бонус https://www.math.columbia.edu/~okounkov/Steinberg.jpg

В 90-е, но после запрета коммунистов, вспоминается практика по философии. Препод:вот все великие учёные были религиозными, вот Декарт, вот Коши, - и я на автомате во весь голос на всю аудиторию : И Буняковский!!! (Хотя кто его знает, может и верил ..)

#картинка
L. Smith, Split extensions of Hopf algebras and semi-tensor products (1970)

и вот так ещё

два бонуса: заметка Бергмана, которая изначально называлась не как кликбейт, а "Groups acting on rings, group-graded rings, and beyond—some thoughts"

и второй кликбейт: статья Парейгиса A non-commutative non-cocommutative Hopf algebra in "nature" https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0021869381902246

вопрос который Берглунд сейчас ставит своим аспирантам: связать (1) модулярные формы (2) харклассы расслоений Серра со слоем, например, "произведение n копий S^d". (см. Berglund-Zeman; у них также были предшественники)

(забавно, что Серр модулярными формами тоже занимался)

Скобки Ли и панк-рок

если x▷y — билинейная операция, введём ассоциатор
a(x,y,z) := x▷(y▷z) - (x▷y)▷z.

Руководствуясь геометрическими (Винберг'62) или деформационными (Gerstenhaber'63) соображениями, можно придумать такую аксиому:
Алгеброй Винберга—Кошуля (Koszul—Vinberg algebra), или пред-алгеброй Ли (pre-Lie algebra), называется векторное пространство A вместе с билинейной операцией ▷ такой, что
a(x,y,z) = a(y,z,x).

Позднее их переоткрыли (Аграчёв, Гамкрелидзе '80) под названием "хронологическая алгебра".

Ещё позже было придумано вот такое понятие (Vallette'04), из чисто операдных соображений (это алгебры над операдой, двойственной по Кошулю к коммутативным триалгебрам):
Пост-алгеброй Ли (post-Lie algebra) называется алгебра Ли L вместе с билинейной операцией ▷ такая, что
x▷[y,z] = [x▷y, z] + [y, x▷z],
[x,y]▷z = a(x,y,z) - a(y,x,z).

То есть: a pre-Lie algebra is a post-Lie algebra whose underlying Lie algebra is abelian. А в жизни всё наоборот: пост-панк — это прото-панк с тривиальной панк-составляющей.)
——————————-
А как такое может возникнуть в нормальной математике?

Если M — гладкое многообразие, ∇ — аффинная связность на нём, то можно рассмотреть пространство
L := Vect(M)
и бинарную операцию
X▷Y := ∇_X (Y).

Коммутатор векторных полей обозначим через [[X,Y]]. Тогда тензор кручения связности — это
T(X,Y):=X▷Y-Y▷X-[[X,Y]],
а тензор кривизны Римана — это
R(X,Y)Z = a(X,Y,Z)-a(Y,X,Z)+T(X,Y)▷Z.

Если R=T=0, то получается алгебра Кошуля—Винберга. Если R=0 и ∇T=0, то получается пост-алгебра Ли относительно скобки Ли [x,y] := -T(x,y). Из-за тождеств Бьянки. Ссылка: https://arxiv.org/abs/1203.4738

(Обратно: на всякой пост-алгебре Ли есть ещё одна скобка Ли [[x,y]]:=x▷y-y▷x+[x,y].)
————————
И вообще пишут: Meanwhile, it was found that post-Lie algebras play an essential role in regularity structures in stochastic analysis [9,10,25]. Recently, post-Lie algebras have been studied from different points of view including constructions of nonabelian generalized Lax pairs, PBW type theorems, factorization theorems and relations to post-Lie groups.

hot take: надо совсем перестать говорить "натуральное (число)" и всегда говорить "положительное/неотрицательное целое". поводы такие:
(1) не будет неоднозначности при общении с французами
(2) не будет коллизии с "естественностью" при переводе на английский
(3) забудьте всё, чему вас учили в школе
(4) "натура" — это не по-русски,правильно "природа"

меры и p-адические поля на службе у комплексной геометрии
https://arxiv.org/abs/1707.09534
(узнал из доклада Америк)

Муров в математике настолько много (четыре?), что в топологии есть целых два Moore space

как раз думаю про них чуть-чуть написать с биографическими справками

https://arxiv.org/abs/1001.5140v1

Moore's theorem
Vladlen Timorin

For a closed equivalence relation on the 2-sphere such that all equivalence classes are connected and non-separating, and not all points are equivalent, the quotient space is homeomorphic to the 2-sphere

"...One of the strongest versions is due to R.H. Bing [B]: a compact connected locally connected metrizable space X with more than one point is homeomorphic to the 2-sphere, provided that no embedded S⁰ separates* X, and all embedded S¹ separate X"

(A ⊂ X separates X, if X\A линейно несвязно. Бинг вообще использует слово disrupts)

А про Бинга интересно, что полное имя его отца — Rupert Henry Bing, а полное имя самого Бинга — R. H. Bing.

Причина (см. Singh'91):
«Bing's mother thought that "Rupert Henry" was too British for Texas.»

Следствие (источник: Mathematical Apocrypha):
«It is told that once Bing was applying for a visa and was requested not to use initials. He explained that his name was really "R-only H-only Bing", and ended up receiving a visa made out to "Ronly Honly Bing".»

кстати, а вы замечали, что в математике слово "знак" полностью деградировало, и (вместо намёков на семантику) часто означает просто "плюс или минус"? Это же ужасно, если вдуматься; мы сильно сузили свои выразительные возможности.

Кстати, поэтому мы привыкли использовать громоздкое, зато однозначное, слово "обозначение" (исключения: клише вроде "вынести за знак интеграла")

вайбы

(статья, как водится, на 131 страницу)

в итоге это доказали (препринт пока не опубликован)
https://arxiv.org/abs/2203.15098

ещё увидел-полистал прикольную статью Lambrechts, Stanley
https://arxiv.org/abs/math/0701309
где доказано: если (A,d) — cdga над полем k, такая что H(A,d) — односвязная алгебра Пуанкаре, то (A,d)~(A',d'), где (A',d') — односвязная dg-алгебра Пуанкаре. Рассуждение напоминает односвязную хирургию и заключается в убийстве сирот.
——————
Алгебра Пуанкаре (A,eps) над полем k: это градуированно-коммутативная алгебра A вместе с линейным отображением eps:A^n -> k таким, что
(a,b) -> eps(a*b)
задаёт невырожденное спаривание между A^i и A^{n-i}. (Пример: когомологии n-мерного многообразия.)

dg-алгебра Пуанкаре (A,d,eps): cdga (A,d) + алгебра Пуанкаре (A,eps), причём eps(d(x))=0 для всех x. (Тогда H(A,d) — тоже алгебра Пуанкаре.)

Вообще: если A — градуированно-коммутативная k-алгебра, eps:A^n -> k — какое-то линейное отображение, то можно определить множество сирот (orphans)
O:={a: eps(a*b)=0 для любого b}.
Это идеал, и A/O — алгебра Пуанкаре относительно индуцированной ориентации. (Аналогично для dg-алгебр Пуанкаре.)
———————-
Идея доказательства — убивать группы H^i(O) индукцией по размерности. (Когда мы убьём всё, стрелка A->A/O будет квази-изоморфизмом, и значит A/O будет искомой моделью.) На этих группах есть двойственность Пуанкаре, потому что на H(A) есть.

Для сравнения: в односвязной хирургии дано отображение многообразий f:M->N степени 1, и мы потихоньку убиваем группы K_i := Ker(H_i(M)->H_i(N)). На них есть двойственность Пуанкаре, потому что на M и N есть

Иногда на архиве появляются препринты типа "теорема Гуревича в теории типов" что звучит комично — зачем вы её ещё раз доказали. (Не преувеличение.)

Но Дэн Кристенсен вроде убедил меня что это всё-таки не ерунда:

- то, что так доказано, проще формализовать и поэтому верифицировать

- то, что так доказано, верно в любом бесконечность-топосе (значит, гипотетически применимо в не-топологической теории гомотопий)

- есть вещи, которые верны не в любом бесконечность-топосе: например, теорема Уайтхеда (если она верна, говорят, что это hypercomplete topos). Цитируя HoTT Book, §8.8:

From a foundational point of view, therefore, we may speak of Whitehead’s principle as a "classicality axiom", akin to LEM and AC. It may consistently be assumed, but it is not part of the computationally motivated type theory, nor does it hold in all natural models. But when working from set-theoretic foundations, this principle is invisible: it cannot fail to be true in a world where ∞-groupoids are built up out of sets (using topological spaces, simplicial sets, or any other such model).

- нетривиальные бесконечность-топосы бывают и в топологии: например, что-то связанное с parametrized spectra (если я правильно понял, в каком-то таком контексте теорема Уайтхеда тоже бывает неверна — но инструментарий теории типов применим)

- иногда сам взгляд с точки зрения теории типов даёт новую интуицию, новую интерпретацию привычных объектов
(см. https://arxiv.org/abs/2301.02636, а лучше наверно файл в комментах — там всё на языке пространств)

- медитировать полезно для здоровья