сладко стянул

Мои ноги обогнут за серпантином серпантин

Эти классы пространств забавно взаимодействуют, помимо очевидных включений P- ⊆ P ⊆ P+.

Во-первых, из расслоений Хопфа выводится, что
ΩS^3 ~ ΩS^2 x S^1,
ΩS^7 ~ ΩS^4 x S^3,
ΩS^15 ~ ΩS^8x S^7,
поэтому P- можно определить как "пространства из P, в которых петель на S^2, S^4 и S^8 не меньше, чем копий S^1, S^3, S^7".

Ещё есть вот такая симметрия/сопряжённость:
Утв. 1. Если X ∈ W, то ΩX ∈ P-.
Утв. 2. Если Y ∈ P+, то ΣY ∈ W.
Утв. 3. W замкнуто относительно ретрактов.
(То есть: если X ∈ W и существуют отображения A -i-> X -r-> A, такие что ri: A->A гомотопно тождественному, то A ∈ W)
Утв. 4. P замкнуто относительно ретрактов.

И вот ещё забавные факты:
Утв. 5. Если ΩZ ∈ P+, то ΩZ ∈ P.
Утв. 6. Если ΩΣX ∈ P+, то ΣX∈ W и поэтому ΩΣX ∈ P-.

Зачем это нужно? Иногда кучей рассуждений схожего характера удаётся доказать, что для некоторого Z верно ΩZ ∈ P. Это приятно, но копии S^1, S^3, S^7 мешаются под ногами. Но если заодно мы знаем, что ΩZ — это произведение пространств вида ΩΣX, то из Утв.4 и 6 следует, что "лишних копий нет" — их можно засунуть по Хопфу в петли на сферах, и в итоге ΩZ ∈ P-.

www.group-telegram.com/us/sweet_homotopy.com/2033

1.2K viewsedited  Oct 27 at 22:57

Мои ноги обогнут за серпантином серпантин

Эти классы пространств забавно взаимодействуют, помимо очевидных включений P- ⊆ P ⊆ P+.

Во-первых, из расслоений Хопфа выводится, что
ΩS^3 ~ ΩS^2 x S^1,
ΩS^7 ~ ΩS^4 x S^3,
ΩS^15 ~ ΩS^8x S^7,
поэтому P- можно определить как "пространства из P, в которых петель на S^2, S^4 и S^8 не меньше, чем копий S^1, S^3, S^7".

Ещё есть вот такая симметрия/сопряжённость:
Утв. 1. Если X ∈ W, то ΩX ∈ P-.
Утв. 2. Если Y ∈ P+, то ΣY ∈ W.
Утв. 3. W замкнуто относительно ретрактов.
(То есть: если X ∈ W и существуют отображения A -i-> X -r-> A, такие что ri: A->A гомотопно тождественному, то A ∈ W)
Утв. 4. P замкнуто относительно ретрактов.

И вот ещё забавные факты:
Утв. 5. Если ΩZ ∈ P+, то ΩZ ∈ P.
Утв. 6. Если ΩΣX ∈ P+, то ΣX∈ W и поэтому ΩΣX ∈ P-.

Зачем это нужно? Иногда кучей рассуждений схожего характера удаётся доказать, что для некоторого Z верно ΩZ ∈ P. Это приятно, но копии S^1, S^3, S^7 мешаются под ногами. Но если заодно мы знаем, что ΩZ — это произведение пространств вида ΩΣX, то из Утв.4 и 6 следует, что "лишних копий нет" — их можно засунуть по Хопфу в петли на сферах, и в итоге ΩZ ∈ P-.

BY сладко стянул