Доказательства всегда в некотором смысле "конструктивны": они дают "алгоритм", просто не все шаги можно быстро проделать на практике. (шаги, связанные с аксиомой выбора, например). Интересно расписать такой план действий. Вот как распознать экзотическую сферу? (в соответствии с вычислением количества гладких структур на сферах, по Керверу-Милнору)
Входные данные: гладкое n-мерное многообразие Σ, гомеоморфное стандартной сфере. Диффеоморфно ли оно стандартной сфере?
Шаг 1: вкладываем Σ в R^{N+n} при N > n.
Шаг 2: строим нормальное оснащение на Σ, то есть N линейно независимых векторных полей на Σ, перпендикулярных поверхности [Нетривиальный факт: такое оснащение существует. Его можно строить через теорию препятствий; препятствие ровно одно, и оно всегда оказывается равно нулю.] Мы получили оснащённое подмногообразие коразмерности N.
Шаг 3: проверяем, существует ли оснащённый кобордизм между подмногообразием Σ (с нашим нормальным оснащением) и стандартной сферой S^n, стандартно вложенной в R^{N+n} (возможно, с нетривиальным нормальным оснащением). [На другом языке: по Понтрягину-Тому, нашему нормально оснащённому подмногообразию соответствует отображение S^{N+n} -> S^N, то есть элемент в n-ой стабильной гомотопической группе сфер. Этот элемент либо лежит в образе J-гомоморфизма (т.е. кратен некоторому явному элементу, связанному с ортогональной группой), либо не лежит. Ещё одна точка зрения: перебираем всевозможные оснащения на Σ и проверяем, будет ли хоть одно из них оснащённо кобордантно нулю].
Если такого кобордизма нет — успех, наша сфера экзотическая. Пусть такой кобордизм есть. Это значит: можно взять оснащённую связную сумму Σ и сферы так, что получится оснащённое многообразие, кобордантное нулю. Итог: получили оснащённое многообразие P, такое что ∂P=Σ. [Оснащение на Σ теперь не такое, как раньше, но оно нас больше не интересует.]
Шаг 4: несколько вариантов в зависимости от n. а) n чётно. Тогда сфера стандартная. б) n=4k+1, но не 13,29,61,125. Тогда сфера стандартная. в) n=13,29,61 или 125. Тогда надо посчитать инвариант Кервера многообразия P (то есть Арф-инвариант квадратичной формы на H^{2k+1}(P;Z/2), которая возникает из умножения в когомологиях). Если Арф-инвариант нулевой — сфера стандартная, иначе экзотическая. [в пункте б) тоже надо бы посчитать инвариант Кервера. Но, если верить Хиллу—Хопкинсу—Рэвенелу, он равен нулю.] г) n=4k-1. Тогда надо посчитать сигнатуру многообразия P (то есть сигнатуру квадратичной формы на H^{2k}(P;Q), которая возникает из умножения в когомологиях). Если сигнатура делится на некоторое явно выписываемое число, кратное числителю n-ого числа Бернулли — сфера стандартная, иначе экзотическая.
...интересно, можно ли как-нибудь переставить шаги (сначала разобраться с сигнатурой/арф-инвариантом, а потом уже решать гомотопическую задачу).
P. S. Кстати, Милнор строил первые экзотические сферы в размерности n=7. Там J-гомоморфизм сюръективен, поэтому Шаг 3 можно "пропустить": кобордизм всегда существует. (На самом деле пропускать нельзя: на Шаге 4 надо считать сигнатуру заклеивающей плёнки, построенной на Шаге 3.) Сферы Милнора — это тотальные пространства расслоений S^3 -> Σ -> S^4. С шагом 3 у Милнора не было проблем, многообразия P — это тотальные пространства ассоциированных расслоений D^4 -> P -> S^4.
Доказательства всегда в некотором смысле "конструктивны": они дают "алгоритм", просто не все шаги можно быстро проделать на практике. (шаги, связанные с аксиомой выбора, например). Интересно расписать такой план действий. Вот как распознать экзотическую сферу? (в соответствии с вычислением количества гладких структур на сферах, по Керверу-Милнору)
Входные данные: гладкое n-мерное многообразие Σ, гомеоморфное стандартной сфере. Диффеоморфно ли оно стандартной сфере?
Шаг 1: вкладываем Σ в R^{N+n} при N > n.
Шаг 2: строим нормальное оснащение на Σ, то есть N линейно независимых векторных полей на Σ, перпендикулярных поверхности [Нетривиальный факт: такое оснащение существует. Его можно строить через теорию препятствий; препятствие ровно одно, и оно всегда оказывается равно нулю.] Мы получили оснащённое подмногообразие коразмерности N.
Шаг 3: проверяем, существует ли оснащённый кобордизм между подмногообразием Σ (с нашим нормальным оснащением) и стандартной сферой S^n, стандартно вложенной в R^{N+n} (возможно, с нетривиальным нормальным оснащением). [На другом языке: по Понтрягину-Тому, нашему нормально оснащённому подмногообразию соответствует отображение S^{N+n} -> S^N, то есть элемент в n-ой стабильной гомотопической группе сфер. Этот элемент либо лежит в образе J-гомоморфизма (т.е. кратен некоторому явному элементу, связанному с ортогональной группой), либо не лежит. Ещё одна точка зрения: перебираем всевозможные оснащения на Σ и проверяем, будет ли хоть одно из них оснащённо кобордантно нулю].
Если такого кобордизма нет — успех, наша сфера экзотическая. Пусть такой кобордизм есть. Это значит: можно взять оснащённую связную сумму Σ и сферы так, что получится оснащённое многообразие, кобордантное нулю. Итог: получили оснащённое многообразие P, такое что ∂P=Σ. [Оснащение на Σ теперь не такое, как раньше, но оно нас больше не интересует.]
Шаг 4: несколько вариантов в зависимости от n. а) n чётно. Тогда сфера стандартная. б) n=4k+1, но не 13,29,61,125. Тогда сфера стандартная. в) n=13,29,61 или 125. Тогда надо посчитать инвариант Кервера многообразия P (то есть Арф-инвариант квадратичной формы на H^{2k+1}(P;Z/2), которая возникает из умножения в когомологиях). Если Арф-инвариант нулевой — сфера стандартная, иначе экзотическая. [в пункте б) тоже надо бы посчитать инвариант Кервера. Но, если верить Хиллу—Хопкинсу—Рэвенелу, он равен нулю.] г) n=4k-1. Тогда надо посчитать сигнатуру многообразия P (то есть сигнатуру квадратичной формы на H^{2k}(P;Q), которая возникает из умножения в когомологиях). Если сигнатура делится на некоторое явно выписываемое число, кратное числителю n-ого числа Бернулли — сфера стандартная, иначе экзотическая.
...интересно, можно ли как-нибудь переставить шаги (сначала разобраться с сигнатурой/арф-инвариантом, а потом уже решать гомотопическую задачу).
P. S. Кстати, Милнор строил первые экзотические сферы в размерности n=7. Там J-гомоморфизм сюръективен, поэтому Шаг 3 можно "пропустить": кобордизм всегда существует. (На самом деле пропускать нельзя: на Шаге 4 надо считать сигнатуру заклеивающей плёнки, построенной на Шаге 3.) Сферы Милнора — это тотальные пространства расслоений S^3 -> Σ -> S^4. С шагом 3 у Милнора не было проблем, многообразия P — это тотальные пространства ассоциированных расслоений D^4 -> P -> S^4.
BY сладко стянул
Warning: Undefined variable $i in /var/www/group-telegram/post.php on line 260
Pavel Durov, Telegram's CEO, is known as "the Russian Mark Zuckerberg," for co-founding VKontakte, which is Russian for "in touch," a Facebook imitator that became the country's most popular social networking site. "There are several million Russians who can lift their head up from propaganda and try to look for other sources, and I'd say that most look for it on Telegram," he said. However, the perpetrators of such frauds are now adopting new methods and technologies to defraud the investors. As a result, the pandemic saw many newcomers to Telegram, including prominent anti-vaccine activists who used the app's hands-off approach to share false information on shots, a study from the Institute for Strategic Dialogue shows. At this point, however, Durov had already been working on Telegram with his brother, and further planned a mobile-first social network with an explicit focus on anti-censorship. Later in April, he told TechCrunch that he had left Russia and had “no plans to go back,” saying that the nation was currently “incompatible with internet business at the moment.” He added later that he was looking for a country that matched his libertarian ideals to base his next startup.
from ua
