О барицентрических координатах в популяционной генетике.

Рассмотрим некоторую популяцию в которой действует панмиксия и некоторые доминантный признак А и рецессивный а. Пусть в этой популяции расщепление по генотипу X:Y:Z. Положим x=X/(X+Y+Z), y=Y/(X+Y+Z), z=Z/(X+Y+Z).

Рассмотрим треугольник и назовем его вершины AA, Aa, aa. Тогда можно считать, что каждому расщеплению соответствует точка с нормированными барицентрическими координатами (x,y,z).

Рассмотрим что происходит с расщеплением по генотипу при переходу к следующему поколению. Заметим, что родитель с генотипом AA передаёт всегда ген А, с генотипом Аа передает А с вероятностью 1/2. Из этого имеем x'=(x+y/2)^2, y'=2(x+y/2)(z+y/2), z'=(z+y/2)^2 (*). (Подвигать это можно https://www.geogebra.org/m/sfkyyssv).

Итак мы поняли что происходит при переходе между поколениями. Рассмотрим теперь какие расщепления являются равновесными:

Из закона Харди-Вайнберга мы получаем, что равновесность (x,y,z) равносильна тому, что существуют p и q такие что p^2=x, q^2=y, p+q=1. То есть множество точек вида (t^2; 2t-2t^2; 1-2t+t^2), где t из [0;1]. Подстановкой в декартову систему координат не сложно получить, что эта фигура - часть конического сечения ограниченная треугольником. Заметим, что из зануления x следует зануление y => коника касается стороны AA Aa в точке AA. Аналогично она касается aa Aa в точке aa. Осталось заметить что также нам удовлетворяет менделеевское распределение (1/4;1/2;1/4) (В дальнейшем точка M).

Итак у нас есть 5 точек, 2 пары из которых склеенные. Угадаем что это за коническое сечение. Пусть середины AAAa и aaAa - K и L соответственно. Рассмотрим Центроид AAAaaa и на вписанную конику в AaKL с перспектором в нем (см. первую картинку). Эта коника касается сторон в точках AA и aa, также проходит через менделевское распределение, а значит это наша коника.

Пусть центроид - G. Заметим, что центр описанного эллипса Штейнера треугольника AaKL - середина AaG => G лежит на описанном эллипсе штейнера, а значит эта коника парабола!

По лемме о перспекторе Б.У. точка этой параболы - б.у. точка медианы, но тогда из изогонального свойства коник фокус этой параболы лежит на симмедиане и более того он лежит на описанной окружности AaKL, а значит это точка Болтая AAAaaa.

Если вам интересно, то напишите мне, я напишу продолжение. Анонс продолжения:

Пусть P и P' родительское и дочернее поколение, тогда
1)P' лежит на этой параболе
2) PP' параллельно медиане (см. картинка 2 или чтобы подвигать https://www.geogebra.org/m/mtjx2jym)
3) Из этого несложно получается критерий совпадения генотипов дочерних популяций.

Всем привет!!! Многие думают, что самая интересная прямая в треугольнике - прямая Эйлера. И действительно, у нее очень много крутых свойств, но я хочу подвергнуть ее абсолютное первое место сомнению, и предложить другую очень крутую прямую на это место.
Этот пост создан благодаря очень крутому листику кружка цпм по геометрии по линейным функциям(кажется его ещё не опубликовали) и кружочку 179, а конкретно докладу про ортополюс от Дани Дюдяева

Эта прямая - OI, Птолемеева ось треугольника. Я покажу вам множество любопытных фактов в про нее, а вы, надеюсь, вникните в них и попытаетесь решить парочку.

(Номер задачи = номер картинки)
1. Начнем с чего то простого, для чего не нужно никакой теории. Птолемеева ось фиолетового треугольника = прямая Эйлера синего треугольника.(сложность 3/10) наверное уже из этого можно вывести много крутых фактов, но мне лень

2. Задача, для которой ничего про ОI знать не надо, но эта задача все равно вызывает трудности если не знать кое какой факт(не связанный с OI)
Сложность( 4/10 если знать факт, 8-9/10 если не знать)

3. Теперь перейдем к блоку «Птолемеева ось и биссектрисы» он уже посложнее. (Сложность 1/10 если знать про линейные функции связанные с OI, 7/10 если нет)

4. Обобщим задачу для вневписанной окружности, сложность такая же как у 3.

5. Очень сложная задача, связанная с 3. и 4. Тут уже если не знаешь задач 3. и 4. Не справиться(7/10 если знать про 3 и 4, 10/10 если нет)
СПАСИБО ЗА КАРТИНКУ ДЖАСТСАИНС

6. Переходная задача(без теории про связь с линейными функциями, полагаю, не справиться) Докажите что если фиолетовый треугольник крутиться понселе, а точка P - зафиксирована, то сумма розовых отрезков постоянна)
Сложность 3/10 если знать теорию, 10/10 если нет(наверное)

7. Докажите аналогичное про вневписанную окружность(тут надо правильно ориентировать расстояния)
Сложность наверное тоже 3/10
(Нет картинки!!!)

8. Переходим к блоку про Ортополюс. Тут я сам не умею ничего доказывать, просто классные факты)) Докажите что прямые симпсона таких точек пересекаются в точке Фейербаха, а также пересекаются с OI и вписанной окружности в одной точке.

9. Более общий факт: Теорема Фонтене. Докажите что для любой точки на птолемеевой оси ее педальная окружность проходит через точку Фейербаха

10. F - ортополюс OI

11. Бонус. Довольно глупая авторская задача, которую невозможно решить без 1го из фактов выше. Сложность 4/10 если знать этот факт.

Есть еще множество фактов про OI которые я пока не осознал, быть может когда то потом выпущу пост и про них.
В заключении это удивительная прямая с кучей крутых свойств