#геом_разминка
Задача. Дан равносторонний треугольник 𝐴𝐵𝐶 с центром 𝑂. Прямая, проходящая через вершину 𝐶, пересекает описанную окружность треугольника 𝐴𝑂𝐵 в точках 𝐷 и 𝐸. Докажите, что точки 𝐴, 𝑂 и середины отрезков 𝐵𝐷 и 𝐵𝐸 лежат на одной окружности.
Задача. Дан равносторонний треугольник 𝐴𝐵𝐶 с центром 𝑂. Прямая, проходящая через вершину 𝐶, пересекает описанную окружность треугольника 𝐴𝑂𝐵 в точках 𝐷 и 𝐸. Докажите, что точки 𝐴, 𝑂 и середины отрезков 𝐵𝐷 и 𝐵𝐸 лежат на одной окружности.
#геом_разминка
Задача. Про выпуклый четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 известно, что ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐴𝐶𝐷 и ∠𝐴𝐷𝐶 = ∠𝐴𝐶𝐵. Точки 𝑋 и 𝑌 — проекции точки 𝐴 на прямые 𝐵𝐶 и 𝐶𝐷. Докажите, что ортоцентр треугольника 𝐴𝑋𝑌 лежит на прямой 𝐵𝐷.
Задача. Про выпуклый четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 известно, что ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐴𝐶𝐷 и ∠𝐴𝐷𝐶 = ∠𝐴𝐶𝐵. Точки 𝑋 и 𝑌 — проекции точки 𝐴 на прямые 𝐵𝐶 и 𝐶𝐷. Докажите, что ортоцентр треугольника 𝐴𝑋𝑌 лежит на прямой 𝐵𝐷.
#геом_разминка
Задача. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 (∠𝐴 = 90°). Точка 𝑀 на отрезке 𝐴𝐶 выбрана произвольным образом. Пусть 𝑃 ,𝑄 — основания перпендикуляров из 𝐴 и 𝐶 на прямую 𝐵𝑀 соответственно. Докажите, что 𝐵𝑃 = 𝑃𝑄 + 𝑄𝐶.
Задача. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 (∠𝐴 = 90°). Точка 𝑀 на отрезке 𝐴𝐶 выбрана произвольным образом. Пусть 𝑃 ,𝑄 — основания перпендикуляров из 𝐴 и 𝐶 на прямую 𝐵𝑀 соответственно. Докажите, что 𝐵𝑃 = 𝑃𝑄 + 𝑄𝐶.
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
#разминка #в_стране_чудес
Задача. Шляпник выложил на прилавок 100 шляп в форме квадрата 10 на 10 и спрятал под двумя соседними из них по сладкому вишневому пирожку. Как мы помним из прошлых разминок Алиса — сладкоежка. Она очень хочет съесть оба спрятанных пирожка гарантировано. Но чтобы съесть пирожок Алисе нужно купить шляпу, которая этот пирожок накрывает. Какое минимальное число денег придется потратить Алисе, если все шляпы стоят одинаково по одному тугрику?
Задача. Шляпник выложил на прилавок 100 шляп в форме квадрата 10 на 10 и спрятал под двумя соседними из них по сладкому вишневому пирожку. Как мы помним из прошлых разминок Алиса — сладкоежка. Она очень хочет съесть оба спрятанных пирожка гарантировано. Но чтобы съесть пирожок Алисе нужно купить шляпу, которая этот пирожок накрывает. Какое минимальное число денег придется потратить Алисе, если все шляпы стоят одинаково по одному тугрику?
#разминка
Задача. Сто медвежат нашли в лесу ягоды: самый младший успел схватить 1 ягоду, медвежонок постарше — 2 ягоды, следующий — 4 ягоды, и так далее, самому старшему досталось 2⁹⁹ ягод. Лиса предложила им поделить ягоды "по справедливости". Она может подойти к двум медвежатам и распределить их ягоды поровну между ними, а если при этом возникает лишняя ягода, то лиса её съедает. Такие действия она продолжает до тех пор, пока у всех медвежат не станет ягод поровну. Какое наименьшее количество ягод может оставить медвежатам лиса?
Задача. Сто медвежат нашли в лесу ягоды: самый младший успел схватить 1 ягоду, медвежонок постарше — 2 ягоды, следующий — 4 ягоды, и так далее, самому старшему досталось 2⁹⁹ ягод. Лиса предложила им поделить ягоды "по справедливости". Она может подойти к двум медвежатам и распределить их ягоды поровну между ними, а если при этом возникает лишняя ягода, то лиса её съедает. Такие действия она продолжает до тех пор, пока у всех медвежат не станет ягод поровну. Какое наименьшее количество ягод может оставить медвежатам лиса?
#геом_разминка
Задача. На сторонах четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 с перпендикулярными диагоналями во внешнюю сторону построены подобные треугольники 𝐴𝐵𝑀, 𝐶𝐵𝑃, 𝐶𝐷𝐿 и 𝐴𝐷𝐾 (соседние ориентированы по-разному). Докажите, что 𝑃𝐾 = 𝑀𝐿.
Задача. На сторонах четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 с перпендикулярными диагоналями во внешнюю сторону построены подобные треугольники 𝐴𝐵𝑀, 𝐶𝐵𝑃, 𝐶𝐷𝐿 и 𝐴𝐷𝐾 (соседние ориентированы по-разному). Докажите, что 𝑃𝐾 = 𝑀𝐿.
#геом_разминка
Задача. Дан квадрат 𝐴𝐵𝐶𝐷, на его сторонах 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 отмечены точки 𝑋 и 𝑌 так, что 𝐴𝑋 : 𝑋𝐵 = 1 : 2 и 𝐵𝑌 : 𝑌𝐶 = 1 : 1. Докажите, что точка 𝐷 лежит на биссектрисе угла 𝐴𝑋𝑌.
Задача. Дан квадрат 𝐴𝐵𝐶𝐷, на его сторонах 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 отмечены точки 𝑋 и 𝑌 так, что 𝐴𝑋 : 𝑋𝐵 = 1 : 2 и 𝐵𝑌 : 𝑌𝐶 = 1 : 1. Докажите, что точка 𝐷 лежит на биссектрисе угла 𝐴𝑋𝑌.
#геом_разминка
Задача. Внутри параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 выбрана точка 𝐾 так, что середина стороны 𝐴𝐵 равноудалена от точек 𝐾 и 𝐷, а середина стороны 𝐴𝐷 равноудалена от точек 𝐾 и 𝐵. Точка 𝑁 — середина отрезка 𝐶𝐾. Докажите, что углы 𝑁𝐵𝐾 и 𝑁𝐷𝐾 равны.
Задача. Внутри параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 выбрана точка 𝐾 так, что середина стороны 𝐴𝐵 равноудалена от точек 𝐾 и 𝐷, а середина стороны 𝐴𝐷 равноудалена от точек 𝐾 и 𝐵. Точка 𝑁 — середина отрезка 𝐶𝐾. Докажите, что углы 𝑁𝐵𝐾 и 𝑁𝐷𝐾 равны.
#геом_разминка
Задача. Остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 вписан в окружность с центром 𝑂. Касательная к описанной окружности треугольника 𝐵𝑂𝐶 пересекает стороны 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝐷 и 𝐸 соответственно. Обозначим через 𝐴′ точку, симметричную 𝐴 относительно 𝐷𝐸. Докажите, что описанная окружность треугольника 𝐴′𝐷𝐸 касается описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶.
Задача. Остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 вписан в окружность с центром 𝑂. Касательная к описанной окружности треугольника 𝐵𝑂𝐶 пересекает стороны 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝐷 и 𝐸 соответственно. Обозначим через 𝐴′ точку, симметричную 𝐴 относительно 𝐷𝐸. Докажите, что описанная окружность треугольника 𝐴′𝐷𝐸 касается описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶.
#геом_разминка
Задача. На стороне 𝐶𝐷 ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷 нашлась такая точка 𝐾, что 𝐴𝐷 = 𝐵𝐾. Пусть 𝐹 – точка пересечения диагонали 𝐵𝐷 и серединного перпендикуляра к стороне 𝐵𝐶. Докажите, что точки 𝐴, 𝐹 и 𝐾 лежат на одной прямой.
Задача. На стороне 𝐶𝐷 ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷 нашлась такая точка 𝐾, что 𝐴𝐷 = 𝐵𝐾. Пусть 𝐹 – точка пересечения диагонали 𝐵𝐷 и серединного перпендикуляра к стороне 𝐵𝐶. Докажите, что точки 𝐴, 𝐹 и 𝐾 лежат на одной прямой.
#геом_разминка
Иван Андреевич недавно разбирал свои архивы 📚 и наткнулся там на задачку, которую придумал еще школьником. Предлагаем вам порешать ее:)
Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶. Диаметры 𝐴𝐴₁ и 𝐶𝐶₁ его описанной окружности пересекают стороны 𝐵𝐶 и 𝐵𝐴 соответствено в точках 𝐴₂ и 𝐶₂. Докажите, что 𝐴₁𝐶₂ и 𝐶₁𝐴₂ пересекаются на высоте треугольника 𝐴𝐵𝐶.
Желаем и вам побольше приятных находок 🔍
Иван Андреевич недавно разбирал свои архивы 📚 и наткнулся там на задачку, которую придумал еще школьником. Предлагаем вам порешать ее:)
Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶. Диаметры 𝐴𝐴₁ и 𝐶𝐶₁ его описанной окружности пересекают стороны 𝐵𝐶 и 𝐵𝐴 соответствено в точках 𝐴₂ и 𝐶₂. Докажите, что 𝐴₁𝐶₂ и 𝐶₁𝐴₂ пересекаются на высоте треугольника 𝐴𝐵𝐶.
Желаем и вам побольше приятных находок 🔍
#геом_разминка
Задача. Диагонали выпуклого четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 равны и пересекаются в точке 𝑂. Точка 𝑃 внутри треугольника 𝐴𝑂𝐷 такова, что 𝐶𝐷 ‖ 𝐵𝑃 и 𝐴𝐵 ‖ 𝐶𝑃 . Докажите, что точка 𝑃 лежит на биссектрисе угла ∠𝐴𝑂𝐷.
Задача. Диагонали выпуклого четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 равны и пересекаются в точке 𝑂. Точка 𝑃 внутри треугольника 𝐴𝑂𝐷 такова, что 𝐶𝐷 ‖ 𝐵𝑃 и 𝐴𝐵 ‖ 𝐶𝑃 . Докажите, что точка 𝑃 лежит на биссектрисе угла ∠𝐴𝑂𝐷.
⚡️Команда «Фулл и точка» авторов нашего канала победила 🥇 в квесте «Интеграл по городу»
🥈Второе место заняла команда Алексея Савватеева «Вездеход»
«Интеграл по городу» — это математический квест в рамках проекта «Бегущий город», где участникам предлагается пройти порядка 100 контрольных пунктов, решая задачи.
Контрольные пункты🗺 разбросаны по всему городу и перемещаться между ними нужно пешком. Так что участников ждали сложности не только математические 🧮 , но и физические 💪
«Интеграл по городу» ежегодно проходит в Майкопе параллельно с Кавказской математической олимпиадой
Мы соревновались в категории «Лобачевский», это наиболее трудная дистанция. Старт был дан в 10:00, а финишировать нужно в 18:30 ⏰
Большое спасибо организаторам квеста, было круто, всем советуем поучаствовать!!
Несколько задач квеста будут ждать вас в разминках! Не пропустите!
🥈Второе место заняла команда Алексея Савватеева «Вездеход»
«Интеграл по городу» — это математический квест в рамках проекта «Бегущий город», где участникам предлагается пройти порядка 100 контрольных пунктов, решая задачи.
Контрольные пункты
«Интеграл по городу» ежегодно проходит в Майкопе параллельно с Кавказской математической олимпиадой
Мы соревновались в категории «Лобачевский», это наиболее трудная дистанция. Старт был дан в 10:00, а финишировать нужно в 18:30 ⏰
Большое спасибо организаторам квеста, было круто, всем советуем поучаствовать!!
Несколько задач квеста будут ждать вас в разминках! Не пропустите!
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
#разминка #интеграл_по_городу
Вот одна из задач "Интеграла по городу". Мы не решили, а вы справитесь?
Задача. Нарисуйте 15-угольник у которого все углы кратны 45 градусам и которым можно замостить плоскость.
Вот одна из задач "Интеграла по городу". Мы не решили, а вы справитесь?
Задача. Нарисуйте 15-угольник у которого все углы кратны 45 градусам и которым можно замостить плоскость.
#геом_разминка
Задача. В четырехугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 углы 𝐴, 𝐵 и 𝐶 равны. Докажите, что 𝐷 лежит на прямой Эйлера треугольника 𝐴𝐵𝐶.
Задача. В четырехугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 углы 𝐴, 𝐵 и 𝐶 равны. Докажите, что 𝐷 лежит на прямой Эйлера треугольника 𝐴𝐵𝐶.