Любите ли вы головоломки?
Недавно мне довелось наткнуться на вырезки из старых изданий, в которых, среди всего прочего, публиковались отрывки IQ-тестов и задачи на сообразительность. В своё время я увлекался решением таких тестов — гибкое разностороннее мышление, необходимое для решения таких задачек, казалось мне весьма полезным как навык.
История головоломок довольно насыщена. Они встречаются даже в мифах древних народов. Вспомните, например, древнегреческую легенду о загадке Сфинкса, где повествуется о существе с головой женщины, крыльями грифона и львиной головой, подстерегавшем путников у Фикейской горы. Оно задавало каждому путнику загадку. Тех, кто не мог отгадать загадку, ждал трагический конец.
Одна из таких загадок, известная как загадка Сфинкса, звучит так: «Кто утром ходит на четырёх ногах, днём — на двух, вечером — на трёх? Никто из всех существ, живущих на земле, не изменяется так, как он. Когда ходит он на четырёх ногах, тогда меньше у него сил и медленнее двигается он, чем в другое время».
Многим нашим современникам, скорее всего, ответ на эту загадку известен: это человек. Время суток — это метафорическое описание этапа человеческой жизни. Утром — на заре своей жизни, в младенчестве — человек ползает на четвереньках, днём — в расцвете своих сил — уже ходит на двух ногах, а вечером — на закате сил — опирается на «третью ногу» — трость.
Другая классика — задача о волке, козе и капусте. Формулировку многие наверняка знают с детства: на берегу широкой реки стоят лодочник, волк, коза и капуста. Лодочнику требуется переправить волка, козу и капусту невредимыми на другой берег реки при помощи лодки, куда, кроме самого лодочника, помещается только что-то одно: или волк, или коза, или капуста. Если лодочник оставит без присмотра волка с козой, волк задерёт козу. Оставит без присмотра козу с капустой — коза съест капусту.
Решение этой задачи также наверняка известно многим. Приведу одно из них: сначала лодочник забирает козу, оставляя волка с капустой, и переправляется на другой берег. Там он высаживает козу, возвращается к волку с капустой, забирает с собой капусту и переправляется на другой берег. Там он высаживает капусту, тут же забирает с собой козу и возвращается обратно к волку, после чего высаживает козу, забирает волка и переправляется на другой берег к капусте. Высадив волка, лодочник возвращается обратно к козе и переправляет её к волку и капусте.
Наконец, третий довольно распространённый пример, который, наряду с загадками в слайдах, оставлю вам для самостоятельного решения. Загадано число от 1 до n (n > 1; загаданное число может быть равно 1 и n). Каково наименьшее количество вопросов, на которые можно ответить только «да» или «нет», потребуется задать загадавшему, чтобы точно узнать загаданное число, при условии что загадавший всегда скажет правду?
Предлагаю вашему вниманию несколько таких головоломок. Попробуйте решить каждую из них: уверен, получите много удовольствия (особенно если не знаете, как они решаются).
#ёжик_предлагает_подумать #ёжик_решает
#интересные_задачи #математическая_логика #рекреационная_математика
Недавно мне довелось наткнуться на вырезки из старых изданий, в которых, среди всего прочего, публиковались отрывки IQ-тестов и задачи на сообразительность. В своё время я увлекался решением таких тестов — гибкое разностороннее мышление, необходимое для решения таких задачек, казалось мне весьма полезным как навык.
История головоломок довольно насыщена. Они встречаются даже в мифах древних народов. Вспомните, например, древнегреческую легенду о загадке Сфинкса, где повествуется о существе с головой женщины, крыльями грифона и львиной головой, подстерегавшем путников у Фикейской горы. Оно задавало каждому путнику загадку. Тех, кто не мог отгадать загадку, ждал трагический конец.
Одна из таких загадок, известная как загадка Сфинкса, звучит так: «Кто утром ходит на четырёх ногах, днём — на двух, вечером — на трёх? Никто из всех существ, живущих на земле, не изменяется так, как он. Когда ходит он на четырёх ногах, тогда меньше у него сил и медленнее двигается он, чем в другое время».
Многим нашим современникам, скорее всего, ответ на эту загадку известен: это человек. Время суток — это метафорическое описание этапа человеческой жизни. Утром — на заре своей жизни, в младенчестве — человек ползает на четвереньках, днём — в расцвете своих сил — уже ходит на двух ногах, а вечером — на закате сил — опирается на «третью ногу» — трость.
Другая классика — задача о волке, козе и капусте. Формулировку многие наверняка знают с детства: на берегу широкой реки стоят лодочник, волк, коза и капуста. Лодочнику требуется переправить волка, козу и капусту невредимыми на другой берег реки при помощи лодки, куда, кроме самого лодочника, помещается только что-то одно: или волк, или коза, или капуста. Если лодочник оставит без присмотра волка с козой, волк задерёт козу. Оставит без присмотра козу с капустой — коза съест капусту.
Решение этой задачи также наверняка известно многим. Приведу одно из них: сначала лодочник забирает козу, оставляя волка с капустой, и переправляется на другой берег. Там он высаживает козу, возвращается к волку с капустой, забирает с собой капусту и переправляется на другой берег. Там он высаживает капусту, тут же забирает с собой козу и возвращается обратно к волку, после чего высаживает козу, забирает волка и переправляется на другой берег к капусте. Высадив волка, лодочник возвращается обратно к козе и переправляет её к волку и капусте.
Наконец, третий довольно распространённый пример, который, наряду с загадками в слайдах, оставлю вам для самостоятельного решения. Загадано число от 1 до n (n > 1; загаданное число может быть равно 1 и n). Каково наименьшее количество вопросов, на которые можно ответить только «да» или «нет», потребуется задать загадавшему, чтобы точно узнать загаданное число, при условии что загадавший всегда скажет правду?
Предлагаю вашему вниманию несколько таких головоломок. Попробуйте решить каждую из них: уверен, получите много удовольствия (особенно если не знаете, как они решаются).
#ёжик_предлагает_подумать #ёжик_решает
#интересные_задачи #математическая_логика #рекреационная_математика
Уважаемые коллеги!
📚 Представляем вашему вниманию трилогию Фрэнсиса Борсо!
Цель этой трилогии познакомить читателя с многочисленными дополнительными аспектами геометрии, уделяя при этом много внимания историческому зарождению, развитию идей и появлению значимых результатов, завершая при этом достаточно современным изложением различных рассматриваемых тем.
Три по сути независимых тома рассматривают геометрию с аксиоматической, алгебраической и дифференциальной точек зрения. Так, подход к геометрии с помощью линейки и компаса, разработанный греческими математиками древности, оставался единственным ориентиром в геометрии - и даже в математике - на протяжении более чем двух тысячелетий. Бесплодные усилия по решению так называемых "классических проблем" греческой геометрии привели в конечном итоге к более глубокому осмыслению аксиоматических основ геометрии, в частности, к открытию проективной геометрии и неевклидовых геометрий. В эпоху Возрождения математики начинают освобождаться от догмы "линейки и компаса" и использовать алгебраические методы для исследования геометрических ситуаций.
Девятнадцатый же век, с рождением линейной алгебры и теории многочленов, открывает новые двери и, в частности, в прямо таки порой поражающий воображение мир алгебраических кривых. Введение дифференциального исчисления в восемнадцатом веке позволило значительно расширить диапазон рассматриваемых кривых и поверхностей. Понятие кривизны - в различных формах - оправдывает себя как важный инструмент для изучения свойств кривых и поверхностей. При этом пристальное изучение некоторых геометрических свойств поверхностей дает начало теории алгебраической топологии.
Трилогия Фрэнсиса Борсо представляет интерес для всех, кто изучает геометрию или просто интересуется этой увлекательной темой. Книги содержат как интуитивные, так и технические компоненты, позволяющие читателю ориентироваться в евклидовой, неевклидовой, проективной, алгебраической и дифференциальной геометрии на высоком уровне.
📖 "An Axiomatic Approach to Geometry" (Аксиоматический подход к геометрии)
▫️Эта книга из трилогии Фрэнсиса Борсо представляет аксиоматический подход к геометрии. Она знакомит читателя с основными концепциями геометрии, основанными на аксиомах – базовых утверждениях, которые принимаются без доказательства. Аксиоматический подход был разработан древними греками и оставался доминирующим в геометрии на протяжении тысячелетий.
Книга исследует исторический контекст зарождения геометрии и развитие геометрических идей. Она также рассматривает значимые результаты, полученные благодаря аксиоматическому подходу, включая проективную геометрию и неевклидовы геометрии. Читатель познакомится с важными теоремами и свойствами геометрических фигур, а также научится строить геометрические доказательства, опираясь на аксиомы.
📖 "An Algebraic Approach to Geometry" (Алгебраический подход к геометрии)
▫️Вторая книга трилогии Фрэнсиса Борсо представляет алгебраический подход к геометрии.
Эта книга рассматривает разнообразные геометрические ситуации с помощью алгебры, что позволяет решать задачи, недоступные с помощью классических методов. Она погружает читателя в мир алгебраических кривых и открывает новые горизонты в изучении геометрии. Читатель узнает, как алгебраические методы помогают решать сложные геометрические проблемы и как алгебраические кривые могут быть использованы для описания геометрических объектов.
📖 "An Differential Approach to Geometry" (Дифференциальный подход к геометрии)
▫️Третья книга трилогии Фрэнсиса Борсо представляет дифференциальный подход к геометрии. Она вводит читателя в мир дифференциального исчисления, которое позволяет изучать кривые и поверхности с использованием производных и дифференциалов.
Книга исследует различные свойства кривых и поверхностей, которые могут быть определены с помощью дифференциальных понятий. Она также рассматривает понятие кривизны, которое играет важную роль в изучении геометрических объектов. Дифференциальный подход позволяет читателю более глубоко понять геометрию и рассмотреть ее с точки зрения анализа.
📚 Представляем вашему вниманию трилогию Фрэнсиса Борсо!
Цель этой трилогии познакомить читателя с многочисленными дополнительными аспектами геометрии, уделяя при этом много внимания историческому зарождению, развитию идей и появлению значимых результатов, завершая при этом достаточно современным изложением различных рассматриваемых тем.
Три по сути независимых тома рассматривают геометрию с аксиоматической, алгебраической и дифференциальной точек зрения. Так, подход к геометрии с помощью линейки и компаса, разработанный греческими математиками древности, оставался единственным ориентиром в геометрии - и даже в математике - на протяжении более чем двух тысячелетий. Бесплодные усилия по решению так называемых "классических проблем" греческой геометрии привели в конечном итоге к более глубокому осмыслению аксиоматических основ геометрии, в частности, к открытию проективной геометрии и неевклидовых геометрий. В эпоху Возрождения математики начинают освобождаться от догмы "линейки и компаса" и использовать алгебраические методы для исследования геометрических ситуаций.
Девятнадцатый же век, с рождением линейной алгебры и теории многочленов, открывает новые двери и, в частности, в прямо таки порой поражающий воображение мир алгебраических кривых. Введение дифференциального исчисления в восемнадцатом веке позволило значительно расширить диапазон рассматриваемых кривых и поверхностей. Понятие кривизны - в различных формах - оправдывает себя как важный инструмент для изучения свойств кривых и поверхностей. При этом пристальное изучение некоторых геометрических свойств поверхностей дает начало теории алгебраической топологии.
Трилогия Фрэнсиса Борсо представляет интерес для всех, кто изучает геометрию или просто интересуется этой увлекательной темой. Книги содержат как интуитивные, так и технические компоненты, позволяющие читателю ориентироваться в евклидовой, неевклидовой, проективной, алгебраической и дифференциальной геометрии на высоком уровне.
📖 "An Axiomatic Approach to Geometry" (Аксиоматический подход к геометрии)
▫️Эта книга из трилогии Фрэнсиса Борсо представляет аксиоматический подход к геометрии. Она знакомит читателя с основными концепциями геометрии, основанными на аксиомах – базовых утверждениях, которые принимаются без доказательства. Аксиоматический подход был разработан древними греками и оставался доминирующим в геометрии на протяжении тысячелетий.
Книга исследует исторический контекст зарождения геометрии и развитие геометрических идей. Она также рассматривает значимые результаты, полученные благодаря аксиоматическому подходу, включая проективную геометрию и неевклидовы геометрии. Читатель познакомится с важными теоремами и свойствами геометрических фигур, а также научится строить геометрические доказательства, опираясь на аксиомы.
📖 "An Algebraic Approach to Geometry" (Алгебраический подход к геометрии)
▫️Вторая книга трилогии Фрэнсиса Борсо представляет алгебраический подход к геометрии.
Эта книга рассматривает разнообразные геометрические ситуации с помощью алгебры, что позволяет решать задачи, недоступные с помощью классических методов. Она погружает читателя в мир алгебраических кривых и открывает новые горизонты в изучении геометрии. Читатель узнает, как алгебраические методы помогают решать сложные геометрические проблемы и как алгебраические кривые могут быть использованы для описания геометрических объектов.
📖 "An Differential Approach to Geometry" (Дифференциальный подход к геометрии)
▫️Третья книга трилогии Фрэнсиса Борсо представляет дифференциальный подход к геометрии. Она вводит читателя в мир дифференциального исчисления, которое позволяет изучать кривые и поверхности с использованием производных и дифференциалов.
Книга исследует различные свойства кривых и поверхностей, которые могут быть определены с помощью дифференциальных понятий. Она также рассматривает понятие кривизны, которое играет важную роль в изучении геометрических объектов. Дифференциальный подход позволяет читателю более глубоко понять геометрию и рассмотреть ее с точки зрения анализа.
Каждая из этих книг предоставляет уникальный взгляд на геометрию и открывает разнообразные подходы к ее изучению. Трилогия Фрэнсиса Борсо представляет интерес для всех, кто интересуется математикой, геометрией и историей развития математических идей. Она предоставляет читателям возможность погрузиться в увлекательный мир геометрии и расширить свои знания о различных аспектах этой науки.
#ёжик_читает #геометрия
#ёжик_читает #геометрия
Дорогие коллеги!
Начнём субботу с задачки от нашего уважаемого специалиста по головоломкам и кубику Рубика, Андрея Пучинина!
-------------------------------------------------------
Задачка на школьную геометрию, но с большими сюрпризами при решении.
Есть часы со стрелками. Секундная стрелка движется дискретно, перепрыгивая пространство между делениями. Условно "телепортируется". Минутная и часовая стрелки при этом движутся в пропорциональном соответствии с секундной, то есть совершают микро-движения, микро-"телепортации". Вопрос: сколько раз за день стрелки образуют
а) равные углы по 120 градусов?
б) два равных угла друг между другом. При этом следует различать порядок стрелок - например: секундная между минутной и часовой или минутная между часовой и секундной. Также следует построить решение так, чтобы не были посчитаны одинаковые ситуации несколько раз за счет того, что часы круглые.
-------------------------------------------------------
#ёжик_предлагает_подумать
#предложка_ёжика
Начнём субботу с задачки от нашего уважаемого специалиста по головоломкам и кубику Рубика, Андрея Пучинина!
-------------------------------------------------------
Задачка на школьную геометрию, но с большими сюрпризами при решении.
Есть часы со стрелками. Секундная стрелка движется дискретно, перепрыгивая пространство между делениями. Условно "телепортируется". Минутная и часовая стрелки при этом движутся в пропорциональном соответствии с секундной, то есть совершают микро-движения, микро-"телепортации". Вопрос: сколько раз за день стрелки образуют
а) равные углы по 120 градусов?
б) два равных угла друг между другом. При этом следует различать порядок стрелок - например: секундная между минутной и часовой или минутная между часовой и секундной. Также следует построить решение так, чтобы не были посчитаны одинаковые ситуации несколько раз за счет того, что часы круглые.
-------------------------------------------------------
#ёжик_предлагает_подумать
#предложка_ёжика
В первом номере журнала “Математическое обозрение” за этот год опубликована замечательная статья известного учёного Г. Г. Малинецкого “Преподавание математики на естественных и гуманитарных факультетах МГУ”.
Тематика статьи гораздо шире, чем представлено в названии. Рассуждая о базовых принципах, на которых было построено преподавание математики в МГУ с 1950 года и успешной их реализации автор выходит на вопросы отечественного образования в целом.
Системно описываются кризисные периоды как среднего, так и высшего образования, начиная с 1930 годов и до наших дней. Честно названы фамилии реформаторов, приведших к развалу российской системы образования, затронуты вопросы болонской системы, образовательных стандартов, учебников, ЕГЭ, нехватки педагогов и так далее.
Однако заканчивается статья на оптимистической ноте - описании больших научно-технических проектов России, какими были в своё время атомный и космический и которые определят развитие образования вообще и математического, в частности.
Позволю себе привести некоторые характерные цитаты из данной работы.
“... понимание тесной связи математики и её преподавания с задачами, решаемыми страной, было характерно для многих ученых.”
“...партийные программы обошли вниманием этот предмет [образование], а на прямой линии с Президентом вопросы науки и образования не обсуждались.”
“Кризисы в истории средней школы в нашей стране бывали не раз. Чтобы понять нынешний, стоит оглянуться в прошлое. В 1931 г. Сталину доложили, что из выпускников советской средней школы не удастся вырастить врачей, инженеров, учителей, военных и представителей многих других профессий пробелы в их знаниях слишком велики. Причина этого понятна - эксперименты в образовании.”
“К сожалению, идеология ВТУ [высокого теоретического уровня обучения] направляет наше образование по сей день.”
“Неразумно начинать школьные реформы, опираясь только на рекомендации ученых, и не соотнося их с мнением и опытом школьных учителей, достигших значимых успехов.”
“Традицией МГУ было привлечение лучших школьников России в Университет. К сожалению, её сохранить не удалось.”
“Ключевой стороной образования новой России является его тотальная бюрократизация.”
“Сильное образование, в частности математическое, было важным стратегическим преимуществом нашего Отечества. Западу в преддверии активных действий по развалу России было важно нас этого преимущества лишить. Эта задача в ходе реформ в огромной степени была выполнена. Но схватка не закончена...”
“Прошлое показывает, что мы добивались наибольших успехов, когда связывали научную деятельность с крупными научно-техническими проектами, которые определяли будущее страны. Видимо так же надо действовать и сейчас.”
Работа будет интересной учителям школ, преподавателям вузов и всем, кому небезразлично будущее отечественного образования.
#ёжик_читает
Тематика статьи гораздо шире, чем представлено в названии. Рассуждая о базовых принципах, на которых было построено преподавание математики в МГУ с 1950 года и успешной их реализации автор выходит на вопросы отечественного образования в целом.
Системно описываются кризисные периоды как среднего, так и высшего образования, начиная с 1930 годов и до наших дней. Честно названы фамилии реформаторов, приведших к развалу российской системы образования, затронуты вопросы болонской системы, образовательных стандартов, учебников, ЕГЭ, нехватки педагогов и так далее.
Однако заканчивается статья на оптимистической ноте - описании больших научно-технических проектов России, какими были в своё время атомный и космический и которые определят развитие образования вообще и математического, в частности.
Позволю себе привести некоторые характерные цитаты из данной работы.
“... понимание тесной связи математики и её преподавания с задачами, решаемыми страной, было характерно для многих ученых.”
“...партийные программы обошли вниманием этот предмет [образование], а на прямой линии с Президентом вопросы науки и образования не обсуждались.”
“Кризисы в истории средней школы в нашей стране бывали не раз. Чтобы понять нынешний, стоит оглянуться в прошлое. В 1931 г. Сталину доложили, что из выпускников советской средней школы не удастся вырастить врачей, инженеров, учителей, военных и представителей многих других профессий пробелы в их знаниях слишком велики. Причина этого понятна - эксперименты в образовании.”
“К сожалению, идеология ВТУ [высокого теоретического уровня обучения] направляет наше образование по сей день.”
“Неразумно начинать школьные реформы, опираясь только на рекомендации ученых, и не соотнося их с мнением и опытом школьных учителей, достигших значимых успехов.”
“Традицией МГУ было привлечение лучших школьников России в Университет. К сожалению, её сохранить не удалось.”
“Ключевой стороной образования новой России является его тотальная бюрократизация.”
“Сильное образование, в частности математическое, было важным стратегическим преимуществом нашего Отечества. Западу в преддверии активных действий по развалу России было важно нас этого преимущества лишить. Эта задача в ходе реформ в огромной степени была выполнена. Но схватка не закончена...”
“Прошлое показывает, что мы добивались наибольших успехов, когда связывали научную деятельность с крупными научно-техническими проектами, которые определяли будущее страны. Видимо так же надо действовать и сейчас.”
Работа будет интересной учителям школ, преподавателям вузов и всем, кому небезразлично будущее отечественного образования.
#ёжик_читает
Дорогие коллеги, с Праздником!!
Как обычно, мы начинаем Воскресенье с весёлой картинки! Её мне прислал Василий Владимирович Фомичев, за что ему огромное спасибо!😊
Смотря на эту картинку, я подумал, а не начать ли нам новую рубрику: «Это и ёжику понятно», в которой мы будем стараться максимально простыми словами рассказывать о сложных вещах из области математики?🤭
#ёжик_развлекается
Как обычно, мы начинаем Воскресенье с весёлой картинки! Её мне прислал Василий Владимирович Фомичев, за что ему огромное спасибо!😊
Смотря на эту картинку, я подумал, а не начать ли нам новую рубрику: «Это и ёжику понятно», в которой мы будем стараться максимально простыми словами рассказывать о сложных вещах из области математики?🤭
#ёжик_развлекается
Воскресенье продолжается, дорогие коллеги!
Несмотря на то, что эта неделя была официальным началом летних каникул, мне всё-равно пришлось 3 раза выступить перед широкой публикой. В понедельник меня пригласили сказать пару слов выпускающимся бакалаврам, в среду — магистрам, а в пятницу я прочитал полноценную лекцию "Теория множеств. Как посчитать бесконечность?" совсем молодым людям, которые сейчас поступают в гимназию МГУ.
Так вот, когда я читал последнюю лекцию на этой неделе, мне вспомнилась давняя история, которая дискутировалась в нашем паблике о "переименовании" сети KFC в ZFC. С тех пор изменилось очень многое. KFC действительно переименовали, но, к сожалению, не в ZFC. Ну а мы можем напомнить, о той весёлой шутке, и порекомендовать посмотреть тот пост, если вы его до сих пор не видели :))
https://vk.com/y0kk0?w=wall-186208863_8203
#ёжик_развлекается
Несмотря на то, что эта неделя была официальным началом летних каникул, мне всё-равно пришлось 3 раза выступить перед широкой публикой. В понедельник меня пригласили сказать пару слов выпускающимся бакалаврам, в среду — магистрам, а в пятницу я прочитал полноценную лекцию "Теория множеств. Как посчитать бесконечность?" совсем молодым людям, которые сейчас поступают в гимназию МГУ.
Так вот, когда я читал последнюю лекцию на этой неделе, мне вспомнилась давняя история, которая дискутировалась в нашем паблике о "переименовании" сети KFC в ZFC. С тех пор изменилось очень многое. KFC действительно переименовали, но, к сожалению, не в ZFC. Ну а мы можем напомнить, о той весёлой шутке, и порекомендовать посмотреть тот пост, если вы его до сих пор не видели :))
https://vk.com/y0kk0?w=wall-186208863_8203
#ёжик_развлекается