[7 марта (ПЯТНИЦА), 16:15, ауд.302]
Анастасия Вахрина (МФ ВШЭ//МКН СПбГУ),
"Вокруг минимальных кос"

Для любого узла существуют косы, из которых этот узел может быть получен с помощью замыкания Александера. Если узел, полученный из косы, нельзя получить замыканием косы с меньшим числом нитей, то коса называется минимальной. Испанские косы — интересный класс кос, обладающих в частности свойством минимальности. У него есть несколько разных определений, которые мы разберём. Также мы поговорим про некоторые свойства испанских кос и попробуем про них что-нибудь доказать (в частности, обсудим многочлен HOMFLY-PT и способы доказать, что коса является минимальной).

видео https://www.youtube.com/watch?v=dKJ4oGqbt1Y

намечается вторая часть, но кто знает, когда она будет, какого содержания, в чьём исполнении.....

а вот и сегодняшнее видео https://www.youtube.com/watch?v=C_kC7BLOb7I

основная часть содержания доклада есть в статье Juan González-Meneses, Pedro M. G. Manchón. Closures of positive braids and the Morton-Franks-Williams inequality

и возможно продолжение....

[среда 12 марта, 16:15, ауд. 302]
Ваня Яковлев (Кроссворд Тьюринга),
"Ацтекский бриллиант и пути Шрёдера"

Ацтекский бриллиант порядка n — это множество клеток клетчатой плоскости, центры которых имеют целочисленные координаты (x, y) и удовлетворяют неравенству |x|+|y|≤ n.

Число его замощений доминошками имеет простую и красивую формулу: 2^n(n+1)/2. Однако способы получения этого результата могут быть весьма нетривиальны.

На лекции мы рассмотрим одно из таких доказательств, основанное на связи с путями Шрёдера. Это пути по решётке, остающиеся (нестрого) выше оси абсцисс, для которых разрешены только шаги диагонально вверх-вправо, вниз-вправо или два шага вправо. Оказывается, что наборы непересекающихся путей Шредера можно сопоставить замощениям ацтекского бриллианта, что даёт неожиданный и элегантный способ их подсчёта.

Лекция будет основана на материалах брошюры Евгения Смирнова «Три взгляда на ацтекский бриллиант» и рассчитана на школьников, интересующихся комбинаторикой. Предварительные знания не требуются — все необходимые понятия и результаты будут введены и объяснены.

видео https://youtu.be/0GpqIKX5_UY

брошюра, на содержании которой основан доклад https://old.mccme.ru/free-books/dubna/smirnov-aztec.pdf

а про метод отражения, который используется в том числе для вывода формулы чисел Каталана, написано например здесь https://shashkovs.ru/forum179/download/file.php?id=383

[среда 19 марта, 16:15, ауд. 302]
Векшин Максим,
"Равнобокие гиперболы, изогональное и антигональное сопряжения"

На докладе будет в первую очередь красивая олимпиадная геометрия. Расскажу про то, как устроены равнобокие гиперболы, описанные около треугольника, почему это полезный объект, об их связи с изогональным и антигональным сопряжениями. Также разные свойства этих сопряжений (некоторые даже неочевидные). И в целом планируется рассказать о том, как можно работать с кониками, как понять, что какие-то точки лежат на одной конике, в частности, на одной равнобокой гиперболе.

Также попробуем понять, как определять угол между асимптотами произвольной коники и доказать такое утверждение: "У коник девяти точек двух антигонально сопряженных точек равные углы между асимптотами."

и картинка

[пятница 21 марта, 16:15, ауд. 302]
Андрей Рябичев,
"Косы на поверхностях - 4½"

Элементы обычной группы кос — наборы из n переплетённых нитей; композиция определена как присоединение одного набора нитей к другому. Мы обсудим более общее понятие кос на поверхности, когда нити расположены не в пространстве, а в утолщённой поверхности. Задача, которую мы будем пытаться решить — найти центр этой группы, то есть косы, коммутирующие со всеми остальными косами.

Доклад в первую очередь рассчитан людей, знакомых с понятием группы кос (например, на слушателей одноимённого мини-курса на зимней школе 179), но все необходимые определения будут даны.

видео ещё раз с картинкой https://www.youtube.com/watch?v=TrCwlF4CHJA

и про планы: ждём косы в эту пятницу, держим кулачки. а геометрический марафон продолжается: на следующей неделе во вторник планируется доклад про поризм Понселе, а в среду — вторая часть истории про ортополюс. и всё, больше докладов до апреля видимо не будет. может на каникулах проведём дистанционный сбор, пока не знаю. зато на апрель-май уже назначено несколько серьёзных гостей.... все подробности скоро

вот сегодняшнее видео https://www.youtube.com/watch?v=rbEVaaxItko

успели обсудить определение группы кос на поверхности и найти её набор образующих. а про центр даже не начали говорить, так что будет пятая серия — видимо уже после каникул, в апреле.

если более подробно, в начале было напоминание определения обычной группы кос и группы кос на поверхности, потом было определение фундаментальной группы и примеры, какие бывают фундаментальные группы поверхностей (почти без доказательств), а потом мы начали искать образующие у группы кос на замкнутой поверхности и пришлось понять, какие образующие фундаментальной группы поверхности с проколами. ну и в конце нашли все образующие для кос по индукции.

[25 марта (ВТОРНИК), 16:15, ауд. 302]
Станислав Кузнецов,
"Коники, 2-2 соответствия и поризм Понселе"

Поризм Понселе (или Теорема Понселе) является классическим фактом проективной алгебраической геометрии. Эта знаменитая теорема является примером так называемой теоремы о замыкании, когда некоторый процесс построения новых точек в результате проведения тех или иных линий, зацикливается через некоторое количество шагов. У этого факта есть множество разных доказательств, версий и обобщений. Все сильные матшкольники в 10-11 классах обычно знают эту теорему и ноль-два ее доказательства в общем случае (есть классическое геометрическое рассуждение через пучки окружностей, а есть аналитическое доказательство через функцию плотности — и то, и другое есть в статье Протасова "два века теоремы Понселе"), но они обладают теми проколами, что работают лишь в вещественной проективной плоскости, то есть используют средства евклидовой геометрии.

На докладе мы обсудим чисто алгебраический подход к поризму Понселе через так называемые 2-2 соответствия, который не просто докажет ее в общем случае на CP² с кониками, но еще и определенное количество смежных фактов: например, этого, этого и этого. Более того, на докладе будут решены две задачи с проекта ЛКТГ по движению точек, одну из которых не решил ни один из участников, а другую не решили даже жюри - некоторое время (больше полугода) она оставалась нерешенной.

Пререквизиты: желательно понимать, что такое CP², CP¹ и коника. В принципе, больше ничего особо и не надо.

[26 марта (СРЕДА), 16:15, ауд.302]
Даня Дюдяев (10Б),
"Ортополюс — Продолжение"

Ура, мы пережили скучную часть, которую нужно было рассказать, чтобы понять базу. Теперь перейдём к чему-то более интересному!

Обсудим:
~ Клевые свойства S-треугольников и кучу их критериев; 
~ Начнём махать руками вокруг Дельтоиды Штейнера и её связи с ортополюсом;
~ Разберемся на базовом уровне сколько прямых имеют данный ортополюс;
~ Подумаем над связью с равнобокими гиперболами, про которые рассказывал Макс;
~ Если успеем, обнаружим тот самый эллипс, вписанный в дельтоиду.

Пререквизиты: Было бы круто посмотреть первую часть, но в самом начале я вкратце напомню о чем велась речь. В какой-то момент мы начнём говорить о равнобоких гиперболах, так что Вам будет легче, если Вы посмотрите первую половину недавнего доклада о них, но, в целом, все понять реально без этих знаний.
Всех жду!

Картинка для привлечения внимания

видео https://www.youtube.com/watch?v=5ygFG8Myw_g

прочитать про это можно например в рукописи, приложенной в комментариях

и вчерашнее видео https://www.youtube.com/watch?v=MGJux9etGY4

в качестве письменных источников Даня рекомендует начать с http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole.html