#физика

На следующей неделе мы опубликуем ролик «Косинус разности и вечный двигатель», в котором доказываем формулу косинуса разности, исходя из утверждения о невозможности вечного двигателя.

Предлагаем нашим подписчикам в Boosty посмотреть этот выпуск прямо сейчас!

[Поддержите нас]

#physics
#физика

Если у вас есть большая морская раковина, приставьте её к уху, оставив небольшую щель, и вы услышите «шум моря». Ну, а если вам не повезло, и раковины нет, замените её обычной стеклянной банкой — «шум моря» будет ничуть не хуже, поэтому закрадывается подозрение, что море здесь не при чём. Прижмите банку вплотную к голове, и звук пропадёт: банка действует как резонатор, выбирая из внешнего шума какие-то звуки и усиливая их.

Сделаем ещё один простой опыт — возьмём пластиковую бутылку, подуем на край горлышка, и бутылка издаёт низкий однотонный звук. Это явление хорошо описывается моделью, которую предложил в 1863 году в своей книге «Учение о слуховых ощущениях как физиологическая основа для теории музыки» выдающийся немецкий учёный Герман Гельмгольц.

Он рассуждал так: когда бутылка звучит, воздух в горлышке быстро движется, а внутри бутылки он сжимается и расширяется, оставаясь почти неподвижным, и это похоже на колебания груза на пружине. Воздушная «пробка» в горлышке играет роль груза, а воздух внутри сосуда — роль пружины. Когда «пробка» входит внутрь, воздух в сосуде сжимается, давление становится больше атмосферного, и избыточное давление выталкивает «пробку» назад. А когда "пробка" выходит наружу, давление в сосуде понижается, и избыток атмосферного давления заталкивает «пробку» назад. При этом «пробка» каждый раз по инерции проскакивает положение равновесия и совершает периодические колебания.

Из этой модели следует, что квадрат частоты колебаний пропорционален площади поперечного сечения горлышка и обратно пропорционален длине горлышка и объёму сосуда: чем длиннее горлышко, тем больше масса «пробки»; чем больше объём, тем меньше жёсткость воздушной пружины. Мы проверили на опыте зависимость частоты звука от всех трёх параметров — длины горлышка, его сечения и объёма бутылки, и получили хорошее согласие с теорией.

Конечно, воздушная «пробка» существует только в модели, а на деле воздух приходит в движение и рядом с горлышком, и физики в этом случае говорят, что эффективная длина горлышка несколько больше. Ещё в модели предполагается, что давление внутри сосуда всюду одно и то же, и это хорошее приближение: для характерных частот 150 Гц длина звуковой волны составляет 2 метра, что гораздо больше размеров бутылки. Интересно, что в сферических резонаторах, которые сам Гельмгольц использовал в своих исследованиях физиологии слуха, вместо горлышка было сделано обычное отверстие.

Но вернёмся к способности резонатора выделять и усиливать только определённые звуки. Мы включили динамик, опустили внутрь бутылки микрофон и сняли её амплитудно-частотную характеристику. На графике получился достаточно узкий резонансный пик, соответствующий собственной частоте колебаний 210 Гц. Теперь подадим на динамик белый шум с очень широким спектром, и резонатор выделяет звук на частотах, близких к собственной, тот самый «шум моря».

Из резонатора Гельмгольца можно сделать настоящую звуковую ракету. А его главное практическое применение — не усиление, а гашение шума выхлопных систем автомобилей и мотоциклов.

Смотрите наш новый англоязычный ролик «Helmholtz resonator», слушайте шум моря и не забывайте ставить лайки!

P.S. По этой ссылке можно найти русскоязычный выпуск «Резонатор Гельмгольца» на различных платформах.

[Поддержите нас]

#физика

Недавно благодаря нашему другу и активному участнику обсуждений наших роликов Александру Бердникову мы открыли для себя сайт профессора математики Пенсильванского университета Марка Леви с замечательным разделом «Mathematical Curiosities» — «Математические диковинки». И там есть статья, мимо которой мы пройти не смогли, — доказательство формулы косинуса разности на основе принципа невозможности вечного двигателя.

Идея заключается в следующем: работа, совершаемая силой тяжести, не может зависеть от пути, по которому перемещается тело из начальной точки в конечную. Если бы это было не так, мы прошли бы до конечной точки по пути, на котором работа силы тяжести больше, а затем вернулись в исходную точку по другому пути, при этом работа силы тяжести меняет знак на противоположный, но по величине остаётся меньше, чем на первом пути. Тогда при обходе замкнутого контура работа оказывается положительной, и мы получаем вечный двигатель, что невозможно.

А теперь выберем в поле тяжести два специальных пути: пусть один из них проходит по гипотенузе, а другой — по двум катетам прямоугольного треугольника. Приравнивая работу силы тяжести по этим путям, мы легко получаем формулу косинуса разности двух углов!

И тут возникает вопрос: неужели вся тригонометрия выводится из невозможности вечного двигателя? Мы, конечно, знаем, что физика часто помогает математике, но не настолько же! Все тригонометрические соотношения выводятся чисто геометрически из определений основных тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике и теоремы Пифагора. В чём же тут дело?

Смотрите наш новый ролик «Косинус разности и вечный двигатель», размышляйте о взаимосвязи и взаимопроникновении физики и математики и не забывайте ставить лайки!

P.S. По этой ссылке можно найти данный выпуск на различных платформах.

[Поддержите нас]

#physics
#физика

В далёком 2007 году на ХХ Международном турнире юных физиков игралась задача «Духовое ружьё», где надо было исследовать движение снаряда в духовом ружье и определить условия, при которых достигается максимальная скорость, если воздух нагнетается ртом. В общем, почувствовать себя охотниками из тропических стран, стреляющими отравленными колючками.

И мы взяли длинную водопроводную трубу из пластика, зарядили в неё маркер с резиновым наконечником, резкий выдох — и маркер с силой бьёт по мишени! Но мы не просто охотники: во время выстрела мы измерили избыточное давление внутри трубы, создаваемое лёгкими, и в максимуме оно составило 15 килопаскалей или 0,15 атмосферы.

Пусть длина трубы равна L, а её поперечное сечение S. В самой простой модели будем считать, что избыточное давление p остаётся постоянным во время движения снаряда. Тогда сила давления pS совершает на длине трубы работу pSL, которая переходит в кинетическую энергию снаряда mV²/2. Получаем квадрат скорости V² = 2pSL/m. Мы измерили и подставили в эту формулу размеры трубы и массу маркера и расчётная скорость составила 23 м/с. И точно такое же значение скорости было получено в эксперименте!

Как же увеличить скорость вылета? Избыточное давление поднять выше 15 кПа с помощью лёгких не удаётся. Объём трубы SL нельзя сделать больше объёма лёгких, иначе воздуха на выстрел не хватит. На деле это ограничение ещё сильнее, потому что за время выстрела выдуть под постоянным давлением можно только небольшую долю воздуха, запасённого на вдохе. Остаётся уменьшать массу снаряда, и сначала кажется, что за счёт этого можно достичь сколь угодно большой скорости вылета .

Но ведь мы разгоняем не только снаряд, но и воздух в трубке, масса которого равна ρSL. Подставим эту массу в формулу и получаем V² = 2p/ρ. Наша модель даёт предельную скорость вылета 150 м/с — почти половину скорости звука! Трудно поверить, но если дуть изо всей силы через трубочку с тонким соплом, воздух вылетает из неё со скоростью больше 500 км/ч!

Смотрите наш новый англоязычный ролик «Air gun experiments» и не забывайте ставить лайки!

P.S. По этой ссылке можно посмотреть русскоязычный выпуск «Опыты с духовым ружьём» на различных платформах.

[Поддержите нас]

#закадром

Среди прочих проектов, объединенных словом и смыслом GetAClass, мы время от времени делаем программы с исследователями и инженерами — просто чтобы делиться тем энтузиазмом, что часто заполняет пространство между извилинами головного мозга после хороших (порой случайных) разговоров с большими и умными людьми.

На начало 2025 года у нас снято 16 программ цикла «Дайте подумать!» и еще 10 программ цикла «Просто наука» (тут интервью у ученых берут школьники).

Если руки дойдут, то в этом году еще несколько программ «Дайте подумать!» сделаем — типа вот таких, о которых уже в этом канале говорили:

- Григорий Фалькович. Информация к выживанию
- Григорий Фалькович. Сказка сказывается, как теорема доказывается
- Михаил Цодыкс. Вспомнить все
- Андрей Щетников. Свободный художник
- Шимон Левит. Как учить физика
- Эдуард Коркотян. Эволюция сознания
- Ульяна Шиманович. Амилоиды
- Игорь Колоколов. Профессия физик-теоретик
- Игорь Колоколов. Физика атмосферы
- Илья Бетеров. Квантовый компьютер. Часть 1 - Физические принципы
- Илья Бетеров. Квантовый компьютер. Часть 2 - Приложения
- Карл Сабельфельд. Профессия математик

#physics
#физика

Подвесим цепочку за концы к перекладине так, чтобы вниз свисала достаточно длинная петля, при этом ширина петли должна быть немного больше внутреннего диаметра кольца. Держим кольцо двумя пальцами горизонтально, пропускаем сквозь него петлю и поднимаем кольцо наверх. Что произойдёт, если теперь отпустить кольцо?

Кажется, что оно будет скользить вниз по цепочке и упадёт на стол, и обычно так и получается. И вот тут-то и скрыт маленький секрет мастерства — можно отпустить кольцо так, что цепочка завяжется на нём узлом, и кольцо повиснет, не долетев до стола!

А в чём заключается этот секрет, как выглядит движение кольца по цепочке на скоростной съёмке, и при чём здесь теория волн, вы узнаете из нашего нового англоязычного ролика «Chain and ring trick».

P.S. Смотрите также русскоязычную версию «Фокус с цепочкой и кольцом», показывайте его друзьям и близким и не забывайте ставить лайки!

[Поддержите нас]

#закадром

Всем привет!

Представляем вашему вниманию новые рубрики: #щетников и #колчин.

С такими hashtags будем публиковать здесь все посты Андрея и Алексея в сообществах наших YouTube каналов и посты из их соцсетей, имеющие непосредственное отношение к GetAClass.

Читайте, получайте интеллектуальное удовольствие, думайте, спорьте в комментариях и вообще. А Андрей с Алексеем будут ваши комментари читать и отвечать, если будете себя хорошо вести захотят, конечно…

#щетников

Под каким роликом 95% комментариев — это бессмысленный бред доморощенных скептиков?

Конечно же, под этим!

«Физики до сих пор не знают, что такой электрический ток», и всё такое прочее. А ролик получился хороший, и cнят он не для того, чтобы разговаривать с людьми, ничего не понимающими в физике и считающих себя самыми умными, но как простое школьное введение в этот раздел учения об электричестве.

#физика

Молнии, бьющие из грозовых облаков на землю, заряжают «земной конденсатор» и создают электрическое поле земли.

Скоро на наших платформах будет опубликован ролик «Атмосферное электричество».

А нашим подписчикам в Boosty мы предлагаем посмотреть этот выпуск прямо сейчас!

[Поддержите нас]

#щетников

Почему одни живут так, а другие иначе?

Встал сегодня рано, пока завтракал, слушал Любарского, «Почему одни страны богатые, а другие бедные?». Бог с ними, со странами, меня больше интересует вопрос «почему одни команды турнира юных физиков растут и делают успехи, а другие нет?».

И ответ здесь для меня очевиден: растут команды, тренеры которых задумываются, что надо делать, чтобы команда росла, где для тренера именно этот вопрос является приоритетом, с которым согласуется текущая работа. А где этого нет, там нет и роста. Если тренер ставит такую цель, он идёт вперёд сам, участвует в семинарах тренеров, размышляет о том, что он делает - и ведёт за собой команду.

Это не так сильно зависит от полученного им образования (физфак университета или пединститут, хотя образование в плане физики здесь разнится очень сильно), как от сознательной постановки цели и стремления к движению вперёд. А если этого нет, то и на какие-то успехи рассчитывать не приходится. Всё определяется тем, видят ли люди своё будущее или нет. А остальное приложится.

{Иллюстрация предложена ChatGPT в ответ на текст этого поста в качестве промпта}

#щетников

Почему Сибирский турнир юных физиков живёт и здравствует, а про оcтальные региональные турниры это трудно сказать?

Здесь есть несколько причин, и я постараюсь их перечислить. Но если сказать кратко, то ответ бывет простым: потому что нынешний СибТЮФ именно таким был задуман и реализован в 2010–2015 году, и это его устройство действует. А теперь по порядку.

1) Прежде всего, у нашего турнира — разумные цели. Мы проводим его не для того, чтобы «дети поиграли в исследования», но для того, чтобы школьники чему-то полезному научились. СибТЮФ проводится в конце января, а не до Нового года, как некоторые другие региональные турниры. Это значит, что у команд есть пять месяцев на подготовку. Плюс к этому, многие команды участвуют после этого в РосТЮФ. Это позволяет тренерам организовать систематическую работу над задачами, чтобы ТЮФ стал не скоротечным разовым мероприятием, но частью жизни, постоянно действующим школьным или внешкольным кружком.

2) У нашего турнира — осмысленная система управления. Он принадлежит не какому-то «оргкомитету», но Общественному движению СибТЮФ. Участники этого движения (в основном это тренеры команд, но не только) раз в год собираются на общее собрание. Здесь выбирается исполком, управляющий текущими делами турнира, и президент, представляющий турнир во внешнем мире. Любые изменения в правилах и регламенте турнира принимаются Советом тренеров (по одному голосу от каждой команды, участвовавшей в последнем турнире) путём голосования. Общественное движение СибТЮФ взаимодействует с НГУ, с фондом «Образование» и т.д. — но все свои вопросы решает самостоятельно и никому не подчиняется; никто не может навязать ему, каким быть турниру. Мы не просим, но сотрудничаем — и поэтому нас уважают.

3) В турнире с самого начала его существования налажена методическая работа с тренерами. (Надо заметить, что так же обстояли дела и в первой инкарнации турнира при Шелесте.) Многие тренеры прошли через учебные семинары, на которых они сами решали исследовательские задачи, готовили презентации, участвовали в учебных боях, учились ставить оценки. Об этом я ещё напишу отдельно, но уже сейчас скажу, что именно поэтому наши тренеры — самые лучшие и беспристрастные члены жюри, наши команды играют в верхушке РосТЮФ и регулярно выигрывают финалы.

4) В нашем турнире принят открытый, дружелюбный стиль жизни и общения. Наши команды любят играть друг с другом тренировочные бои, они в процессе публикуют на своих страничках в контакте фотографии своих установок и опытов, и понимают, что такая открытость продвигает всех, и турнир от этого становится только интереснее. И конечно, я надеюсь, что этот стиль сохранится и дальше.

#физика
#physics

В школе мы узнаём о круговороте воды в природе, а наш новый ролик посвящён «круговороту» атмосферного электричества.

С точки зрения электростатики Земля — это огромный отрицательно заряженный проводник, электрическое поле которого направлено перпендикулярно к поверхности.

В ясную погоду напряжённость этого поля составляет в среднем 130 вольт на метр, так что на высоте, равной росту человека, падает напряжение около 200 вольт. Почему же мы его никак не ощущаем? Дело в том, что тело человека является проводником, поэтому внутри него электрическое поле отсутствует, а внешнее поле компенсируется за счёт перераспределения зарядов по поверхности тела.

Измерить поле Земли не так-то просто. Если разнести две металлические пластины по вертикали и попробовать измерить напряжение между ними с помощью обычного вольтметра, то наведённые на пластинах малые заряды очень быстро перераспределятся, и вольтметр ничего не успеет показать. А вот если замыкать и размыкать пластины с достаточно большой частотой, протекающий при этом переменный ток уже можно зарегистрировать. Существуют разные варианты такого прибора, и мы изготовили демонстрационную модель одного из них. С её помощью удаётся обнаружить сильное поле заряженной пластиковой трубы, а вместо электрического поля Земли мы видим только наводки от сети, от которых в студии не избавиться.

Зная напряжённость электрического поля ясной погоды, можно рассчитать полный заряд на поверхности земного шара, он составляет –500 000 кулон. Электрическое поле Земли быстро убывает с высотой и почти исчезает на высоте 10 км. Это означает, что атмосфера имеет положительный заряд +500 000 кулон и вместе с земной поверхностью образует гигантский конденсатор. Воздух не является идеальным изолятором, и ток утечки этого конденсатора составляет 1800 ампер, так что он разрядился бы всего за 5 минут. Как же он подзаряжается?

Оказывается, это происходит за счёт гроз! В грозовом облаке водяные пары поднимаются вверх, конденсируются и на большой высоте превращаются в мелкие кристаллики льда, которые затем увеличиваются в размерах, слипаются и падают вниз. Частицы льда во встречных потоках воздуха электризуются трением, так что грозовое облако представляет собой своеобразную электростатическую машину. Нижняя часть облака заряжается отрицательно, верхняя — положительно, и в целом оно образует электрический диполь.

Облако наводит на поверхности земли под собой положительный заряд и создаёт электрические поля, гораздо большие, чем поле ясной погоды, при этом характерные напряжения достигают ста миллионов вольт. Происходит пробой, и загорается молния, которая переносит с нижней части облака на землю отрицательный заряд. А положительный заряд с верхней части облака стекает в атмосферу в слой ионизированного воздуха с высокой проводимостью, созданный космическими лучами. На всём земном шаре вспыхивает в среднем 100 молний каждую секунду, и эти локальные токи зарядки как раз компенсируют глобальный ток утечки со всей поверхности Земли.

Смотрите наш ролик «Атмосферное электричество», погружайтесь в тайны метеорологии и электростатики и не забывайте ставить лайки!

P.S. Кстати, параллельно с этим выпуском вышла его англоязычная версия «Atmospheric electricity».

P.P.S. По этой ссылке можно посмотреть ролик на наших альтернативных платформах.

[Поддержите нас]

#щетников

Завершились отборочные бои Всероссийского открытого турнира юных физиков.

В этом году из-за разного рода обстоятельств в турнире играло всего 12 команд, из них 5 представляло Новосибирскую область.

В финале встретятся первые три команды по сумме отборочных боёв: Бобры, Физикон, Хычины.

#physics
#физика

Сегодня мы обсудим очередной интересный и неожиданный вопрос, связанный со строительной механикой. Представьте, что вы хотите прибить к стене изогнутую доску. Сделать это можно двумя разными способами: расположить доску выпуклостью наружу и распрямить с помощью одного гвоздя, забив его посередине, или выпуклостью внутрь, забив двумя гвоздями по краям доски. И спрашивается: какая сила будет больше, когда доска распрямится — сила, созданная одним гвоздём, забитым в центре, или суммарная сила со стороны двух гвоздей, забитых по краям?

Мы заменили доску изогнутой стальной линейкой, положили выпуклостью вверх, и она распрямилась под действием одного груза посередине массой около 150 граммов. Чтобы измерения были точнее, соприкосновение середины линейки с горизонтальной поверхностью фиксировалось с помощью электрического контакта. Когда линейку перевернули выпуклостью вниз, она распрямилась под действием двух грузов по 125 граммов каждый, поставленных на края линейки, так что суммарная сила оказалась в 1,7 раза больше, чем в первом случае. И вот опыт показывает, что линейку легче распрямить, надавив на неё посередине.

Чтобы объяснить, почему так получается, сделаем мысленный эксперимент. Пусть доска обращена выпуклостью наружу, и под действием приложенной в центре силы F середина доски коснулась стены. Заменим стену концевыми опорами, тогда под действием силы F середина доски окажется на одном уровне с краями, а со стороны каждой из концевых опор на доску будет действовать сила реакции F/2.

Теперь положим доску выпуклостью внутрь тоже не на стену, а на центральную опору. Надавим на концы доски равными силами F/2, тогда сила реакции со стороны центральной опоры будет равна F, и доска изогнётся в точности, как и в первом случае, и её края и середина будут расположены на одном уровне. Но доска всё ещё останется изогнутой, и если мы захотим заменить центральную опору плоской стеной, нам придётся совершить дополнительную работу против сил деформации, а для этого надо увеличить силы, приложенный к концам доски, так что их сумма действительно будет больше F!

Чтобы подкрепить наши выводы численным моделированием, мы заменили доску дискретной моделью из 11 звеньев, скреплённых крутильными пружинами. Оказалось, что распрямляющие силы для двух разных положений различаются больше, чем в 3 раза, что противоречит результату натурного эксперимента. И это не случайно! Когда модель обращена выпуклостью внутрь, плечо силы, а значит и её момент, всё время уменьшается по мере распрямления звеньев, поэтому труднее всего распрямить последнее звено.

Чтобы сделать модель более правдоподобной, казалось бы, надо увеличивать число звеньев и уменьшать их длины, но тогда момент силы для последнего звена стремится к нулю, и разгибающая сила увеличивается до бесконечности! И для непрерывной модели этот парадокс только усугубляется, так что же не учтено в нашей теории?

Смотрите наш новый англоязычный ролик «Paradox of straightening a curved board», размышляйте вместе с нами о загадках теории упругости и не забывайте ставить лайки!

P.S. По этой ссылке можно посмотреть русскоязычную версию выпуска «Парадокс разгибания кривой доски» на альтернативных платформах.

[Поддержите нас]

#физика

Многие массивы различных числовых данных устроены так, что в них около 30% чисел начинаются на единицу, и только около 5% — на девятку. В ролике «Парадоксальный закон Бенфорда», который будет опубликован на следующей неделе, мы отвечаем на вопрос: Почему и всегда ли так получается?

А нашим подписчикам в Boosty предлагаем посмотреть этот выпуск прямо сейчас!

[Поддержите нас]

#закадром

Сегодня хотим рассказать о герое большинства наших фильмов по физике. Он такого же уровня как воздух или приятная погода: ты его не замечаешь, когда все хорошо, но как только с ним возникают какие-либо сложности, становится понятно, насколько он важен.

Представляем вашему вниманию станцию PASCO и комплект датчиков для проведения лабораторных экспериментов. Они делают свою работу всякий раз, когда вы видите в наших фильмах результаты измерений или для моделирования эксперимента мы генерируем какие-либо сигналы.

Нашему комплекту PASCO уже 12 лет, за это время станция три раза побывала в ремонте. Ремонтировать дальше уже не получится, у всего есть свои пределы, и станция на эти пределы вышла.

Стоимость такого лабораторного комплекта — 2000 евро.

Мы верим в силу сообщества любителей физики и людей, для которых важно распространение полезных и научно-обоснованных знаний, поэтому решили объявить сбор на покупку нового лабораторного комплекта PASCO.

[Помочь купить станцию PASCO]

#закадром
#отчет

Публикуем новый отчёт о полученных донатах и проделанной работе.

Бюджет (март 2025)

В марте регулярными платежами и разовыми донатами мы получили 50 852 рубля. Спасибо вам большое!

100 000 рублей нам предоставил наш замечательный партнёр — Узловский молочный комбинат.

Наши затраты составили 506 678 рублей. Недостающую сумму восполнили основатели проекта и компания CityAir.

Результаты (март 2025)

- Четыре новых ролика по физике:

«Многократное отражение света»
«Адиабатический нагрев и охлаждение»
«Косинус разности и вечный двигатель»
«Атмосферное электричество»

- Восемь роликов на английском языке:

«Stellar magnitude»
«How does thyristor work?»
«Chain fall acceleration»
«Helmholtz resonator»
«Air gun experiments»
«Chain and ring trick»
«Atmospheric electricity»
«Paradox of straightening a curved board»

Еще раз спасибо огромное всем, кто нас поддерживает. Это очень и очень ценно!

P.S. Интересные факты. Постом с анонсом ролика «Косинус разности и вечный двигатель» вы поделились в Telegram 91 раз. А самым «залетевшим» роликом в марте стал «How does thyristor work?» — его за 25 дней с момента публикации посмотрело более 80 000 зрителей на YouTube, в результате чего англоязычный канал получил 765 новых подписчиков, общее число которых пересекло психологическую отметку в 50 000.

[Поддержите нас]

#физика

Возьмём таблицу численности населения стран мира и заменим каждое число его первой цифрой. Естественно предположить, что каждая из девяти цифр в получившемся массиве должна встречаться одинаково часто. Однако это не так!

Единица встречается очень часто, и на её долю приходится примерно 30%, на двойку и тройку вместе — ещё примерно 30%, а на остальные шесть цифр — только 40%. Похожее распределение получается и для площадей стран и ВВП. Если эти три массива совершенно разнородных данных слить в один, статистические разбросы уменьшатся, и видно, что частота появления первых цифр от 1 к 9 монотонно убывает. Эту закономерность для больших массивов самых разнообразных данных обнаружил в 1930-е годы американский инженер Фрэнк Бенфорд.

Рассмотрим теперь чисто математический объект — последовательные степени двойки, и точно так же заменим их первыми цифрами: 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, ... И снова получается примерно такое же распределение, как и для сводного массива географических данных! Но для степеней двойки предельное распределение по первым цифрам можно точно рассчитать. На десятичной логарифмической шкале степени двойки идут с равным иррациональным интервалом lg2 и никогда не совпадают с целыми числами, соответствующими степеням 10.

Первые цифры всегда попадают в интервал от 0 до 1, поэтому можно представить, что мы наматываем числовую прямую на окружность единичной длины. Логарифмы степеней двойки равномерно распределяются по этой окружности, так что вероятность появления определённой цифры пропорциональна длине соответствующего отрезка на логарифмической шкале: для единицы вероятность равна lg2 – lg1 = lg2 ≈ 0,301; для двойки lg3 – lg2 = lg(3/2) ≈ 0,176; для девятки lg10 – lg9 = lg(10/9) ≈ 0,046 — почти в 7 раз меньше, чем для единицы. Заметим, что в этой модели вероятность появления двоек и троек вместе равна lg4 – lg2 = lg2 — в точности такая же, как для единицы! Именно такое логарифмическое распределение вероятности появления первых цифр принято называть законом Бенфорда.

Но при чём же здесь массивы географических и других далёких от чистой математики данных? За счёт чего и для них выполняется распределение Бенфорда? Можно пытаться строить разнообразные частные модели, и мы обсуждаем в ролике соображения, связанные с масштабной инвариантностью для распределения рек по их длине. Однако гораздо интереснее оказывается собственно статистический подход: распределим площади стран в порядке убывания, как в нашем математическом ролике «Распределение Парето», и построим график логарифма площади.

Получается плавная линия, соответствующая семи десятичным разрядам. В каждом разряде кривую можно приближённо заменить отрезком прямой, что соответствует равномерному распределению логарифмов, то есть закону Бенфорда! Значит и в целом распределение будет близко к распределению Бенфорда.

Заметим, что график получился плавным только потому, что в каждый разряд попало много точек, и таких разрядов было много, — именно по этому признаку можно ожидать от конкретного массива данных, что для него будет приближённо выполняться закон Бенфорда.

Остаётся добавить, что распределение Бенфорда по первым двум цифрам получило применение в финансовом аудите для выявления мошенников.

Смотрите наш новый ролик «Парадоксальный закон Бенфорда», и не забывайте ставить лайки!

P.S. По этой ссылке можно посмотреть ролик на альтернативных платформах.

[Поддержите нас]