Дорогие коллеги!
Сегодня мы расскажем об ещё одном курсе, который был записан видеостудией "Ёжик в матане" в последнем семестре! Это лекции, хорошо известного вам по предыдущим записям, [id1896157|Бориса Данилова] с совершенно непроизносимой аббревиатурой ЭТДУС — Элементы теории дискретных управляющих систем. Публикуем ссылки на playlist'ы, все лекции, а также аннотацию от Бориса Радиславовича ;)
Курс «Элементы теории дискретных управляющих систем» читается вслед за курсом «Основы кибернетики» и является дополнением последнего курса. Он посвящён более глубокому изучению ряда моделей, методов и результатов теории дискретных управляющих систем (УС), связанных с задачей схемной или структурной реализации дискретных функций и алгоритмов, а также некоторых вопросов надёжности и контроля УС.
В программу курса входят результаты об асимптотике функции Шеннона для сложности (задержки) формул, схем из функциональных и функционально-проводящих элементов в произвольном базисе. Устанавливается возможность синтеза схем из функциональных элементов (СФЭ) асимптотически оптимальных как по сложности, так и по задержке.
На основе вероятностной модели СФЭ над базисом из надёжных и ненадёжных элементов рассматриваются некоторые вопросы их надёжности. Изучается, в частности, возможность построения как сколь угодно надёжных, так и самокорректирующихся СФЭ, имеющих асимптотически оптимальную сложность, а также возможность синтеза оптимальных по сложности самокорректирующихся контактных схем для линейных функций.
В рамках модели контактных схем излагаются некоторые вопросы контроля УС, связанные, в частности, с построением полного диагностического и полного проверяющего тестов.
Playlist YouTube: https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JXt_xbZnViD0gFWF0DzZTl
Playlist ВК видео: https://vkvideo.ru/playlist/-186208863_125
Лекция 1: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243907
Лекция 2: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243908
Лекция 3.1: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243919
Лекция 3.2: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243920
Лекция 4: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243925
Лекция 5.1: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243957
Лекция 5.2: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243958
Лекция 6: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243960
Лекция 7: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243982
Лекция 8: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244004
Лекция 9: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244006
Лекция 10.1: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244026
Лекция 10.2: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244027
Лекция 11: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244046
Лекция 12: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244049
Лекция 13: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244074
Лекция 14: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244084
Лекция 15: https://vk.com/video-186208863_456244180
https://youtu.be/pFTv_DJkQoo?si=W0GkDqhgyi-JXW8k
Лекция 16: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244122
(лектор: Романов Д.С.)
Лекция 17: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244124
(лектор: Романов Д.С.)
#колючие_лекции
#дискретная_математика
Сегодня мы расскажем об ещё одном курсе, который был записан видеостудией "Ёжик в матане" в последнем семестре! Это лекции, хорошо известного вам по предыдущим записям, [id1896157|Бориса Данилова] с совершенно непроизносимой аббревиатурой ЭТДУС — Элементы теории дискретных управляющих систем. Публикуем ссылки на playlist'ы, все лекции, а также аннотацию от Бориса Радиславовича ;)
Курс «Элементы теории дискретных управляющих систем» читается вслед за курсом «Основы кибернетики» и является дополнением последнего курса. Он посвящён более глубокому изучению ряда моделей, методов и результатов теории дискретных управляющих систем (УС), связанных с задачей схемной или структурной реализации дискретных функций и алгоритмов, а также некоторых вопросов надёжности и контроля УС.
В программу курса входят результаты об асимптотике функции Шеннона для сложности (задержки) формул, схем из функциональных и функционально-проводящих элементов в произвольном базисе. Устанавливается возможность синтеза схем из функциональных элементов (СФЭ) асимптотически оптимальных как по сложности, так и по задержке.
На основе вероятностной модели СФЭ над базисом из надёжных и ненадёжных элементов рассматриваются некоторые вопросы их надёжности. Изучается, в частности, возможность построения как сколь угодно надёжных, так и самокорректирующихся СФЭ, имеющих асимптотически оптимальную сложность, а также возможность синтеза оптимальных по сложности самокорректирующихся контактных схем для линейных функций.
В рамках модели контактных схем излагаются некоторые вопросы контроля УС, связанные, в частности, с построением полного диагностического и полного проверяющего тестов.
Playlist YouTube: https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JXt_xbZnViD0gFWF0DzZTl
Playlist ВК видео: https://vkvideo.ru/playlist/-186208863_125
Лекция 1: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243907
Лекция 2: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243908
Лекция 3.1: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243919
Лекция 3.2: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243920
Лекция 4: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243925
Лекция 5.1: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243957
Лекция 5.2: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243958
Лекция 6: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243960
Лекция 7: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243982
Лекция 8: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244004
Лекция 9: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244006
Лекция 10.1: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244026
Лекция 10.2: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244027
Лекция 11: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244046
Лекция 12: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244049
Лекция 13: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244074
Лекция 14: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244084
Лекция 15: https://vk.com/video-186208863_456244180
https://youtu.be/pFTv_DJkQoo?si=W0GkDqhgyi-JXW8k
Лекция 16: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244122
(лектор: Романов Д.С.)
Лекция 17: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244124
(лектор: Романов Д.С.)
#колючие_лекции
#дискретная_математика
YouTube
Данилов Б.Р. | Лекции по Элементам теории дискретных управляющих систем | весна 2025
Share your videos with friends, family, and the world
❤9🤯4
Здравствуйте, коллеги!
Безусловная сходимость — это настоящий кладезь возможностей для тех, кто хочет почувствовать себя уверенно даже среди самых сложных математических конструкций. Представьте себе ситуацию, когда ряд сходится независимо от порядка суммирования элементов. Это и есть та самая "некондиция", которая позволяет свободно манипулировать элементами ряда, переставлять их местами и получать тот же самый конечный результат!
Безусловная сходимость открывает новые горизонты для анализа функций и численных методов, позволяя взглянуть на привычные вещи совершенно иначе. Повысьте уровень своего понимания и станьте мастером математического анализа!
Текст написан с помощью искусственного интеллекта. Слайды сделаны автором путем перевода статьи.
https://vk.com/video-186208863_456244174
#математический_анализ
#ряды
#абсолютная_сходимость
#условная_сходимость
#безусловная_сходимость
Безусловная сходимость — это настоящий кладезь возможностей для тех, кто хочет почувствовать себя уверенно даже среди самых сложных математических конструкций. Представьте себе ситуацию, когда ряд сходится независимо от порядка суммирования элементов. Это и есть та самая "некондиция", которая позволяет свободно манипулировать элементами ряда, переставлять их местами и получать тот же самый конечный результат!
Безусловная сходимость открывает новые горизонты для анализа функций и численных методов, позволяя взглянуть на привычные вещи совершенно иначе. Повысьте уровень своего понимания и станьте мастером математического анализа!
Текст написан с помощью искусственного интеллекта. Слайды сделаны автором путем перевода статьи.
https://vk.com/video-186208863_456244174
#математический_анализ
#ряды
#абсолютная_сходимость
#условная_сходимость
#безусловная_сходимость
❤5
Основы матанализа:
площадь круга, площадь под графиком, интеграл, производная.
https://vk.com/video-91031095_456245309
Анимацию сделал [club228584834|3Blue1Brown]. Опубликовано на канале [club91031095|for all x, y, z]
#ёжик_развлекается, познавая основы 😎
#ёжик_смотрит_видео
площадь круга, площадь под графиком, интеграл, производная.
https://vk.com/video-91031095_456245309
Анимацию сделал [club228584834|3Blue1Brown]. Опубликовано на канале [club91031095|for all x, y, z]
#ёжик_развлекается, познавая основы 😎
#ёжик_смотрит_видео
VK Видео
Суть матанализа. Глава 1. Предпосылки
В этом первом видео из серии мы увидим как разбор простой геометрической задачки может привести к интегралам, производным и основной теореме анализа.
❤8🥰1
Последние полгода Ёжик совсем не уделял внимание вопросам теории графов, хотя это, несомненно, одна из самых востребованных и прикладных областей математики на сегодняшний день. Несколько примеров — моделирование географических карт (картографические сервисы современных поисковиков стали возможны благодаря достижениям теории графов), структур нейросетей, путей в видеоиграх — и этим список далеко не ограничивается.
В этом посте я решил собрать основные понятия теории графов, которые будут полезны даже человеку, далёкому от высшей математики — по меньшей мере для того, чтобы понимать тексты, связанные с этой дисциплины, или же просто для расширения кругозора. Как часто бывает, у желающих ознакомиться с дисциплиной лекцию посмотреть нет времени, а размашистую статью читать попросту лень, а формат небольшого поста явно оставляет без возражений — при наличии желания, разумеется.
Начнём же, не откладывая в долгий ящик!
Слова, входящие в терминологию теории графов, для удобства выделены квадратными скобками [вот так].
[Граф] — это математический объект, изображаемый в виде набора точек, некоторые (или все) из которых соединены друг с другом линиями. Эти точки называются [вершинами], а линии — [рёбрами]. В некоторых работах вершины могут называться [узлами], а рёбра — [дугами].
Графы принято обозначать как и множества — прописными латинскими буквами. Чаще всего используются буквы G и H, иногда — с нижними индексами. Множество вершин графа чаще всего обозначают буквой V, а множество его рёбер — буквой E. Итого, граф может быть обозначен, к примеру, следующим образом: G = (V,E), дословно: «Граф G — это упорядоченная пара множеств V и E».
Вершины принято обозначать строчными латинскими буквами.
Количество вершин графа называется его [порядком].
Итак, каждая вершина графа соединяется с некоторыми другими его вершинами при помощи рёбер. Говорится, что каждое ребро [связывает] две вершины, а сами вершины называются [связанными] друг с другом. О ребре, связывающем две вершины, говорится, что оно [исходит из] каждой из этих вершин, а сами вершины называются [концами] этого ребра (по аналогии с концами геометрического отрезка).
Рёбра, исходящие из одной и той же вершины, называются [смежными] или [соседними]. Смежные вершины называются [инцидентными] ребру, связывающему их.
У каждой вершины графа есть [степень] — это количество вершин, с которыми она связана. Понятно, что степень вершины графа не может быть больше его порядка, но не может быть и равна ему. Дело в том, что сама вершина не считается связанной с самой собой, поэтому наибольшая степень любой вершины графа на единицу меньше его порядка. Степень вершины v обозначается как deg(v) от английского слова degree («степень»).
Вершина графа может быть ни с чем не соединена; в таком случае она называется [изолированной]. Вершина графа, степень которой равна единице, называется [концевой] или [висячей].
Можно составить новый граф из части вершин и рёбер другого графа, взяв их так, чтобы каждое ребро, как и прежде, соединяло две вершины, и сохранив взаимосвязи рёбер и вершин. Составленный граф называется [подграфом] исходного графа.
Если каждая пара вершин графа связана, такой граф называют [n-полным графом], где n обозначает степень графа. Такой граф принято обозначать буквой K с индексом n, то есть Kₙ.
Если, двигаясь по рёбрам графа, из каждой его вершины можно добраться до любой другой его вершины, то граф называется [связным], иначе — [несвязным]. Вообще, если от одной вершины графа можно, двигаясь по рёбрам, добраться до другой, говорится, что между этими двумя вершинами существует [маршрут] — последовательность рёбер, по которым необходимо пройти. Промежуточные вершины, через которые проходит маршрут, называются его [внутренними] вершинами, а вершины, которыми маршрут начинается и оканчивается, называются его [концевыми] вершинами или [концами]. Количество вершин, входящих в маршрут, называется [длиной] этого маршрута.
В этом посте я решил собрать основные понятия теории графов, которые будут полезны даже человеку, далёкому от высшей математики — по меньшей мере для того, чтобы понимать тексты, связанные с этой дисциплины, или же просто для расширения кругозора. Как часто бывает, у желающих ознакомиться с дисциплиной лекцию посмотреть нет времени, а размашистую статью читать попросту лень, а формат небольшого поста явно оставляет без возражений — при наличии желания, разумеется.
Начнём же, не откладывая в долгий ящик!
Слова, входящие в терминологию теории графов, для удобства выделены квадратными скобками [вот так].
[Граф] — это математический объект, изображаемый в виде набора точек, некоторые (или все) из которых соединены друг с другом линиями. Эти точки называются [вершинами], а линии — [рёбрами]. В некоторых работах вершины могут называться [узлами], а рёбра — [дугами].
Графы принято обозначать как и множества — прописными латинскими буквами. Чаще всего используются буквы G и H, иногда — с нижними индексами. Множество вершин графа чаще всего обозначают буквой V, а множество его рёбер — буквой E. Итого, граф может быть обозначен, к примеру, следующим образом: G = (V,E), дословно: «Граф G — это упорядоченная пара множеств V и E».
Вершины принято обозначать строчными латинскими буквами.
Количество вершин графа называется его [порядком].
Итак, каждая вершина графа соединяется с некоторыми другими его вершинами при помощи рёбер. Говорится, что каждое ребро [связывает] две вершины, а сами вершины называются [связанными] друг с другом. О ребре, связывающем две вершины, говорится, что оно [исходит из] каждой из этих вершин, а сами вершины называются [концами] этого ребра (по аналогии с концами геометрического отрезка).
Рёбра, исходящие из одной и той же вершины, называются [смежными] или [соседними]. Смежные вершины называются [инцидентными] ребру, связывающему их.
У каждой вершины графа есть [степень] — это количество вершин, с которыми она связана. Понятно, что степень вершины графа не может быть больше его порядка, но не может быть и равна ему. Дело в том, что сама вершина не считается связанной с самой собой, поэтому наибольшая степень любой вершины графа на единицу меньше его порядка. Степень вершины v обозначается как deg(v) от английского слова degree («степень»).
Вершина графа может быть ни с чем не соединена; в таком случае она называется [изолированной]. Вершина графа, степень которой равна единице, называется [концевой] или [висячей].
Можно составить новый граф из части вершин и рёбер другого графа, взяв их так, чтобы каждое ребро, как и прежде, соединяло две вершины, и сохранив взаимосвязи рёбер и вершин. Составленный граф называется [подграфом] исходного графа.
Если каждая пара вершин графа связана, такой граф называют [n-полным графом], где n обозначает степень графа. Такой граф принято обозначать буквой K с индексом n, то есть Kₙ.
Если, двигаясь по рёбрам графа, из каждой его вершины можно добраться до любой другой его вершины, то граф называется [связным], иначе — [несвязным]. Вообще, если от одной вершины графа можно, двигаясь по рёбрам, добраться до другой, говорится, что между этими двумя вершинами существует [маршрут] — последовательность рёбер, по которым необходимо пройти. Промежуточные вершины, через которые проходит маршрут, называются его [внутренними] вершинами, а вершины, которыми маршрут начинается и оканчивается, называются его [концевыми] вершинами или [концами]. Количество вершин, входящих в маршрут, называется [длиной] этого маршрута.
❤9😱1
Маршрут определяется как упорядоченная последовательность вершин и рёбер, начинающаяся и оканчивающаяся вершинами, и в которой между каждой парой вершин расположено связывающее их ребро.
Частными случаями маршрута являются [путь] и [цикл]. Путь — это маршрут, вершины в котором не повторяются, и потому путь можно рассматривать как подграф. Цикл — это маршрут, концевые вершины которого совпадают, то есть маршрут, конец которого совпадает с его началом: отправился из одной вершины, прошёл несколько других вершин, вернулся в ту же вершину.
Теперь вы немного осведомлены об основных понятиях теории графов. Желаете продолжения этого математического банкета?
Ниже — задачи для математически настроенных читателей. Присылайте ваши решения в комментарии!
1. Докажите, что в любом графе сумма степеней вершин вдвое больше количества рёбер.
2. Докажите, что в любом графе количество рёбер не превышает количества сочетаний по 2 из n.
3. Выведите формулы для вычисления:
а) количества подграфов n-полного графа;
б) количества маршрутов n-полного графа;
в) количества путей n-полного графа;
г) количества циклов n-полного графа.
#ёжик_пишет
#дискретная_математика #теоретическая_информатика #комбинаторика
Частными случаями маршрута являются [путь] и [цикл]. Путь — это маршрут, вершины в котором не повторяются, и потому путь можно рассматривать как подграф. Цикл — это маршрут, концевые вершины которого совпадают, то есть маршрут, конец которого совпадает с его началом: отправился из одной вершины, прошёл несколько других вершин, вернулся в ту же вершину.
Теперь вы немного осведомлены об основных понятиях теории графов. Желаете продолжения этого математического банкета?
Ниже — задачи для математически настроенных читателей. Присылайте ваши решения в комментарии!
1. Докажите, что в любом графе сумма степеней вершин вдвое больше количества рёбер.
2. Докажите, что в любом графе количество рёбер не превышает количества сочетаний по 2 из n.
3. Выведите формулы для вычисления:
а) количества подграфов n-полного графа;
б) количества маршрутов n-полного графа;
в) количества путей n-полного графа;
г) количества циклов n-полного графа.
#ёжик_пишет
#дискретная_математика #теоретическая_информатика #комбинаторика
🔥9❤2🍓2
Дорогие коллеги!
В начале мая к нам в студию приходил Алексей Савватеев, и записал целых 5 роликов с тем, что у него получается лучше всего — с решением задач по математике! Он планировал выкладывать эти видео на своём канале всё лето, но что-то пока не спешит этого делать.
Поэтому, их выкладываем мы :))
Сегодня вашему вниманию предлагается первый ролик с любопытной задачей из книги И. П. Костенко "Проблема качества математического образования в ретроспективе":
Чему равно выражение: С^{38-n}_{3n} + C^{3n}_{21+n}?
Предлагаем вам подумать, или посмотреть видео на нашем канале:
https://vk.com/video-186208863_456244182
Бонусом идёт вторая задача из той же книги;)
#ёжик_решает
#образовательные_видео_ролики
#школьная_математика
#элементарная_математика
В начале мая к нам в студию приходил Алексей Савватеев, и записал целых 5 роликов с тем, что у него получается лучше всего — с решением задач по математике! Он планировал выкладывать эти видео на своём канале всё лето, но что-то пока не спешит этого делать.
Поэтому, их выкладываем мы :))
Сегодня вашему вниманию предлагается первый ролик с любопытной задачей из книги И. П. Костенко "Проблема качества математического образования в ретроспективе":
Чему равно выражение: С^{38-n}_{3n} + C^{3n}_{21+n}?
Предлагаем вам подумать, или посмотреть видео на нашем канале:
https://vk.com/video-186208863_456244182
Бонусом идёт вторая задача из той же книги;)
#ёжик_решает
#образовательные_видео_ролики
#школьная_математика
#элементарная_математика
VK Видео
Алексей Савватеев решает советские задачи по математике. Ролик 1
Алексей Савватеев разбирает задачу из книги И. П. Костенко "Проблема качества математического образования в ретроспективе"
👍7❤1🔥1
Уважаемые коллеги!
Что-то жаркое лето совсем разморило редакторов Ёжика... Вот уже вторую неделю мы с трудом нагребаем два традиционных поста в день...
Сегодня днём мы публиковали небольшой ролик, в котором небезызвестный всем вам Алексей Савватеев решает две советские задачки по математике. И там, в том числе, он говорит о книге И. П. Костенко "Проблема качества математического образования в ретроспективе". Книга это, как нам кажется, вполне заслуживает того, чтобы сделать о ней (и с ней) специальный пост.
Книга И.П. Костенко — это фундаментальное исследование, посвящённое причинам кризиса отечественного математического образования. Автор утверждает, что современная деградация системы не случайна и не результат недавних ошибок, а закономерный итог длительного процесса, начавшегося с педагогических реформ в советское время. Костенко с полемической остротой доказывает, что эти реформы, проводившиеся под лозунгами «повышения научного уровня» и «модернизации», на деле нарушали классические принципы дидактики и разрушали проверенную временем систему обучения.
Аргументация автора основана на детальном хронологическом анализе почти столетнего периода. Исследование начинается с постреволюционных экспериментов 1920-х годов, которые Костенко называет «погромом русской школы». Затем он рассматривает возрождение и расцвет советской математической школы в 1930–1950-е годы, связывая это с возвращением к классическим принципам и использованию стабильных учебников, таких как учебники Киселёва. Особое внимание уделяется реформам 1960–1970-х годов, инициаторами которых, по мнению автора, были узкая группа учёных-математиков, включая А.Н. Колмогорова. Эти реформы перенесли в школу абстрактные и формализованные подходы университетской науки.
Центральная идея Костенко — противопоставление двух подходов к образованию. Первый — классическая педагогика, ориентированная на ученика, развитие его мышления и усвоение фундаментальных навыков. Второй — «научно-теоретический» подход, который ставит во главу угла логическую строгость и абстрактные структуры, игнорируя психологию ученика. Автор убедительно показывает, что переход от первого подхода ко второму привёл к формализму знаний, утрате практических навыков и неспособности учащихся мыслить математически.
#ёжик_читает
#ёжик_дискутирует
#история_математики
Что-то жаркое лето совсем разморило редакторов Ёжика... Вот уже вторую неделю мы с трудом нагребаем два традиционных поста в день...
Сегодня днём мы публиковали небольшой ролик, в котором небезызвестный всем вам Алексей Савватеев решает две советские задачки по математике. И там, в том числе, он говорит о книге И. П. Костенко "Проблема качества математического образования в ретроспективе". Книга это, как нам кажется, вполне заслуживает того, чтобы сделать о ней (и с ней) специальный пост.
Книга И.П. Костенко — это фундаментальное исследование, посвящённое причинам кризиса отечественного математического образования. Автор утверждает, что современная деградация системы не случайна и не результат недавних ошибок, а закономерный итог длительного процесса, начавшегося с педагогических реформ в советское время. Костенко с полемической остротой доказывает, что эти реформы, проводившиеся под лозунгами «повышения научного уровня» и «модернизации», на деле нарушали классические принципы дидактики и разрушали проверенную временем систему обучения.
Аргументация автора основана на детальном хронологическом анализе почти столетнего периода. Исследование начинается с постреволюционных экспериментов 1920-х годов, которые Костенко называет «погромом русской школы». Затем он рассматривает возрождение и расцвет советской математической школы в 1930–1950-е годы, связывая это с возвращением к классическим принципам и использованию стабильных учебников, таких как учебники Киселёва. Особое внимание уделяется реформам 1960–1970-х годов, инициаторами которых, по мнению автора, были узкая группа учёных-математиков, включая А.Н. Колмогорова. Эти реформы перенесли в школу абстрактные и формализованные подходы университетской науки.
Центральная идея Костенко — противопоставление двух подходов к образованию. Первый — классическая педагогика, ориентированная на ученика, развитие его мышления и усвоение фундаментальных навыков. Второй — «научно-теоретический» подход, который ставит во главу угла логическую строгость и абстрактные структуры, игнорируя психологию ученика. Автор убедительно показывает, что переход от первого подхода ко второму привёл к формализму знаний, утрате практических навыков и неспособности учащихся мыслить математически.
#ёжик_читает
#ёжик_дискутирует
#история_математики
❤9😢2👀1
Дорогие коллеги!
Разрешите представить вам задачу от уважаемого участника нашего паблика, Александра Коновалова 😊
----------------------------------------------------------
Давненько я не брал в руки шашек (не выкладывал свои задачи в эту группу).... Пора исправляться!
Предлагаю в качестве затравки не очень сложную, но весьма симпатичную задачку по алгебре. Наслаждайтесь!
#ёжик_предлагает_подумать
#линейная_алгебра
Разрешите представить вам задачу от уважаемого участника нашего паблика, Александра Коновалова 😊
----------------------------------------------------------
Давненько я не брал в руки шашек (не выкладывал свои задачи в эту группу).... Пора исправляться!
Предлагаю в качестве затравки не очень сложную, но весьма симпатичную задачку по алгебре. Наслаждайтесь!
#ёжик_предлагает_подумать
#линейная_алгебра
❤3🤔1
🔹 Skills in Mathematics for JEE это больше, чем просто подготовка к экзамену
Серия книг Skills in Mathematics for JEE Main & Advanced от Arihant - это не просто подборка задачников а настоящая школа математического мышления, охватывающая ключевые области, анализ, алгебру, геометрию и векторы.
Каждая книга глубоко прорабатывает не только методы решения, но и структуру математических понятий, учит видеть закономерности, применять доказательства, понимать поведение функций, оперировать с геометрией в аналитической форме.
📘 Integral Calculus — Amit M. Agarwal
Содержит систематическое развитие определённого и неопределённого интегрирования, начиная с базовых свойств (линейность, аддитивность, обратимость производной), далее переходя к более сложным техникам:
• интегрирование по частям,
• замена переменных,
• тригонометрические подстановки,
• рациональные и иррациональные дроби,
• разложение на элементарные дроби (алгебраическая предобработка интеграла).
Особое внимание уделяется определённому интегралу как пределу сумм Римана, что редко встречается в прикладных пособиях.
В главе о приложениях: вычисление площади криволинейных трапеций, объёмов тел вращения (через формулы Кавальери и метода дисков), длины дуги и площади поверхности. Сильный упор на разнообразие функций: полиномиальные, логарифмические, показательные, параметрические, кусочные.
📔Coordinate Geometry — Dr. S. K. Goyal
Книга строго и системно развивает декартову геометрию, начиная с
• аналитических уравнений прямой (общая, нормальная форма, точка-наклон),
• критериев параллельности, перпендикулярности,
• расстояния и деления отрезка.
Затем охватываются конические сечения:
• окружность (центр, радиус, касательная, хорды),
• парабола (фокус, директриса, параметрические уравнения),
• эллипс и гипербола: канонические уравнения, эксцентриситет, параметры, директрисы, уравнения касательных, нормалей, параметры через θ.
Интерес представляет глава о фокусно-директрисных свойствах, аналитическое доказательство фокального определения параболы и вывод уравнений через геометрические условия.
Есть задания на максимумы/минимумы расстояний и площади фигур элемент связи с анализом. Отличие книги, акцент на геометрические преобразования (сдвиг, поворот, растяжение), что углубляет понимание.
📙Algebra — Dr. S. K. Goyal
Книга охватывает элементы высшей алгебры. Включены:
• теория уравнений: рациональные, иррациональные, трансцендентные, разложение многочленов, схемы Горнера,
• симметрические и циклические выражения (включая известные теоремы Виета),
• прогрессии (арифметические, геометрические, гармонические) с доказательствами предельных свойств,
• комбинаторика (размещения, перестановки, биномиальные коэффициенты, принцип включения-исключения),
• логарифмы и их функциональные свойства,
• теорема Безу, методы выделения целых корней,
• сложные неравенства (Чебышёв, Коши, Шварц, AM–GM).
Математически книга строится вокруг алгебраических инвариантов, замен переменных, техники симметризации, тождества Ньютона. Содержит задачи, где требуется предвидение алгебраической структуры до вычисления шаг к олимпиадной математике.
📘Play with Graphs — Amit M. Agarwal
Это не просто книга про построение графиков. Это введение в качественный анализ функций, включая:
• анализ симметрии (f(x) = f(–x), f(–x) = –f(x)),
• преобразования графиков (растяжение, отражение, сдвиг),
• анализ модулей, целой части, периодических функций,
• построение сложных функций: композиций, кусочных, параметрических.
Отдельная ценность, метод графической итерации: нахождение приближённых решений уравнений по пересечению графиков. Особо развиты навыки визуальной интуиции: как изменение параметра влияет на график, какие участки важны для анализа пределов, производных и интегралов. Важна для формирования математического «вкуса» и мышления в терминах многообразия поведения функций.
Серия книг Skills in Mathematics for JEE Main & Advanced от Arihant - это не просто подборка задачников а настоящая школа математического мышления, охватывающая ключевые области, анализ, алгебру, геометрию и векторы.
Каждая книга глубоко прорабатывает не только методы решения, но и структуру математических понятий, учит видеть закономерности, применять доказательства, понимать поведение функций, оперировать с геометрией в аналитической форме.
📘 Integral Calculus — Amit M. Agarwal
Содержит систематическое развитие определённого и неопределённого интегрирования, начиная с базовых свойств (линейность, аддитивность, обратимость производной), далее переходя к более сложным техникам:
• интегрирование по частям,
• замена переменных,
• тригонометрические подстановки,
• рациональные и иррациональные дроби,
• разложение на элементарные дроби (алгебраическая предобработка интеграла).
Особое внимание уделяется определённому интегралу как пределу сумм Римана, что редко встречается в прикладных пособиях.
В главе о приложениях: вычисление площади криволинейных трапеций, объёмов тел вращения (через формулы Кавальери и метода дисков), длины дуги и площади поверхности. Сильный упор на разнообразие функций: полиномиальные, логарифмические, показательные, параметрические, кусочные.
📔Coordinate Geometry — Dr. S. K. Goyal
Книга строго и системно развивает декартову геометрию, начиная с
• аналитических уравнений прямой (общая, нормальная форма, точка-наклон),
• критериев параллельности, перпендикулярности,
• расстояния и деления отрезка.
Затем охватываются конические сечения:
• окружность (центр, радиус, касательная, хорды),
• парабола (фокус, директриса, параметрические уравнения),
• эллипс и гипербола: канонические уравнения, эксцентриситет, параметры, директрисы, уравнения касательных, нормалей, параметры через θ.
Интерес представляет глава о фокусно-директрисных свойствах, аналитическое доказательство фокального определения параболы и вывод уравнений через геометрические условия.
Есть задания на максимумы/минимумы расстояний и площади фигур элемент связи с анализом. Отличие книги, акцент на геометрические преобразования (сдвиг, поворот, растяжение), что углубляет понимание.
📙Algebra — Dr. S. K. Goyal
Книга охватывает элементы высшей алгебры. Включены:
• теория уравнений: рациональные, иррациональные, трансцендентные, разложение многочленов, схемы Горнера,
• симметрические и циклические выражения (включая известные теоремы Виета),
• прогрессии (арифметические, геометрические, гармонические) с доказательствами предельных свойств,
• комбинаторика (размещения, перестановки, биномиальные коэффициенты, принцип включения-исключения),
• логарифмы и их функциональные свойства,
• теорема Безу, методы выделения целых корней,
• сложные неравенства (Чебышёв, Коши, Шварц, AM–GM).
Математически книга строится вокруг алгебраических инвариантов, замен переменных, техники симметризации, тождества Ньютона. Содержит задачи, где требуется предвидение алгебраической структуры до вычисления шаг к олимпиадной математике.
📘Play with Graphs — Amit M. Agarwal
Это не просто книга про построение графиков. Это введение в качественный анализ функций, включая:
• анализ симметрии (f(x) = f(–x), f(–x) = –f(x)),
• преобразования графиков (растяжение, отражение, сдвиг),
• анализ модулей, целой части, периодических функций,
• построение сложных функций: композиций, кусочных, параметрических.
Отдельная ценность, метод графической итерации: нахождение приближённых решений уравнений по пересечению графиков. Особо развиты навыки визуальной интуиции: как изменение параметра влияет на график, какие участки важны для анализа пределов, производных и интегралов. Важна для формирования математического «вкуса» и мышления в терминах многообразия поведения функций.
❤3
📗 Differential Calculus — Amit M. Agarwal
Одна из самых насыщенных книг по математическому анализу в школьной программе.
Темы:
• пределы (включая разрывные функции, односторонние пределы, пределы через правила Лопиталя),
• производные (включая имплицитную, параметрическую, логарифмическую дифференцировку),
• анализ монотонности, экстремумов, точек перегиба,
• теоремы Ролля, Лагранжа, Коши с доказательствами и задачами,
• касательные, нормали, углы наклона, наибольшие/наименьшие значения в геометрических задачах.
Автор показывает глубинную связь между анализом и геометрией, акцентируя на интерпретациях через касательные, углы, площади. Есть главы, где рассмотрены поведенческие характеристики функции выпуклость, скорость роста, знаки второй производной. Подходит в качестве вводного текста к университетскому курсу анализа.
📕Vectors & 3D Geometry — Amit M. Agarwal
Раздел векторов построен строго
• определение вектора как упорядоченной пары точек,
• скалярное и векторное произведения (геометрическая и координатная интерпретации),
• приложения в решении геометрических задач (углы, длины, проекции).
В пространстве:
• уравнение прямой (векторное и параметрическое формы),
• уравнение плоскости (общая форма, нормаль, точка-нормаль, уравнение через 3 точки),
• взаимное расположение: параллельность, перпендикулярность,
• расстояние между точками, прямыми, точкой и плоскостью,
• сферы и условия касания.
Математически строгое введение в векторный анализ и линейную алгебру в евклидовом пространстве. Методы синтетической геометрии здесь формализованы в координатной форме. Книга мост между школьной геометрией и линейной алгеброй в ℝ³.
📚 Общий математический итог
Эти книги не просто сборники задач для JEE а можно сказать систематизированное введение в высшую математику, охватывающее ключевые ветви
• анализ (пределы, производные, интегралы),
• алгебра (уравнения, неравенства, комбинаторика),
• геометрия (координатная, векторная, графическая).
Каждая из книг строит мышление от конструктивных алгоритмов до интуитивно-графических подходов, что и делает серию уникальной в своём классе.
#Mathematics #JEEPreparation #IntegralCalculus #CoordinateGeometry #Algebra #DifferentialCalculus #Vectors3D #GraphTheory #SkillsInMathematics #ArihantBooks #MathForEngineers
Одна из самых насыщенных книг по математическому анализу в школьной программе.
Темы:
• пределы (включая разрывные функции, односторонние пределы, пределы через правила Лопиталя),
• производные (включая имплицитную, параметрическую, логарифмическую дифференцировку),
• анализ монотонности, экстремумов, точек перегиба,
• теоремы Ролля, Лагранжа, Коши с доказательствами и задачами,
• касательные, нормали, углы наклона, наибольшие/наименьшие значения в геометрических задачах.
Автор показывает глубинную связь между анализом и геометрией, акцентируя на интерпретациях через касательные, углы, площади. Есть главы, где рассмотрены поведенческие характеристики функции выпуклость, скорость роста, знаки второй производной. Подходит в качестве вводного текста к университетскому курсу анализа.
📕Vectors & 3D Geometry — Amit M. Agarwal
Раздел векторов построен строго
• определение вектора как упорядоченной пары точек,
• скалярное и векторное произведения (геометрическая и координатная интерпретации),
• приложения в решении геометрических задач (углы, длины, проекции).
В пространстве:
• уравнение прямой (векторное и параметрическое формы),
• уравнение плоскости (общая форма, нормаль, точка-нормаль, уравнение через 3 точки),
• взаимное расположение: параллельность, перпендикулярность,
• расстояние между точками, прямыми, точкой и плоскостью,
• сферы и условия касания.
Математически строгое введение в векторный анализ и линейную алгебру в евклидовом пространстве. Методы синтетической геометрии здесь формализованы в координатной форме. Книга мост между школьной геометрией и линейной алгеброй в ℝ³.
📚 Общий математический итог
Эти книги не просто сборники задач для JEE а можно сказать систематизированное введение в высшую математику, охватывающее ключевые ветви
• анализ (пределы, производные, интегралы),
• алгебра (уравнения, неравенства, комбинаторика),
• геометрия (координатная, векторная, графическая).
Каждая из книг строит мышление от конструктивных алгоритмов до интуитивно-графических подходов, что и делает серию уникальной в своём классе.
#Mathematics #JEEPreparation #IntegralCalculus #CoordinateGeometry #Algebra #DifferentialCalculus #Vectors3D #GraphTheory #SkillsInMathematics #ArihantBooks #MathForEngineers
❤2
Как рассортировать овощи с помощью первой теоремы об изоморфизме.
-------
Представим, что вы забросили математику и решили выращивать овощи. Прочитав необходимые книги, после года усердного труда на свежем воздухе, вы наконец-то вырастили репу, капусту, салат, морковь и свеклу. И решили отправить урожай на склад.
Все выращенные овощи образуют множество A.
Однако, во время работы вы нет-нет, да и отвлекались на нерешенные проблемы математики. Это, конечно же, сказалось на качестве грядок. На ваших грядках все овощи оказались перемешаны: морковь росла рядом с капустой, салат неподалеку от свеклы, а репа и вовсе встречалась в крайне неожиданных местах.
Жесть.
В результате, перед отправкой овощей на склад, вам пришлось поштучно сортировать каждый овощ: морковку относить в ящик с морковью, капусту с капустой и так далее. Уже у складских ящиков вы отбраковывали гнилые овощи. В результате склад оказался наполнен ящиками с отсортированными качественными овощами одного вида.
С точки зрения алгебры множество B — это ваш склад. Операция переноса, сортировки и отбраковки овощей — это гомоморфизм f.
f: A → B.
То есть гомоморфизм f отображает каждый элемент множества A (каждый не гнилой овощ на вашей грядке) в элемент множества B (овощ в правильном ящике на складе).
-------
И тут к вам в гости заглянул сосед — заядлый огородник и неплохой алгебраист. Он сказал, что носить и сортировать овощи поштучно — это моветон, и можно действовать по иному.
Во-первых, нужно сразу, на месте отбрасывать гнилые овощи. Такие гнилые овощи образуют ядро отображения f, то есть Ker(f). Оставшееся множество овощей — это фактор-множество, равное разности исходного множества A и ядра отображения Ker(f):
A → A / Ker(f).
Во-вторых, после отбрасывания гнилых овощей, одинаковые овощи следует складывать в кучки. И уже после этого укладывать готовые кучки в ящики.
Овощи в ящиках — это образ отображения f, то есть Im(f). А перенос кучек овощей в ящик — это биекция:
A / Ker(f) → Im(f).
И уже в конце ящики, наполненные отсортированными, перебранными овощами, следует относить на склад. То есть следует выполнить инъекцию:
Im(f) → B.
В этом и заключается суть первой теоремы об изоморфизме.
-------
В более строгом математическом выражении первая теорема об изоморфизме гласит примерно следующее:
Гомоморфизм f, действующий из множества A во множество B,
f: A → B,
раскладывается на три отображения:
- сюрьекцию A → A / Ker(f), преобразующую A во множество A без ядра f;
- биекцию A / Ker(f) → Im(f), преобразующую результат в образ f;
- иньекцию Im(f) → B, преобразующую результат во множество B.
f: A → B.
A → A / Ker(f) → Im(f) → B.
-------
Первая теорема изоморфизма помогает упростить сложную структуру (огород с кучей разных овощей) до чего-то более понятного (склад с четкими категориями). Ядро (гнилые овощи) — это то, что мешает прямому соответствию. Убрав его, мы получаем идеальное соответствие между огородом и складом.
На картинке в качестве огородницы изображена математик Амалия Эмми Нетер (Emmy Noether). Она доказала рассмотренную теорему и внесла значительный вклад в развитие алгебры.
-------
Ссылка на статью.
A comic page for the first isomorphism theorem. (2022).
https://doi.org/10.1080/17513472.2022.2059645
#ёжик_пишет #алгебра_и_геометрия
-------
Представим, что вы забросили математику и решили выращивать овощи. Прочитав необходимые книги, после года усердного труда на свежем воздухе, вы наконец-то вырастили репу, капусту, салат, морковь и свеклу. И решили отправить урожай на склад.
Все выращенные овощи образуют множество A.
Однако, во время работы вы нет-нет, да и отвлекались на нерешенные проблемы математики. Это, конечно же, сказалось на качестве грядок. На ваших грядках все овощи оказались перемешаны: морковь росла рядом с капустой, салат неподалеку от свеклы, а репа и вовсе встречалась в крайне неожиданных местах.
Жесть.
В результате, перед отправкой овощей на склад, вам пришлось поштучно сортировать каждый овощ: морковку относить в ящик с морковью, капусту с капустой и так далее. Уже у складских ящиков вы отбраковывали гнилые овощи. В результате склад оказался наполнен ящиками с отсортированными качественными овощами одного вида.
С точки зрения алгебры множество B — это ваш склад. Операция переноса, сортировки и отбраковки овощей — это гомоморфизм f.
f: A → B.
То есть гомоморфизм f отображает каждый элемент множества A (каждый не гнилой овощ на вашей грядке) в элемент множества B (овощ в правильном ящике на складе).
-------
И тут к вам в гости заглянул сосед — заядлый огородник и неплохой алгебраист. Он сказал, что носить и сортировать овощи поштучно — это моветон, и можно действовать по иному.
Во-первых, нужно сразу, на месте отбрасывать гнилые овощи. Такие гнилые овощи образуют ядро отображения f, то есть Ker(f). Оставшееся множество овощей — это фактор-множество, равное разности исходного множества A и ядра отображения Ker(f):
A → A / Ker(f).
Во-вторых, после отбрасывания гнилых овощей, одинаковые овощи следует складывать в кучки. И уже после этого укладывать готовые кучки в ящики.
Овощи в ящиках — это образ отображения f, то есть Im(f). А перенос кучек овощей в ящик — это биекция:
A / Ker(f) → Im(f).
И уже в конце ящики, наполненные отсортированными, перебранными овощами, следует относить на склад. То есть следует выполнить инъекцию:
Im(f) → B.
В этом и заключается суть первой теоремы об изоморфизме.
-------
В более строгом математическом выражении первая теорема об изоморфизме гласит примерно следующее:
Гомоморфизм f, действующий из множества A во множество B,
f: A → B,
раскладывается на три отображения:
- сюрьекцию A → A / Ker(f), преобразующую A во множество A без ядра f;
- биекцию A / Ker(f) → Im(f), преобразующую результат в образ f;
- иньекцию Im(f) → B, преобразующую результат во множество B.
f: A → B.
A → A / Ker(f) → Im(f) → B.
-------
Первая теорема изоморфизма помогает упростить сложную структуру (огород с кучей разных овощей) до чего-то более понятного (склад с четкими категориями). Ядро (гнилые овощи) — это то, что мешает прямому соответствию. Убрав его, мы получаем идеальное соответствие между огородом и складом.
На картинке в качестве огородницы изображена математик Амалия Эмми Нетер (Emmy Noether). Она доказала рассмотренную теорему и внесла значительный вклад в развитие алгебры.
-------
Ссылка на статью.
A comic page for the first isomorphism theorem. (2022).
https://doi.org/10.1080/17513472.2022.2059645
#ёжик_пишет #алгебра_и_геометрия
Taylor & Francis
A comic page for the first isomorphism theorem
Given a homomorphism between algebras, there exists an isomorphism between the quotient of the domain by its kernel and the subalgebra in the codomain given by its image. This theorem, commonly kno...
❤4❤🔥3