Undefined variable $i in /var/www/group-telegram/post.php on line 260
There was another possible development: Reuters also reported that Ukraine said that Belarus could soon join the invasion of Ukraine. However, the AFP, citing a Pentagon official, said the U.S. hasn’t yet seen evidence that Belarusian troops are in Ukraine. Telegram boasts 500 million users, who share information individually and in groups in relative security. But Telegram's use as a one-way broadcast channel — which followers can join but not reply to — means content from inauthentic accounts can easily reach large, captive and eager audiences. At the start of 2018, the company attempted to launch an Initial Coin Offering (ICO) which would enable it to enable payments (and earn the cash that comes from doing so). The initial signals were promising, especially given Telegram’s user base is already fairly crypto-savvy. It raised an initial tranche of cash – worth more than a billion dollars – to help develop the coin before opening sales to the public. Unfortunately, third-party sales of coins bought in those initial fundraising rounds raised the ire of the SEC, which brought the hammer down on the whole operation. In 2020, officials ordered Telegram to pay a fine of $18.5 million and hand back much of the cash that it had raised. Overall, extreme levels of fear in the market seems to have morphed into something more resembling concern. For example, the Cboe Volatility Index fell from its 2022 peak of 36, which it hit Monday, to around 30 on Friday, a sign of easing tensions. Meanwhile, while the price of WTI crude oil slipped from Sunday’s multiyear high $130 of barrel to $109 a pop. Markets have been expecting heavy restrictions on Russian oil, some of which the U.S. has already imposed, and that would reduce the global supply and bring about even more burdensome inflation. "There are several million Russians who can lift their head up from propaganda and try to look for other sources, and I'd say that most look for it on Telegram," he said.
from tr
