Математические байки

В исходной плоскости (x,y) действует радиальная сила, поэтому вектор ускорения (x’’,y’’) пропорционален радиус-вектору r=(x,y) — с коэффициентом
h=-GM/r^3
(в знаменателе куб, потому что нам нужен единичный вектор в нужном направлении, а это отношение r/r, вот ещё одна степень r в знаменателе и появляется).

Поэтому
x’’ = hx
y’’ = hy.

Если бы радиус r был линейной комбинацией x и y, то для его второй производной было бы такое же соотношение, и центр даже двигать бы не пришлось. Но — давайте зафиксируем единичный вектор b=(b_x,b_y), в начальный момент направленный по радиусу, и рассмотрим линейную функцию (r,b) = b_x x + b_y y.

Эта линейная функция в первом порядке совпадает с радиусом r, а на радиальном луче совпадает с ним совсем. Так что их вторые производные будут отличаться только за счёт вклада от перпендикулярного радиусу движения точки :

r’’= b_x x’’ + b_y y’’ + (вклад от перпендикулярного движения)
= hr + (вклад от перпендикулярного движения)

Если v — это нормальная к радиусу компонента скорости, то этот вклад это
v^2 * (вторую производную радиуса при движении по касательной к окружности),
или, что то же самое, вторая производная при движении по касательной к окружности со скоростью v.
И вот сейчас момент импульса (секториальная скорость) и вылезет — ведь ровно за него/неё перпендикулярная радиусу скорость v и отвечает!

www.group-telegram.com/tw/mathtabletalks.com/4586

3.1K viewsVictor Kleptsyn, Aug 6, 2024 at 10:24

В исходной плоскости (x,y) действует радиальная сила, поэтому вектор ускорения (x’’,y’’) пропорционален радиус-вектору r=(x,y) — с коэффициентом
h=-GM/r^3
(в знаменателе куб, потому что нам нужен единичный вектор в нужном направлении, а это отношение r/r, вот ещё одна степень r в знаменателе и появляется).

Поэтому
x’’ = hx
y’’ = hy.

Если бы радиус r был линейной комбинацией x и y, то для его второй производной было бы такое же соотношение, и центр даже двигать бы не пришлось. Но — давайте зафиксируем единичный вектор b=(b_x,b_y), в начальный момент направленный по радиусу, и рассмотрим линейную функцию (r,b) = b_x x + b_y y.

Эта линейная функция в первом порядке совпадает с радиусом r, а на радиальном луче совпадает с ним совсем. Так что их вторые производные будут отличаться только за счёт вклада от перпендикулярного радиусу движения точки :

r’’= b_x x’’ + b_y y’’ + (вклад от перпендикулярного движения)
= hr + (вклад от перпендикулярного движения)

Если v — это нормальная к радиусу компонента скорости, то этот вклад это
v^2 * (вторую производную радиуса при движении по касательной к окружности),
или, что то же самое, вторая производная при движении по касательной к окружности со скоростью v.
И вот сейчас момент импульса (секториальная скорость) и вылезет — ведь ровно за него/неё перпендикулярная радиусу скорость v и отвечает!

BY Математические байки