Forwarded from Мехмат МГУ
#мехмат_студентам #летняя_школа
Механико-математический факультет МГУ и Московский центр фундаментальной и прикладной математики проводят летнюю студенческую школу по топологии. Тема Школы - К-теория, характеристические классы, кобордизмы. Согласие провести циклы лекций и отдельные лекции по этим и смежным темам выразили И. А. Тайманов, Д. О. Орлов, А. И. Шафаревич, Г. И. Шарыгин, А. Ю. Савин, Ф. Ю. Попеленский. Большая часть лекций будет доступна студентам 3-4 курса.
Школа будет проходить на мехмате МГУ со 2 по 5 июля 2025 года.
Для участия в Школе нужно заполнить форму.
Телеграм-канал Школы.
Сайт Школы.
Механико-математический факультет МГУ и Московский центр фундаментальной и прикладной математики проводят летнюю студенческую школу по топологии. Тема Школы - К-теория, характеристические классы, кобордизмы. Согласие провести циклы лекций и отдельные лекции по этим и смежным темам выразили И. А. Тайманов, Д. О. Орлов, А. И. Шафаревич, Г. И. Шарыгин, А. Ю. Савин, Ф. Ю. Попеленский. Большая часть лекций будет доступна студентам 3-4 курса.
Школа будет проходить на мехмате МГУ со 2 по 5 июля 2025 года.
Для участия в Школе нужно заполнить форму.
Телеграм-канал Школы.
Сайт Школы.
сладко стянул
On proof and progress in mathematics — второй "экологический" текст, который должен входить в образовательную программу любого математического факультета. (Например, на парах по английскому можно проходить — лексика местами красочная, в моём переводе уж точно…
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
для удобства распространения:
https://telegra.ph/Iyul-1998----teper-v-otkrytom-dostupe-05-27
"...Общая же идея состояла в том, что всякая коммуникация происходит как бы одновременно на нескольких уровнях и нескольких языках. В пределе, у текста есть язык смысла слов и фраз, с одной стороны, и знаков препинания и опечаток, с другой. В раю доминирует первый, в аду -- второй.
Вообще, честная коммуникация отличается от бесчестной тем, что в честной разные языки и уровни передают некие согласующиеся между собой смыслы, в то время как в бесчестной -- противоречащие один другому и несовместные."
https://telegra.ph/Iyul-1998----teper-v-otkrytom-dostupe-05-27
"...Общая же идея состояла в том, что всякая коммуникация происходит как бы одновременно на нескольких уровнях и нескольких языках. В пределе, у текста есть язык смысла слов и фраз, с одной стороны, и знаков препинания и опечаток, с другой. В раю доминирует первый, в аду -- второй.
Вообще, честная коммуникация отличается от бесчестной тем, что в честной разные языки и уровни передают некие согласующиеся между собой смыслы, в то время как в бесчестной -- противоречащие один другому и несовместные."
Telegraph
"Июль 1998" -- теперь в открытом доступе (1/2)
Предисловие posic: В марте 2012 года я написал здесь в ЖЖ серию постингов про мои приключения июня-июля 1998 года в США, и выложил их "под двумя замками". Теперь все эти записи переведены в открытый доступ. Читайте, друзья. Мне кажется, это прекрасное чтение.…
"[John Henry Whitehead] challenged his colleagues to improve upon a well known palindrome:
Step on no pets.
Hilton responded two days later with a great palindrome that did not see the light of day until 1973, and even then anonymously:
Sex at noon taxes.
That set off a maniacal competition that ended with Hilton's triumph. Because of wartime secrecy and the death of most of the principals, though, the other entries (and entrants) have been lost."
https://www.visualthesaurus.com/cm/wc/the-palindrome-game-of-the-enigma-codebreakers/
Step on no pets.
Hilton responded two days later with a great palindrome that did not see the light of day until 1973, and even then anonymously:
Sex at noon taxes.
That set off a maniacal competition that ended with Hilton's triumph. Because of wartime secrecy and the death of most of the principals, though, the other entries (and entrants) have been lost."
https://www.visualthesaurus.com/cm/wc/the-palindrome-game-of-the-enigma-codebreakers/
Visualthesaurus
The Palindrome Game of the Enigma Codebreakers : Word Count : Thinkmap Visual Thesaurus
Thinkmap Visual Thesaurus: Word Count - The critically lauded film The Imitation Game just won an Oscar for Graham Moore's screenplay, adapted from Alan Turing: The Enigma by Andrew Hodges. Crosswords play an important role in the story of the World War II…
Прошли лекции памяти Шафаревича (А.Ю.Окуньков — "Теория пересечений на пересечении теорий")
Очень красиво, что в этой глубокой математике речь идёт "всё ещё" о соответствии между двумя способами смотреть на кривые в многообразии: их можно
(1) задавать параметрически (-> пространство модулей стабильных отображений, струны, теория Громова—Виттена)
(2) задавать уравнениями (-> схема Гильберта, калибровки, теория Дональдсона—Томаса)
Типа, основная гипотеза близка к мысли, что "эти двойственные точки зрения дают одинаковые ответы на вопросы исчислительной геометрии". (Хотя формулируется так, что мы сравниваем классы в Aut(X)-эквивариантной K-теории схемы Чжоу многообразия X. И это всё-таки как-то связано с трехмерной зеркальной симметрией и с двойственностью Ленглендса.)
Собрал какие-то ссылки на статьи, не факт что удачная подборка:
Для краткого знакомства наверно подойдут первые страницы статьи, в которой доказан частный случай гипотезы
https://arxiv.org/abs/0809.3976
Обзорные лекции семилетней давности
https://arxiv.org/abs/1802.00779
Статья, в которой наверно больше про физический смысл
https://arxiv.org/abs/1404.2323
Гипотеза изначально сформулирована в
https://arxiv.org/abs/math/0312059
https://arxiv.org/abs/math/0406092
Наверно, одно из последних продвижений по этому вопросу
https://arxiv.org/abs/2308.02948
Очень красиво, что в этой глубокой математике речь идёт "всё ещё" о соответствии между двумя способами смотреть на кривые в многообразии: их можно
(1) задавать параметрически (-> пространство модулей стабильных отображений, струны, теория Громова—Виттена)
(2) задавать уравнениями (-> схема Гильберта, калибровки, теория Дональдсона—Томаса)
Типа, основная гипотеза близка к мысли, что "эти двойственные точки зрения дают одинаковые ответы на вопросы исчислительной геометрии". (Хотя формулируется так, что мы сравниваем классы в Aut(X)-эквивариантной K-теории схемы Чжоу многообразия X. И это всё-таки как-то связано с трехмерной зеркальной симметрией и с двойственностью Ленглендса.)
Собрал какие-то ссылки на статьи, не факт что удачная подборка:
Для краткого знакомства наверно подойдут первые страницы статьи, в которой доказан частный случай гипотезы
https://arxiv.org/abs/0809.3976
Обзорные лекции семилетней давности
https://arxiv.org/abs/1802.00779
Статья, в которой наверно больше про физический смысл
https://arxiv.org/abs/1404.2323
Гипотеза изначально сформулирована в
https://arxiv.org/abs/math/0312059
https://arxiv.org/abs/math/0406092
Наверно, одно из последних продвижений по этому вопросу
https://arxiv.org/abs/2308.02948
arXiv.org
Gromov-Witten/Donaldson-Thomas correspondence for toric 3-folds
We prove the equivariant Gromov-Witten theory of a nonsingular toric 3-fold X with primary insertions is equivalent to the equivariant Donaldson-Thomas theory of X. As a corollary, the topological...
сладко стянул
Прошли лекции памяти Шафаревича (А.Ю.Окуньков — "Теория пересечений на пересечении теорий") Очень красиво, что в этой глубокой математике речь идёт "всё ещё" о соответствии между двумя способами смотреть на кривые в многообразии: их можно (1) задавать параметрически…
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
https://arxiv.org/abs/0810.5691
"...It appears that many important mathematical objects (including counterexamples) are unreasonably nice, beautiful and elegant. They tend to have (many) more (nice) properties and extra bits of structure than one would a priori expect. The question is why this happens and whether this can be understood*.
*There is of course the “anthropomorphic principle” answer, much like the question of the existence of (intelligent) life in this universe. It goes something like this. If these objects weren’t nice and regular we would not be able to understand and describe them; we can see/understand only the elegant and beautiful ones. I do not consider this answer good enough though there is something in it. So the search is also on for ugly brutes of mathematical objects.
Also this anthropomorphic argument raises the subsidiary question of why we can only understand/describe beautiful/regular things. There are aspects of (Kolmogorov) complexity and information theory involved here."
"...It appears that many important mathematical objects (including counterexamples) are unreasonably nice, beautiful and elegant. They tend to have (many) more (nice) properties and extra bits of structure than one would a priori expect. The question is why this happens and whether this can be understood*.
*There is of course the “anthropomorphic principle” answer, much like the question of the existence of (intelligent) life in this universe. It goes something like this. If these objects weren’t nice and regular we would not be able to understand and describe them; we can see/understand only the elegant and beautiful ones. I do not consider this answer good enough though there is something in it. So the search is also on for ugly brutes of mathematical objects.
Also this anthropomorphic argument raises the subsidiary question of why we can only understand/describe beautiful/regular things. There are aspects of (Kolmogorov) complexity and information theory involved here."
волей судьбы нашёл статью, в которой впервые рассмотрены пушауты и пулбэки: всего-то 62 года назад,
B. Eckmann, P. J. Hilton "Group-like structures in general categories II equalizers, limits, lengths" (Mathematische Annalen, 1963)
https://link.springer.com/article/10.1007/BF01344176
Пушаут диаграммы
A <-f- B -g-> C
назывался "объединение морфизмов f и g", а пулбэк двух морфизмов
A -f-> B <-g- C —
"пересечение f и g".
В той же статье введены уравнители ("левые уравнители"), коуравнители ("правые уравнители"), ядра и коядра.
Пределы и копределы (т.е., "обратные пределы" и "прямые пределы") уже были введены Каном, одновременно с сопряжёнными функторами ("Adjoint functors", 1958). Но у Экманна и Хилтона слегка другое определение (предел берётся не у диаграммы, а у набора морфизмов; между такими штуками чуть больше отображений).
——————————————
Ещё узнал забавное понятие "гомотопической системы" (даётся со ссылкой на Kan "Abstract homotopy II", 1956) — видимо, ранняя попытка устроить что-то вроде модельных категорий.
Определение. Левая гомотопическая система в категории C — это следующий набор данных:
(i) "Функтор взятия цилиндра" Z:C->C, уважающий копроизведения,
(ii) три естественные преобразования функторов
t:Id_C->Z, b:Id_C->Z, p:Z->Id_C,
такие что p o t = p o b = id: Id_C->Id_C.
Тогда: две стрелки f,g:A->B гомотопны в C, если найдётся стрелка F:Z(A)->B такая, что F o b_A = f и F o t_A = g.
(+Надо либо добавить аксиомы, гарантирующие, что это будет отношением эквивалентности, либо породить отношение эквивалентности) ~> определена соответствующая "гомотопическая категория".
———————————
А вдохновлено это всё попытками изучать групповые объекты в произвольных категориях (и не только групповые; например, унитальные магмы, т.е. аналоги H-пространств), и штуками вроде категории Люстерника—Шнирельмана + соответствующих оценок на нильпотентность...:
We have stated that, from the point of view of this paper, the notions of
equalizer, intersection, union, and direct and inverse limit discussed in the first two sections are in the nature of necessary preparation for the subsequent notions of length and weak length. However, we believe that they are basic to any development of category theory, and they will recur very frequently and prominently in paper III of the series and in subsequent contributions to abstract homotopy theory
P.S. Кстати, на страничке https://en.wikipedia.org/wiki/Timeline_of_category_theory_and_related_mathematics эта статья не упоминается — потому что теорем мало) только определения, причём частные случаи уже существующих
B. Eckmann, P. J. Hilton "Group-like structures in general categories II equalizers, limits, lengths" (Mathematische Annalen, 1963)
https://link.springer.com/article/10.1007/BF01344176
Пушаут диаграммы
A <-f- B -g-> C
назывался "объединение морфизмов f и g", а пулбэк двух морфизмов
A -f-> B <-g- C —
"пересечение f и g".
В той же статье введены уравнители ("левые уравнители"), коуравнители ("правые уравнители"), ядра и коядра.
Пределы и копределы (т.е., "обратные пределы" и "прямые пределы") уже были введены Каном, одновременно с сопряжёнными функторами ("Adjoint functors", 1958). Но у Экманна и Хилтона слегка другое определение (предел берётся не у диаграммы, а у набора морфизмов; между такими штуками чуть больше отображений).
——————————————
Ещё узнал забавное понятие "гомотопической системы" (даётся со ссылкой на Kan "Abstract homotopy II", 1956) — видимо, ранняя попытка устроить что-то вроде модельных категорий.
Определение. Левая гомотопическая система в категории C — это следующий набор данных:
(i) "Функтор взятия цилиндра" Z:C->C, уважающий копроизведения,
(ii) три естественные преобразования функторов
t:Id_C->Z, b:Id_C->Z, p:Z->Id_C,
такие что p o t = p o b = id: Id_C->Id_C.
Тогда: две стрелки f,g:A->B гомотопны в C, если найдётся стрелка F:Z(A)->B такая, что F o b_A = f и F o t_A = g.
(+Надо либо добавить аксиомы, гарантирующие, что это будет отношением эквивалентности, либо породить отношение эквивалентности) ~> определена соответствующая "гомотопическая категория".
———————————
А вдохновлено это всё попытками изучать групповые объекты в произвольных категориях (и не только групповые; например, унитальные магмы, т.е. аналоги H-пространств), и штуками вроде категории Люстерника—Шнирельмана + соответствующих оценок на нильпотентность...:
We have stated that, from the point of view of this paper, the notions of
equalizer, intersection, union, and direct and inverse limit discussed in the first two sections are in the nature of necessary preparation for the subsequent notions of length and weak length. However, we believe that they are basic to any development of category theory, and they will recur very frequently and prominently in paper III of the series and in subsequent contributions to abstract homotopy theory
P.S. Кстати, на страничке https://en.wikipedia.org/wiki/Timeline_of_category_theory_and_related_mathematics эта статья не упоминается — потому что теорем мало) только определения, причём частные случаи уже существующих
SpringerLink
Group-like structures in general categories II equalizers, limits, lengths
Mathematische Annalen -
сладко стянул
волей судьбы нашёл статью, в которой впервые рассмотрены пушауты и пулбэки: всего-то 62 года назад, B. Eckmann, P. J. Hilton "Group-like structures in general categories II equalizers, limits, lengths" (Mathematische Annalen, 1963) https://link.springer.c…
Forwarded from Zenzeli
Вот в очередной раз убеждаюсь что если в математическом исследовании встречается интеграл который вам удается взять -- то это против бога, даже если получится взять разум только помутнеет от этого. Если встречается сложный интеграл то надо искать тайную структуру (чаще всего она симплектическая) и вычислять с помощью локализации Дюйстермаата-Хекмана.
Так вот, я теперь знаю какие ожидаемые значения диагоналей у случайного полигона (со всеми длинами ребер 1) в R^3.
возьмем правильный n-угольник выберем на нем точку и проведем из нее n-3 диагоналей. теперь мы хотим приписать диагоналям положительные действительные числа так чтобы все неравенства треугольников удовлеторялись (задать полиэдральную метрику если хотите). все такие наборы чисел задают выпуклый политоп в R^+_{n-3}. Координаты его центра масс и есть средние значения диагоналей.
[секретно этот политоп это конечно образ отображения моментов действия тора ассоциированного к триангуляции -- bending flow]
Так вот, я теперь знаю какие ожидаемые значения диагоналей у случайного полигона (со всеми длинами ребер 1) в R^3.
возьмем правильный n-угольник выберем на нем точку и проведем из нее n-3 диагоналей. теперь мы хотим приписать диагоналям положительные действительные числа так чтобы все неравенства треугольников удовлеторялись (задать полиэдральную метрику если хотите). все такие наборы чисел задают выпуклый политоп в R^+_{n-3}. Координаты его центра масс и есть средние значения диагоналей.
[секретно этот политоп это конечно образ отображения моментов действия тора ассоциированного к триангуляции -- bending flow]
Метаморфозы текстов под действием журналистов (на примере интервью Окунькова "Афише" 10-летней давности):
https://www.math.columbia.edu/~okounkov/Najdi10otlichij.html
Думал детально сравнить исходный текст с итоговым
https://daily.afisha.ru/archive/gorod/people/fildsovskiy-laureat-andrey-okunkov-o-tom-gde-uchitsya-matematike/
, но изменений что-то уж совсем много.
Например, изначально Окуньков ответил вот так на вот такой вопрос:
- Что изменилось в российском математическом образовании? Раньше считалось, что оно качественное, но ужасно консервативное, что студенты могут знать наизусть Фихтенгольца, но до пятого курса так и не открыть ни одной свежей научной статьи. Это меняется? А вы чего хотели бы добиться?
- Да нет, никто никогда учебников наизусть не учил, даже таких великолепных как книга В. А. Зорича, да и по числу и современности спецкурсов и семинаров для студентов наши факультеты математики далеко опережали университеты США. Кстати, чтение свежих научных статей это, конечно, похвальное занятие для студентов, но также стоит обратить внимание на хорошее знание основ и классики. Это, в каком-то смысле, особенно актуально в мире современных информационных технологий, которые, на данный момент по крайней мере, норовят познакомить всех интересующихся предметом с новейшими сочинениями на любую заданную тему. Увы, мысли классиков, ясные и зачастую более глубокие, редко высвечиваются первыми в поисковых системах.
вместо этого ответа появился фрагмент:
- Насколько соответствует действительности стереотип, что студенты-математики в США слабее российских?
- На самом деле в Америке так много людей идут в высшие учебные заведения, что «студент» становится очень размытым понятием. Там тысячи университетов, среди них есть Принстон и Гарвард, а есть условный University of Nowhere, где учатся люди, которых интересует только американский футбол. В США есть много студентов, которые рассматривают свое обучение как четыре года непрерывной вечеринки, а есть те, что пришли за знанием. К слову, и в России ведь ситуация похожая. Так вот, если говорить о тех, кто пришел за знаниями, им действительно часто не хватает некой образовательной базы. Американским студентам, которые учатся на математиков, приходится прослушать очень много других курсов вроде какой-нибудь истории литературы, на собственно математику у них остается сильно меньше половины времени — а на том же мехмате МГУ математические курсы занимают чуть ли не 90 процентов программы. Если не ошибаюсь, в Принстоне можно получить диплом математика, прослушав десять семестровых курсов, у нас примерно столько слушают на первом курсе. В итоге уровень людей до аспирантуры, в общем-то, ниже, чем у наших студентов хороших вузов, но в аспирантуре — те, кто в нее пошел, — они это как-то наверстывают.
Ещё из ответов Окунькова пропали:
- "Математический аквариум" Уфнаровского
- похвала математическим олимпиадам
- Зорич, Галилей и Мотидзуки
вместо этого в интервью появились:
- исторический анекдот про Колмогорова, Гельфанда и Арнольда
- сравнение с залезанием в горы
- Пикассо и Перельман
То есть он ещё поотвечал на вопросы после того, как послал изначальные ответы и/или интервьюер приписал ему какие-то мысли из ниоткуда?! (Видимо, скорее второе, раз Окуньков недоволен результатом; интервью, которыми он доволен, есть тут.)
https://www.math.columbia.edu/~okounkov/Najdi10otlichij.html
Думал детально сравнить исходный текст с итоговым
https://daily.afisha.ru/archive/gorod/people/fildsovskiy-laureat-andrey-okunkov-o-tom-gde-uchitsya-matematike/
, но изменений что-то уж совсем много.
Например, изначально Окуньков ответил вот так на вот такой вопрос:
- Что изменилось в российском математическом образовании? Раньше считалось, что оно качественное, но ужасно консервативное, что студенты могут знать наизусть Фихтенгольца, но до пятого курса так и не открыть ни одной свежей научной статьи. Это меняется? А вы чего хотели бы добиться?
- Да нет, никто никогда учебников наизусть не учил, даже таких великолепных как книга В. А. Зорича, да и по числу и современности спецкурсов и семинаров для студентов наши факультеты математики далеко опережали университеты США. Кстати, чтение свежих научных статей это, конечно, похвальное занятие для студентов, но также стоит обратить внимание на хорошее знание основ и классики. Это, в каком-то смысле, особенно актуально в мире современных информационных технологий, которые, на данный момент по крайней мере, норовят познакомить всех интересующихся предметом с новейшими сочинениями на любую заданную тему. Увы, мысли классиков, ясные и зачастую более глубокие, редко высвечиваются первыми в поисковых системах.
вместо этого ответа появился фрагмент:
- Насколько соответствует действительности стереотип, что студенты-математики в США слабее российских?
- На самом деле в Америке так много людей идут в высшие учебные заведения, что «студент» становится очень размытым понятием. Там тысячи университетов, среди них есть Принстон и Гарвард, а есть условный University of Nowhere, где учатся люди, которых интересует только американский футбол. В США есть много студентов, которые рассматривают свое обучение как четыре года непрерывной вечеринки, а есть те, что пришли за знанием. К слову, и в России ведь ситуация похожая. Так вот, если говорить о тех, кто пришел за знаниями, им действительно часто не хватает некой образовательной базы. Американским студентам, которые учатся на математиков, приходится прослушать очень много других курсов вроде какой-нибудь истории литературы, на собственно математику у них остается сильно меньше половины времени — а на том же мехмате МГУ математические курсы занимают чуть ли не 90 процентов программы. Если не ошибаюсь, в Принстоне можно получить диплом математика, прослушав десять семестровых курсов, у нас примерно столько слушают на первом курсе. В итоге уровень людей до аспирантуры, в общем-то, ниже, чем у наших студентов хороших вузов, но в аспирантуре — те, кто в нее пошел, — они это как-то наверстывают.
Ещё из ответов Окунькова пропали:
- "Математический аквариум" Уфнаровского
- похвала математическим олимпиадам
- Зорич, Галилей и Мотидзуки
вместо этого в интервью появились:
- исторический анекдот про Колмогорова, Гельфанда и Арнольда
- сравнение с залезанием в горы
- Пикассо и Перельман
То есть он ещё поотвечал на вопросы после того, как послал изначальные ответы и/или интервьюер приписал ему какие-то мысли из ниоткуда?! (Видимо, скорее второе, раз Окуньков недоволен результатом; интервью, которыми он доволен, есть тут.)
www.math.columbia.edu
Найди 10 отличий
