group-telegram.com/sweet_homotopy/1913
Last Update:
d-мерная мера Хаусдорфа
Пусть надо посчитать "объём" метрического пространства X в предположении, что оно "d-мерно". Как это сделать, если всё, что мы умеем, — это вычислять расстояние между точками?
Первая наивная мысль: если X можно покрыть несколькими ограниченными множествами A1,..,An, то объём, наверно, не превосходит
diam(A1)^d +...+ diam(An)^d.
Всё-таки, Ai можно засунуть* в шар диаметра diam(Ai), а этот шар в каком-то смысле "d-мерный"...
Но это не работает: рассмотрим скомканный лист бумаги. Его диаметр маленький (сантиметров 10), но настоящая площадь листа может оказаться больше, чем 100 см². То есть покрытие слишком грубое, не улавливает "локальное устройство" метрики. Большие шары — плохие шары.
А если покрывать шариками по миллиметру в диаметре, то в каждом из них 1-2 слоя бумаги, практически не изогнутых; площадь удаётся оценить гораздо точнее. Но оценка всё ещё будет "заниженной"...
*напоминание: diam(A) ≤ D, если расстояние между любыми двумя точками множества A не превосходит числа D
BY сладко стянул
Share with your friend now:
group-telegram.com/sweet_homotopy/1913