Очень красивая задача с командной олимпиады сеньоров с Колма, который идет прямо сейчас.
Биссектрисы AA1, BB1, CC1 неравнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке I. Впи-
санная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке A2. Окружность ωa проходит
через точки A1, A2 и середину отрезка AI. Окружности ωb и ωc определяются аналогично. Докажите,
что центры окружностей ωa, ωb, ωc лежат на одной прямой.

Разминка дня №36

#колм

Публикуем задачи первого тура кубка Колмогорова. Обсудить их вы можете в комментариях👇

Задача. Внутри остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶, в котором ∠𝐴 = 60°, выбирается переменная точка 𝑃 так, что ∠𝐵𝑃𝐶 = 120°. Точки 𝑃₂, 𝑃₃ симметричны точке 𝑃 относительно сторон 𝐴𝐶, 𝐴𝐵 соответственно. Прямые 𝐵𝑃₂ , 𝐶𝑃₃ пересекаются в точке 𝑄. Докажите, что описанная окружность треугольника 𝐴𝑃𝑄 проходит через точку, отличную от 𝐴 и не зависящую от выбора 𝑃 .

Обобщение задачи выше. Дан треугольник ABC и точка P. Точки P_a,P_b,P_c симметричны точке P относительно сторон ABC. Оказалось, что AP_a,BP_b,CP_c пересекаются в точке Q. Докажите, что T_1,T_2,P,Q лежат на одной окружности, где T_1,T_2 точки Торричелли.

Еще одна задача с колма. Без картинки.
Дан вписанный пятиугольник P1P2P3P4P5; положим P6 = P1 и P0 = P5. При k = 1, 2, 3, 4, 5
обозначим через Ik центр вписанной окружности треугольника Pk−1PkPk+1. Оказалось, что пяти-
угольник I1I2I3I4I5 также является вписанным. Докажите, что прямые P1I1, P2I2, P3I3, P4I4 и P5I5
пересекаются в одной точке.

По мотивам задачи с Юниорской Высшей лиги 1 тура.

#колм

Сегодня на кубке Колмогорова 🏆 прошли вторые туры матбоев. Присоединяйтесь к обсуждению матчей и задач в комментариях👇

Задача. Точки 𝐻 и 𝑂 – ортоцентр и центр описанной окружности остроугольного неравнобедренного треугольника 𝐴𝐵𝐶 соответственно. Точки 𝑃 и 𝑄 выбраны на описанной окружности 𝜔 так, что ∠𝐵𝑃𝐻 = ∠𝐶𝑄𝐻 = 90°. Пусть прямая 𝑃𝑄 пересекает касательную к 𝜔, проведенную в точке 𝐴, в точке 𝑆, а отрезки 𝑂𝑃 и 𝑂𝑄 пересекают отрезки 𝐵𝐻 и 𝐶𝐻 в точках 𝑋 и 𝑌 соответственно. Докажите, что 𝑂𝑆 ‖ 𝑋𝑌.

#колм #красота_спасет_мир

Подошел к концу третий день турнира Колмогорова, и мы, как обычно, радуем вас задачами с него 💥

Задача. На сторонах 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 и 𝐴𝐵 треугольника 𝐴𝐵𝐶 выбраны точки 𝐴₁, 𝐵₁ и 𝐶₁ соответственно. Четырёхугольники 𝐴𝐵₁𝐴₁𝐶₁, 𝐵𝐶₁𝐵₁𝐴₁ и 𝐶𝐴₁𝐶₁𝐵₁ описаны около окружностей с центрами 𝐼𝑎, 𝐼𝑏 и 𝐼𝑐 соответственно. Докажите, что площади треугольников 𝐴₁𝐵₁𝐶₁ и 𝐼𝑎𝐼𝑏𝐼𝑐 отличаются в четыре раза.

#геометрия #задача

Прямая, проходящая через ортоцентр треугольника ABC пересекает его стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Сторона BC, перпендикуляр к AB в точке D и перпендикуляр к AC в точке E образуют треугольник T. Докажите, что описанные окружности треугольников T и ABC касаются.

O,H — центр описанной окружности и ортоцентр треугольника ABC. Площади закрашенных треугольников равны.

Замкнутая четырехзвенная ломаная описана вокруг сферы. Доказать, что точки касания лежат в одной плоскости.

// П.Пушкарь напомнил такую задачу с ММО-1950

а) Пусть 4 окружности на плоскости касаются друг друга по циклу (внешним образом). Доказать, что точки касания лежат на одной окружности.

б) То же не на плоскости, а на сфере.

в) Вывести отсюда предыдущую задачу.

// по мотивам обсуждения в комментариях

Прямые одного цвета перпендикулярны. Докажите касание пунктирных окружностей.

#геом_разминка

Задача. Внутри квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 взята точка 𝑃 такая, что 𝐴𝑃 : 𝐵𝑃 : 𝐶𝑃 = 1 : 2 : 3. Найдите угол 𝐴𝑃𝐵.

Пусть никакие трудности вас не пошатнут 🗿

статья А.Заславского и С.Маркелова «Трисекция угла и другие классические задачи» (Квант №9 за 2024 год)

обсуждается трисекция с помощью коник и проч., по мотивам проекта на ЛКТГ

Свежий взгляд на старое.

Два разных замощения плоскости (спиралевидное и кольцеобразное) копиями многоугольника, изображенного сверху, из книги Грюнбаума и Шепарда "Замощения и орнаменты"

Эта замечательная задача давно стала классикой — выдал ее на занятии на этой неделе. Весной этой задаче исполнится 30 лет.

Ее автор Сергей Маркелов, замечательный человек, которого сегодня увы не стало.

S.Markelov. Circles and parabolas

// А.Акопян пишет: «В книжке с картинками есть целая серия задач про параболы, для которых выполняются классические теоремы про окружности. Мало кто знает, но этот трюк обнаружил Серёжа. Сейчас это уже является базой для продвинутых олимпиадных геометров, но тогда это было полной неожиданностью.»