Как разложить F:=X³+Y³+Z³-3XYZ на множители? Вот несколько возможных подходов.
1) Если поверить, что это возможно, то один из множителей линейный. Проверим, делится ли это выражение на симметричный линейный множитель, X+Y+Z. Ну, если X+Y+Z=0, то Z=-(X+Y) и X³+Y³+Z³=X³+Y³-(X+Y)³=-3X²Y-3XY²=-3XY(X+Y)=3XYZ. То есть X³+Y³+Z³-3XYZ=0 (mod X+Y+Z). Дальше можно разделить F на X+Y+Z в столбик просто.
2) Насколько X³+Y³+Z³ отличается от (X+Y+Z)³? X³+Y³+Z³=(X+Y+Z)³-3(X+Y+Z)(XY+YZ+ZX)+3XYZ (можно сказать, что мы выразили левую часть через элементарные симметрические многочлены). Видим, что F=(X+Y+Z)((X+Y+Z)²-3(XY+YZ+ZX))=(X+Y+Z)(X²+Y²+Z²-XY-YZ-ZX).
Дальше на этом пути можно пытаться выразить суммы n-х степеней через элементарные симметрические (“формулы Ньютона”).
3) F — определитель матрицы |X Y Z| |Z X Y| |Y Z X| Если прибавить к первой строке две остальные, то видно, что он делится на (X+Y+Z). Оставшийся определитель легко посчитать, но можно вместо этого заметить, что по аналогичной причине определитель делится на (X+wY+w²Z) и (X+w²Y+wZ), где w — кубический корень из 1.
Это вычисление несложно обобщить на определитель F_n матрицы X_{i-j mod n}. Но на этом история не заканчивается, скорее только начинается. И это история про Фробениуса и теорию представлений конечных групп — можно посмотреть по этому поводу текст K.Conrad’а, https://kconrad.math.uconn.edu/articles/groupdet.pdf
Как разложить F:=X³+Y³+Z³-3XYZ на множители? Вот несколько возможных подходов.
1) Если поверить, что это возможно, то один из множителей линейный. Проверим, делится ли это выражение на симметричный линейный множитель, X+Y+Z. Ну, если X+Y+Z=0, то Z=-(X+Y) и X³+Y³+Z³=X³+Y³-(X+Y)³=-3X²Y-3XY²=-3XY(X+Y)=3XYZ. То есть X³+Y³+Z³-3XYZ=0 (mod X+Y+Z). Дальше можно разделить F на X+Y+Z в столбик просто.
2) Насколько X³+Y³+Z³ отличается от (X+Y+Z)³? X³+Y³+Z³=(X+Y+Z)³-3(X+Y+Z)(XY+YZ+ZX)+3XYZ (можно сказать, что мы выразили левую часть через элементарные симметрические многочлены). Видим, что F=(X+Y+Z)((X+Y+Z)²-3(XY+YZ+ZX))=(X+Y+Z)(X²+Y²+Z²-XY-YZ-ZX).
Дальше на этом пути можно пытаться выразить суммы n-х степеней через элементарные симметрические (“формулы Ньютона”).
3) F — определитель матрицы |X Y Z| |Z X Y| |Y Z X| Если прибавить к первой строке две остальные, то видно, что он делится на (X+Y+Z). Оставшийся определитель легко посчитать, но можно вместо этого заметить, что по аналогичной причине определитель делится на (X+wY+w²Z) и (X+w²Y+wZ), где w — кубический корень из 1.
Это вычисление несложно обобщить на определитель F_n матрицы X_{i-j mod n}. Но на этом история не заканчивается, скорее только начинается. И это история про Фробениуса и теорию представлений конечных групп — можно посмотреть по этому поводу текст K.Conrad’а, https://kconrad.math.uconn.edu/articles/groupdet.pdf
BY Непрерывное математическое образование
Warning: Undefined variable $i in /var/www/group-telegram/post.php on line 260
And while money initially moved into stocks in the morning, capital moved out of safe-haven assets. The price of the 10-year Treasury note fell Friday, sending its yield up to 2% from a March closing low of 1.73%. If you initiate a Secret Chat, however, then these communications are end-to-end encrypted and are tied to the device you are using. That means it’s less convenient to access them across multiple platforms, but you are at far less risk of snooping. Back in the day, Secret Chats received some praise from the EFF, but the fact that its standard system isn’t as secure earned it some criticism. If you’re looking for something that is considered more reliable by privacy advocates, then Signal is the EFF’s preferred platform, although that too is not without some caveats. In the past, it was noticed that through bulk SMSes, investors were induced to invest in or purchase the stocks of certain listed companies. The channel appears to be part of the broader information war that has developed following Russia's invasion of Ukraine. The Kremlin has paid Russian TikTok influencers to push propaganda, according to a Vice News investigation, while ProPublica found that fake Russian fact check videos had been viewed over a million times on Telegram. The gold standard of encryption, known as end-to-end encryption, where only the sender and person who receives the message are able to see it, is available on Telegram only when the Secret Chat function is enabled. Voice and video calls are also completely encrypted.
from us
