над любым кольцом оказывается верно! у Лемэра записано над полем, наверно и доказательство обобщается, но проще передоказать.
Например, пункт (1): индукция по размерности. Пусть в размерностях <n доказали, что сюръективен. Возьмём элемент b∈B степени n. Он задаёт элемент [b]∈Tor^B_1, в который переходит какой-то [a]∈Tor^A_1. То есть b=f(a)+ разложимый элемент. Но разложимый элемент в связной градуированной алгебре — это многочлен от элементов меньших степеней! Они лежат в Im(f) по предположению индукции. Поэтому b∈Im(f). Сюръективность доказана.
Пункт (2) на первый взгляд поинтереснее, но там тоже лобовое рассуждение. Используем бар-конструкцию, чтобы вычислить Tor_2. Элементы k-модуля (I(B)⊗I(B)⊗I(B))_n связаны с B_{<n}; по предположению индукции, в этих градуировках всё биективно
над любым кольцом оказывается верно! у Лемэра записано над полем, наверно и доказательство обобщается, но проще передоказать.
Например, пункт (1): индукция по размерности. Пусть в размерностях <n доказали, что сюръективен. Возьмём элемент b∈B степени n. Он задаёт элемент [b]∈Tor^B_1, в который переходит какой-то [a]∈Tor^A_1. То есть b=f(a)+ разложимый элемент. Но разложимый элемент в связной градуированной алгебре — это многочлен от элементов меньших степеней! Они лежат в Im(f) по предположению индукции. Поэтому b∈Im(f). Сюръективность доказана.
Пункт (2) на первый взгляд поинтереснее, но там тоже лобовое рассуждение. Используем бар-конструкцию, чтобы вычислить Tor_2. Элементы k-модуля (I(B)⊗I(B)⊗I(B))_n связаны с B_{<n}; по предположению индукции, в этих градуировках всё биективно
The War on Fakes channel has repeatedly attempted to push conspiracies that footage from Ukraine is somehow being falsified. One post on the channel from February 24 claimed without evidence that a widely viewed photo of a Ukrainian woman injured in an airstrike in the city of Chuhuiv was doctored and that the woman was seen in a different photo days later without injuries. The post, which has over 600,000 views, also baselessly claimed that the woman's blood was actually makeup or grape juice. I want a secure messaging app, should I use Telegram? Pavel Durov, Telegram's CEO, is known as "the Russian Mark Zuckerberg," for co-founding VKontakte, which is Russian for "in touch," a Facebook imitator that became the country's most popular social networking site. Groups are also not fully encrypted, end-to-end. This includes private groups. Private groups cannot be seen by other Telegram users, but Telegram itself can see the groups and all of the communications that you have in them. All of the same risks and warnings about channels can be applied to groups. Overall, extreme levels of fear in the market seems to have morphed into something more resembling concern. For example, the Cboe Volatility Index fell from its 2022 peak of 36, which it hit Monday, to around 30 on Friday, a sign of easing tensions. Meanwhile, while the price of WTI crude oil slipped from Sunday’s multiyear high $130 of barrel to $109 a pop. Markets have been expecting heavy restrictions on Russian oil, some of which the U.S. has already imposed, and that would reduce the global supply and bring about even more burdensome inflation.
from vn
