шок-контент— сравнение математического образования на МКН и в MIT не в пользу последнего.

разная философия образования, и устройство общества. В хороших местах в России вас сразу много и интенсивно учат, бакалаврские спецкурсы сравнимы с аспирантскими в Штатах. Поэтому в аспирантуре вас нечему учить (и обычно нет аспирантских курсов). Казалось бы, занимайся наукой в нехочу.

но для этого нужны крутые научные руководители (а среднего возраста учёных в России мало, провал) и вообще привлекательность научной карьеры тоже так себе. Получается гипертрофированная первая ступень — в толпу умных людей вбивают много знаний, которые потом не нужны.

условная "либеральная западная модель" гораздо менее интенсивна на первых этапах (с "нестрогими идеями" вместо доказательств в бакалавриате, например) и серьёзное обучение начинается в аспирантуре. Зато к этому моменту отсеялись те, кому неинтересно, и кто не хочет сам разбираться в материале, и в топовых местах много крутых учёных для научного руководства (+ многие аспиранты приезжают в топовые места из нетоповых).

это не лучше и не хуже, просто другая модель (для поддержания которой, например, кажется важным большой приток умных иностранцев аспирантов), с другими акцентами. Ну а для науки (как мне кажется) важно не то, как учат, а концентрация очень сильных учёных в одном пространстве.

так что хорошо, что цветут все цветы.

Раньше я слушал Калугина, Арию, Алису, Пикник, Агату Кристи. А последние пару лет как отрезало. Включаю фоном что-то мрачное типа Abyssphere. А вот тут популяризую чудесную песенку, от Анри Альфа (это в 90х Пикник встретил некого Андрея Карпенко в общагах и записали несколько песенок, а я недавно наткнулся и дико зафанател).

необычный вопрос: знаете ли вы картинки (или другие объекты (искусства, напр. скульптуры, музыка, поэзия....)), которые бы позволяли воспринять математические доказательства?

стандартная тема, это когда полное доказательство можно уместить в одну картинку (ну, мб с пояснениями), здесь не то.

это может быть вообще не доказательство (например, убеждает, но формальные аргументы не достраиваются) или факт вообще не доказан, но картинка убеждает, что он верен.

или вообще это даже интересный вопрос, проиллюстрированный картинкой, то есть вопрос, а не результат.

это товарищ-индус интересуется (например, с целью познания, минуя формализм).

"парадокс" Монти Холла:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас — не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?"

Говорят (битая ссылка в википедии), Эрдеш не верил в правильное решение, пока симуляцию не показали.

А вот ещё парадокс коробок Бертрана. Есть три коробки:

первая содержит две золотых монеты.
вторая содержит две серебряные монеты.
третья содержит одну золотую и одну серебряную монету.
После выбора случайной коробки и случайной монеты из нее, выбранная монета оказалась золотой. Какова вероятность того, что вторая монета в выбранной коробке также золотая?

Может показаться, что такая вероятность равна 1/2, но правильный ответ — 2/3.

Какие ещё прикольные задачки по теорверу знаете (или мб есть подборка?) Это я теорвер в этом семестре веду, а никогда раньше не вёл.

Какие нужны качества для занятия наукой? Я довольно долго думал, что нужны в первую очередь способности (а их, условно говоря, можно замерить олимпиадами и хорошей учёбой).

Жизненный опыт говорит, что для занятий наукой нужны
а) способности б) характер в) жизненные обстоятельства.

Характер — самая тонкая часть, это всё о какой-то внутренней жизни человека. Наверное, харизматичные лидеры научных школ (условные Гельфанд/Арнольд/...) влияли на характер и вкусы и воспитывали их. Но я такого никогда не видел (расскажите, вдруг вы знаете как воспитывать характер хотя бы у себя, не говоря уж про учеников?). В общем, по мне, так самая неподконтрольная часть. И измерять её сложно.

в) жизненные обстоятельства. Человек может попасть в неправильную среду (слишком сильно/слабо конкурентную) или в правильную (где все примерно одним интересуются, роют в одну сторону и друг друга мотивируют), поехать туда или сюда, случайно познакомиться с тем или тем, личная жизнь очевидным образом влияет.

И, кажется, что жизненные обстоятельства и характер — это факторы, не менее сильно влияющие на результат, чем способности (которые, конечно, в каком-то смысле просто стартовые условия, и могу сильно поменяться даже за год-два, не говоря уж про десятилетия, при правильном характере и обстоятельствах).

Способности влияют на шансы попасть в правильную среду, среда влияет на воспитание характера, характер влияет на развитие способностей, и далее по кругу.

Рассмотрим бросания честной монетки, и пусть S_n — количество орлов среди n бросаний.

Во всех курсах теорвера доказывают, что S_n/n сходится к 1/2 с вероятностью 1, при n стремящемся к бесконечности.

И мне всегда было трудно понять доказательство. Формально оно выглядит так: вместо монеток у нас появляется дискретные распределения S_n на прямой. А дальше, посредством магии неравенства Чебышева (это ладно) и факта о том, что дисперсия суммы независимых случайных величин это сумма дисперсий (это, по-моему, легко доказать, но понять хоть в каком-то геометрическом смысле невозможно — научите меня!), всё и доказывается.

Между тем, душа жаждала другого: рассмотрим пространство всех бесконечных последовательностей орлов и решек, там можно завести сигма-алгебру и функцию вероятности. Дальше для некоторых бесконечных последовательностей предел S_n/n существует. Скажите, где написано, что почти для всех последовательностей он существует и равен 1/2? Это ведь совсем не равносильно существованию предела в предыдущем абзаце.

В статье А. Шеня про быстрое умножение (Карацуба) проводится расследование, как идея могла быть приписана Гауссу (около 2005(!) года). Видимо, спутали с быстрым преобразованием Фурье, которое тоже Гаусс придумал.

Дорогие друзья!

Приглашаем вас 27ого апреля в 12:00 на третий «День теории игр», который ежегодно проводит Международная лаборатория теории игр и принятия решений НИУ ВШЭ.
Основная цель мероприятия – рассказать студентам о том, что можно делать в науке помимо самой науки. Наши сотрудники и коллеги расскажут о проектах, ценных одновременно и для науки, и для людей.


Для кого и зачем:
👻 Будем рады видеть студентов старших курсов бакалавриата, магистратуры и аспирантуры технических специальностей. Ещё больше будем рады, если вы математик и у вас уже есть опыт в исследованиях, и вы хотите разобраться в том, как применить свои знания где-то за пределами классических индустриальных задач

👻 За 2 - 3 часа мы разберём основные темы матэкономики, которыми занимается лаборатория, и покажем, как эти результаты применяются вне науки (поговорим про экономический консалтинг)

👻 Бонус - мы расскажем о нашей оплачиваемой летней стажировке в лаборатории теории игр и о результатах некоторых наших "выпускников"

Место: 14ая линия Васильевского острова, 29, Санкт-Петербург, 201 или 301 комната (указатель на входе)

Ссылка на регистрацию (обязательно!): Гугл-форма

P.S. Можно и нужно звать ваших заинтересованных в теме товарищей с других факультетов/из других вузов. Будем благодарны за репост в чаты математиков :)

Мы также ищем кандидатов-математиков на позиции постдоков в лабораторию, поэтому аспирантов и молодых учёных мы тоже очень ждём на нашем мероприятии :)

По всем вопросам: телеграм, @thesekunda

смотрите, какая шутка:

“One of my students once asked me what the p-adic norm measures. I told him it measures the p-ness of a rational number.” - Paul Sally

наткнулся на, видимо, первоисточник когомологического понимания сложения (которое в первом классе проходят).

Пусть мы озабочены сложением натуральных чисел до сотни. Давайте складывать по модулю 100 (то есть интересоваться только последними двумя цифрами суммы, в первом классе нет трёхзначных чисел).

Тогда операция "перенос" — это 2-коцикл.

Потому что натуральные числа (mod 100) это группа ЧЧ, в ней есть подгруппа "десятков", назовём её Ф. А ещё есть группа Z/10Z.

Так вот, ЧЧ — это центральное расширение Z/10Z с помощью Ф. Чтобы задать центральное расширение надо задать отображение carry: Z/10Z * Z/10Z -> Ф (которое собственно и говорит, когда надо делать перенос при cложении в столбик, а когда не надо). Такое отображение называется 2-коциклом.

в книжку добавился аппендикс. Это перевод на английский про КУБУ, было тут (про съедение крокодилов) и тут (про карикатуры). Имеется классная фотография Уэллса (да, он приезжал в Петроград в составе рабочей делегации, и потом много статей написал, "Россия во мгле"). Рассел тоже приезжал.

Вот запрос к аудитории: может кто найти обложку этого журнала в хорошем качестве? Я не смог.

Умеет ли искусственный интеллект улучшать качество текста?

Сейчас текст почти не разобрать, а хочется. Там студенты с Луначарским летят и сбрасывают балласт (=выгоняют старорежимных профессоров).

Для лекций по теорверу изучал связь между условным матожиданием и линейной регрессией. При чтении эконометрического текста узнал, что линейные регрессии придумал знаменитые евгеники Гальтон и Пирсон, изучая влияние роста родителей но рост детей. В списке литературы увидел модную статью:

Mathematical contributions to the theory of evolution. On telegony in man.

Abstract: (1) The term telegony has been used to cover cases in which a female A, after mating with a male B, bears to a male C offspring having some resemblance to or some peculiar characteristic of A’s first mate B. The instances of telegony usually cited are (i) cases of thoroughbred bitches when covered by a thoroughbred dog, reverting in their litter to half-breds, when they have been previously crossed by dogs of other races. Whether absolutely unimpeachable instances of this can be produced is, perhaps, open to question, but the strong opinion on the subject among dog-fanciers is at least remarkable; (ii) the case of the quagga noted by Darwin (see 'Origin of Species,’ 4th edition, p. 193), and still more recently (iii) a noteworthy case of telegony in man cited in the ‘British Medical Journal’ (see No. 1834, February 22, 1896, p. 462).

Насколько я понял, Пирсон написал захватывающий абстракт, но потом показывает, что статистически телегонию увидеть на данных с ростом не получается.

Прикольная задача-парадокс: представьте, некто выбрал (независимо) два случайных вещественных числа. И показал вам первое. Вы можете либо его взять, либо попросить дать другое (неизвестное). Выигрываете, если взяли максимальное из двух чисел. Вопрос, есть ли стратегия, которая позволяет выигрывать чаще, чем в половине случаев?

Удивительно, но да.

Например, если известно, что распределение с носителем на двух числах {0},{1}, то всё просто: если дали 0, надо просить другое число, если 1, то не просить.

А если выбирают числа из 0,1,2,3 ? Тогда понятно, что если дали 0, то надо просить поменять, если дали 3, то не менять. А что делать, если дали 1? Или 2? понятно, что 1 надо чаще просить менять, чем 2. Можно делать с какой-нибудь вероятностью. Например, если досталось 1, то просить поменять с вероятностью 2/3, а если досталось 2, то просить поменять с вероятностью 1/3.

А если распределение — равновероятное на интервале [0,1] ? Ну, тоже есть стратегия: если досталось число p, то с вероятностью p взять его, а с вероятностью 1-p взять второе, неизвестное. Можно посчитать и увидеть, что стратегия выгодная.

Заметим теперь, что вообще-то неважно, какое распределение на [0,1]. Указанная выше стратегия работает всегда. В общем-то, надо только число побольше менять пореже, числа поменьше менять почаще.

Ну а теперь и про произвольные вещественные числа понятно: ведь вещественную прямую можно отобразить с сохранением порядка на [0,1].

Иногда стратегию такую предлагают: нужно выбрать любое непрерывное распределение на вещественных числах, и когда вам дали число, выбрать случайное число из своего распределения, представить, что это неизвестное (второе) число, и принять решение менять/не менять исходя из этого.

После указанных выше биекций (можно своё распределение отобразить на [0,1] чтобы там получилось равномерное) — это ровно та же стратегия, что менять число p из [0,1] с вероятностью 1-p. Но горазде менее мистически выглядит.

См. тут и тут.

Много раз меня удивляло следующее: студент вроде всё понимает в курсе, а потом, рраз, и вдруг выясняется, что не понимает что-то совсем базовое и элементарное, объясняешь это, и всё снова хорошо, снова всё понимает.

Придумал этому объяснение: есть метафора (у Tessier вычитал) — что математические тексты они как истории с персонажами. Всё уже логично — но должно быть и драматургически согласованно. А литературные — в них уже драматургия, но должно быть логически правильно тоже ("логика мира" должна соблюдаться).

И вот если материал курса воспринимать как историю (и жизни) — этот пошёл туда, сказал и сделал то, привело к этому — и воспринятую в пересказе и через новости.

Потом выясняется, что какие-то детали в истории умолчаны, а есть даже и прямое враньё. Это необязательно ведёт к тому, что выводы из истории неправильные. Просто уточняется мотивация персонажей, они начинают играть новыми красками.

Если противоречий слишком много, то картинка может обрушиться и что-то новое выстроится на её месте, новое понимание. Или ничего не выстроится, снова станет всё непонятно.

Так же и с доказательствами получается. В голове всё живёт смесью силлогизмов и аналогий, и картинка должна быть согласованной (как в историях из жизни). Поэтому неправильное понимание какого-то базового факта может и не влиять на общее понимание главных результатов, примеров и тд.

А в следующем семестре преподаю теорию чисел. В школе и университете я её не любил (потому что выглядит как смесь удивительных совпадений в формулах, где никакой картинки не придумать), а последние лет 5 всё больше и больше мне нравилось (как раз удивительные совпадения!)

Расскажите, какие у вас любимые факты теории чисел, которые можно за полчаса рассказать 2-3 курсникам математикам?

Хочется либо на практике поразбирать в виде подборок задач, либо короткими отступлениями обсуждать иногда чудеса
(основной учебник: A classical introduction to modern number theory / K. Ireland, M. Rosen, он последовательный и строгий, без отступлений и чудес).

и вот ещё вопрос по теории чисел: всегда раздражало меня, что нет тождеств для log(A)*log(B) ну то есть можно написать что-то нелепое вроде log(A^log(B)) но это не то. Про синусы есть тождества, про полиномы есть, про факториалы есть, а про логарифмы — нет.

Бывают ли вообще формулы, где встречаются произведения логарифмов?

Типа, может Рамануджан придумал что-нибудь, не знаю, типа просуммировать log(sin(n))*log(cos(n)) и красивое получить.

Видимо, эквивалентный вопрос — это бывают ли формулы, где появляется e^e^{...}

Двойное слепое тестирование было придумано при участии гомеопата в Нюрнбурге в 1835. Использование плацебо в испытаниях— тоже гомеопатом, в Петербурге в 1829 (см. приложенную статью).

По алхимической двойственности получаем, что то, что придумывают борцы с лженаукой, науке как раз навредит!