Квадрат на сетке.
Выкладываю решение задачи о квадрате на клетчатой бумаге. Интересно,что его площадь не является целым числом и равна 14,4 клеток.
На диагоналях этого квадрата лежат 4 узла сетки. Такой квадрат можно легко построить одной линейкой, а как это сделать, читайте на рисунке.
Выкладываю решение задачи о квадрате на клетчатой бумаге. Интересно,что его площадь не является целым числом и равна 14,4 клеток.
На диагоналях этого квадрата лежат 4 узла сетки. Такой квадрат можно легко построить одной линейкой, а как это сделать, читайте на рисунке.
Задача с тремя кругами.
Выкладываю решение задачи с тремя кругами, накрывающими треугольник. Равносторонний треугольник ими накрыть нельзя, но равнобедренный с углом 90 градусов можно. А вот точек треугольника, которые будут накрыты сразу тремя такими кругами, не существует. Я это доказываю с помощью красивого дополнительного построения. Но один мой ученик придумал доказательство, основанное на том, что минимальная сумма квадратов от точек плоскости до вершин треугольника достигается в центре его масс. Из этого легко получить, что центр масс треугольника не будет накрыт хотя бы одним из данных кругов.
Решение можно прочитать на рисунке.
Выкладываю решение задачи с тремя кругами, накрывающими треугольник. Равносторонний треугольник ими накрыть нельзя, но равнобедренный с углом 90 градусов можно. А вот точек треугольника, которые будут накрыты сразу тремя такими кругами, не существует. Я это доказываю с помощью красивого дополнительного построения. Но один мой ученик придумал доказательство, основанное на том, что минимальная сумма квадратов от точек плоскости до вершин треугольника достигается в центре его масс. Из этого легко получить, что центр масс треугольника не будет накрыт хотя бы одним из данных кругов.
Решение можно прочитать на рисунке.
задача ЕГЭ № 17.pdf
2.9 MB
Подготовка к ЕГЭ
Вчера я провел первый вебинар от ЦПМ по геометрическим задачам второй части профильного ЕГЭ. Сложно сказать, много ли было на нем слушателей, — их присутствие не отражается на мониторе. Не обошлось и без технических накладок, как же без этого?
Выкладываю здесь свою презентацию к этому занятию — она посвящена задачам второй части ЕГЭ на вписанные углы и обобщенную теорему синусов. Данная теорема является мощным инструментом для вычисления хорд и радиусов окружностей в планиметрии. Такие задачи на ЕГЭ встречаются довольно часто — я разбираю 5 задач прошлых лет на эту тему и в конце даю еще 4 задачи в качестве домашнего задания. Все они с хорошими ответами :)
Вчера я провел первый вебинар от ЦПМ по геометрическим задачам второй части профильного ЕГЭ. Сложно сказать, много ли было на нем слушателей, — их присутствие не отражается на мониторе. Не обошлось и без технических накладок, как же без этого?
Выкладываю здесь свою презентацию к этому занятию — она посвящена задачам второй части ЕГЭ на вписанные углы и обобщенную теорему синусов. Данная теорема является мощным инструментом для вычисления хорд и радиусов окружностей в планиметрии. Такие задачи на ЕГЭ встречаются довольно часто — я разбираю 5 задач прошлых лет на эту тему и в конце даю еще 4 задачи в качестве домашнего задания. Все они с хорошими ответами :)
Не в качестве рекламы :)
Не могу не сказать о том, что в эту среду 17 апреля на онлайн-лектории для учителей будет выступать Дмитрий Викторович Швецов. Во-первых, Дима — прекрасный лектор, во вторых — его доклад будет посвящен геометрии, а в третьих — моим задачам.
Регистрация по ссылке: https://forms.gle/W9GGTPgpe1BK4mTu6
Я придумываю задачи уже много лет просто потому, что это интересно, а часто и очень красиво. Первая была опубликована журналом Квант, когда я еще не закончил школу. Потом было много задач для разных олимпиад, а в последнее время я придумываю их для своих учебников. Уж не знаю, какие из них Дмитрий отобрал для своей лекции, но не сомневаюсь — подаст он их лучше меня.
А пару из последних своих так называемых шедевров я выложу в канале на этой неделе. Их школьники решали на олимпиадах им. Курчатова и Шарыгина, которые прошли в последние два воскресенья.
Не могу не сказать о том, что в эту среду 17 апреля на онлайн-лектории для учителей будет выступать Дмитрий Викторович Швецов. Во-первых, Дима — прекрасный лектор, во вторых — его доклад будет посвящен геометрии, а в третьих — моим задачам.
Регистрация по ссылке: https://forms.gle/W9GGTPgpe1BK4mTu6
Я придумываю задачи уже много лет просто потому, что это интересно, а часто и очень красиво. Первая была опубликована журналом Квант, когда я еще не закончил школу. Потом было много задач для разных олимпиад, а в последнее время я придумываю их для своих учебников. Уж не знаю, какие из них Дмитрий отобрал для своей лекции, но не сомневаюсь — подаст он их лучше меня.
А пару из последних своих так называемых шедевров я выложу в канале на этой неделе. Их школьники решали на олимпиадах им. Курчатова и Шарыгина, которые прошли в последние два воскресенья.
Найти угол. Решение.
Выкладываю свое решение задачи с олимпиады Курчатова. В комментариях ко вчерашнему посту прислали несколько хороших и разных ее решений, одно из которых совпадает с этим.
Я считаю, что олимпийская задача вполне может быть с ответом — это сильно упрощает проверку. По той же причине многие школьные задачи (особенно на контрольных работах) дают на поиск ответа — так проще и функциональнее.
Проверка задач на доказательство утверждений требует от учителя времени, которого в большом классе на уроке всегда не хватает. К тому же часто бывает еще нужно убедить ученика в том, что доказательства у него нет, а получение неверного ответа убеждает сразу.
Выкладываю свое решение задачи с олимпиады Курчатова. В комментариях ко вчерашнему посту прислали несколько хороших и разных ее решений, одно из которых совпадает с этим.
Я считаю, что олимпийская задача вполне может быть с ответом — это сильно упрощает проверку. По той же причине многие школьные задачи (особенно на контрольных работах) дают на поиск ответа — так проще и функциональнее.
Проверка задач на доказательство утверждений требует от учителя времени, которого в большом классе на уроке всегда не хватает. К тому же часто бывает еще нужно убедить ученика в том, что доказательства у него нет, а получение неверного ответа убеждает сразу.
Сфера в пирамиде.
Предлагаю вашему вниманию мою новую задачу по стереометрии. Ее решали одинадцатиклассники на прошедшей олимпиаде им. Курчатова.
Много ли было из них решивших, сказать пока трудно, — задача эта сложная. Зато она имеет красивую идею и ответ. А кроме того, интересна ее связь с коническими сечениями. Но для решения самой задачи понимать это не обязательно :)
В комментарии, как обычно, пишите свои ответы.
Предлагаю вашему вниманию мою новую задачу по стереометрии. Ее решали одинадцатиклассники на прошедшей олимпиаде им. Курчатова.
Много ли было из них решивших, сказать пока трудно, — задача эта сложная. Зато она имеет красивую идею и ответ. А кроме того, интересна ее связь с коническими сечениями. Но для решения самой задачи понимать это не обязательно :)
В комментарии, как обычно, пишите свои ответы.
ЕГЭ Задача 17 II .pdf
2.8 MB
Подготовка к ЕГЭ
Выкладываю свою вторую презентацию к вебинару подготовки к профильному ЕГЭ по геометрии.
Она также посвящена задаче 17 второй части этого экзамена. На ней я разбираю решения задач прошлых лет, а в начале даю несколько упражнений на произведения отрезков хорд и секущих в окружности. В конце можно найти 4 задачи для самостоятельного решения.
Выкладываю свою вторую презентацию к вебинару подготовки к профильному ЕГЭ по геометрии.
Она также посвящена задаче 17 второй части этого экзамена. На ней я разбираю решения задач прошлых лет, а в начале даю несколько упражнений на произведения отрезков хорд и секущих в окружности. В конце можно найти 4 задачи для самостоятельного решения.
Сфера в пирамиде
Выкладываю элементарное решение задачи по стереометрии с прошедшей олимпиады им. Курчатова. Оно опирается лишь на равенство отрезков касательных, проведенных к шару из точки, и на равенство треугольников.
Тем же способом можно доказать, что у пирамиды, описанной около шара, в основании которой лежит параллелограмм, всегда равны суммы площадей противоположных боковых граней. Такая задача предлагалась на олимпиаде Шарыгина в 2009 году, но опубликованное там решение более громоздко и не так красиво.
В следующем посте я расскажу о связи этой задачи с коническим сечением.
Выкладываю элементарное решение задачи по стереометрии с прошедшей олимпиады им. Курчатова. Оно опирается лишь на равенство отрезков касательных, проведенных к шару из точки, и на равенство треугольников.
Тем же способом можно доказать, что у пирамиды, описанной около шара, в основании которой лежит параллелограмм, всегда равны суммы площадей противоположных боковых граней. Такая задача предлагалась на олимпиаде Шарыгина в 2009 году, но опубликованное там решение более громоздко и не так красиво.
В следующем посте я расскажу о связи этой задачи с коническим сечением.
На прошлой неделе число подписчиков нашего канала перевалило за 5000. Это гораздо больше числа всех звезд, которые может без телескопа разглядеть один человек.
Отметить этот рубеж я решил своим давним стихотворением. Канал наш посвящен геометрии, потому и стихотворение будет о ней - науке древних мудрецов и звездочетов, ночном саде и небе над головой.
Отметить этот рубеж я решил своим давним стихотворением. Канал наш посвящен геометрии, потому и стихотворение будет о ней - науке древних мудрецов и звездочетов, ночном саде и небе над головой.
ЕГЭ Задача 14 II .pdf
2.1 MB
ЕГЭ – задача 14
Выкладываю следующую презентацию к вебинару по подготовке к профильному ЕГЭ. Она посвящена задачам 14 по стереометрии второй части прошлых лет на параллельные и перпендикулярные сечения в кубе, пирамиде и призме, нахождение расстояний от точки до плоскости и расстояний между скрещивающимися прямыми.
Выкладываю следующую презентацию к вебинару по подготовке к профильному ЕГЭ. Она посвящена задачам 14 по стереометрии второй части прошлых лет на параллельные и перпендикулярные сечения в кубе, пирамиде и призме, нахождение расстояний от точки до плоскости и расстояний между скрещивающимися прямыми.
ЕГЭ Задача 17 IV.pdf
1.5 MB
ЕГЭ - задача 17.
Выкладываю еще одну презентацию по подготовке к профильному ЕГЭ. Она посвящена планиметрическим задачам на разные методы: подобие, вписанные углы и площади.
Выкладываю еще одну презентацию по подготовке к профильному ЕГЭ. Она посвящена планиметрическим задачам на разные методы: подобие, вписанные углы и площади.
Шар в пирамиде
На Олимпиаде им. Курчатова в 11 классе была предложена моя задача про шар, вписанный в четырехугольную пирамиду. Её решение элементарно и основано лишь на равенстве касательных к шару из точки, равных треугольниках и теореме Пифагора.
Однако существует красивая связь подобных задач с эллипсами, которые вписаны в основания таких пирамид. Это позволяет получать как интересные утверждения про пирамиды, в которые можно вписать сферу, так и про свойства эллипсов, вписанных в их основания. Например, оказывается, что основание шестиугольной пирамиды (а тем более, пирамид с большим числом граней) не может быть произвольным шестиугольником.
Как это объяснить, вы можете прочесть на рисунке.
На Олимпиаде им. Курчатова в 11 классе была предложена моя задача про шар, вписанный в четырехугольную пирамиду. Её решение элементарно и основано лишь на равенстве касательных к шару из точки, равных треугольниках и теореме Пифагора.
Однако существует красивая связь подобных задач с эллипсами, которые вписаны в основания таких пирамид. Это позволяет получать как интересные утверждения про пирамиды, в которые можно вписать сферу, так и про свойства эллипсов, вписанных в их основания. Например, оказывается, что основание шестиугольной пирамиды (а тем более, пирамид с большим числом граней) не может быть произвольным шестиугольником.
Как это объяснить, вы можете прочесть на рисунке.
Контрольная на окружности.pdf
861.4 KB
Выкладываю свою контрольную работу на окружности для 7 класса. Она рассчитана на 1-2 урока в зависимости от уровня учеников.
Три центра
Как известно, высота разбивает прямоугольный треугольник на подобные ему меньшие треугольники. С этим фактом связано одно из доказательств теоремы Пифагора, а также множество интересных задач. Одну из них я недавно придумал для своего 9 класса и теперь предлагаю вашему вниманию. Потом оказалось, что доказать данный факт можно даже без подобия, теорем Пифагора и синусов:)
Как известно, высота разбивает прямоугольный треугольник на подобные ему меньшие треугольники. С этим фактом связано одно из доказательств теоремы Пифагора, а также множество интересных задач. Одну из них я недавно придумал для своего 9 класса и теперь предлагаю вашему вниманию. Потом оказалось, что доказать данный факт можно даже без подобия, теорем Пифагора и синусов:)
ЕГЭ Задача 17 III .pdf
2.4 MB
Номер три.
В одном из американских университетов на 1 апреля студенты придумали отличную шутку: они пустили бегать по кампусу трех свиней с номерами 1, 2 и 4 на спинах. Администрация распорядилась свиней поймать, что и было сделано. Однако никак не удавалось изловить свинью с номером 3: ее искали целый день, но так и не поймали. Что совсем не удивительно, ведь ее просто не было.
Как это связано с нашим каналом? На прошлой неделе я выложил свои презентации 1, 2 и 4 по подготовке к задачам 17 профильного ЕГЭ, поэтому у одного из читателей возник естественный вопрос: куда пропала аналогичная презентация с номером 3? Ведь ЕГЭ 2024 не за горами. В отличие от замечательной первоапрельской свиньи, я нашел эту презентацию и выкладываю её сейчас. Ведь сегодня уже не первое апреля.
В одном из американских университетов на 1 апреля студенты придумали отличную шутку: они пустили бегать по кампусу трех свиней с номерами 1, 2 и 4 на спинах. Администрация распорядилась свиней поймать, что и было сделано. Однако никак не удавалось изловить свинью с номером 3: ее искали целый день, но так и не поймали. Что совсем не удивительно, ведь ее просто не было.
Как это связано с нашим каналом? На прошлой неделе я выложил свои презентации 1, 2 и 4 по подготовке к задачам 17 профильного ЕГЭ, поэтому у одного из читателей возник естественный вопрос: куда пропала аналогичная презентация с номером 3? Ведь ЕГЭ 2024 не за горами. В отличие от замечательной первоапрельской свиньи, я нашел эту презентацию и выкладываю её сейчас. Ведь сегодня уже не первое апреля.
Контрольная на касательные.pdf
947.1 KB
Контрольная на касательные.
Выкладываю свою контрольную работу на касательные для 7 класса. Она рассчитана на 1-2 урока в зависимости от уровня класса.
По программе математической вертикали окружности и касательные к ним первый раз проходятся в 7 классе, а второй раз через год – во второй половине 8 класса. Это дает некоторую свободу выбора для учителя и, как нам кажется, способствует лучшему усвоению материала учениками.
Выкладываю свою контрольную работу на касательные для 7 класса. Она рассчитана на 1-2 урока в зависимости от уровня класса.
По программе математической вертикали окружности и касательные к ним первый раз проходятся в 7 классе, а второй раз через год – во второй половине 8 класса. Это дает некоторую свободу выбора для учителя и, как нам кажется, способствует лучшему усвоению материала учениками.
Два ромба
Вот моя новая задача по планиметрии, которая при всей простоте формулировки совсем не так проста. Более того, она является красивым частным случаем гораздо более общего утверждения, из которого следует.
Само это утверждение и метод его получения я пока не публикую, поэтому пишите свои решения в комментариях. Мне интересно, насколько легко можно доказать данный факт.
Вот моя новая задача по планиметрии, которая при всей простоте формулировки совсем не так проста. Более того, она является красивым частным случаем гораздо более общего утверждения, из которого следует.
Само это утверждение и метод его получения я пока не публикую, поэтому пишите свои решения в комментариях. Мне интересно, насколько легко можно доказать данный факт.
Открытый урок
В прошлую пятницу я провел открытый урок в православной Свято-Петровской гимназии на Китай-городе. Ребята там занимаются по моим учебникам — и со слов их замечательного учителя Юлии Васильевной Ерохиной, делают это с большим удовольствием.
Урок был с восьмиклассниками, поэтому мы разбирали задачи с окружностями и касательными. Первую из них я лет 10 назад предложил для Московской олимпиады — надо отметить, что многие ребята быстро с ней справились. Другие задачи похожи на первую тем, что в них тоже нужно заметить равные треугольники, и тогда решение выходит простым и красивым. Ребята одну из этих задач получили на дом. Кроме этого, на уроке мы разобрали японскую формулу об отрезке общей касательной и её изящные применения.
Несколько учеников попросили у меня автограф — прямо на обложки своих тетрадок в клеточку ))
На урок пришли учителя из других православных гимназий, потом у нас с ними получился интересный и содержательный разговор о современном образовании.
В прошлую пятницу я провел открытый урок в православной Свято-Петровской гимназии на Китай-городе. Ребята там занимаются по моим учебникам — и со слов их замечательного учителя Юлии Васильевной Ерохиной, делают это с большим удовольствием.
Урок был с восьмиклассниками, поэтому мы разбирали задачи с окружностями и касательными. Первую из них я лет 10 назад предложил для Московской олимпиады — надо отметить, что многие ребята быстро с ней справились. Другие задачи похожи на первую тем, что в них тоже нужно заметить равные треугольники, и тогда решение выходит простым и красивым. Ребята одну из этих задач получили на дом. Кроме этого, на уроке мы разобрали японскую формулу об отрезке общей касательной и её изящные применения.
Несколько учеников попросили у меня автограф — прямо на обложки своих тетрадок в клеточку ))
На урок пришли учителя из других православных гимназий, потом у нас с ними получился интересный и содержательный разговор о современном образовании.
ЕГЭ ++
На прошлой неделе в России прошел единый экзамен по математике. Судя по отзывам, задачи по геометрии на нем стали проще, чем в прошлые годы. И, наверное, это правильно, так как раньше полностью их решало не больше 1% всех участников экзамена. Результаты этого года еще не получены — их детальный разбор впереди.
А пока я предлагаю вам задачу в таком же формате, но значительно сложнее. Ее частным случаем является задача с двумя ромбами, которую я выложил две недели назад. Даже она, если судить по предложенным решениям, оказалась совсем не простой.
Пишите свои ответы и решения в комментариях.
На прошлой неделе в России прошел единый экзамен по математике. Судя по отзывам, задачи по геометрии на нем стали проще, чем в прошлые годы. И, наверное, это правильно, так как раньше полностью их решало не больше 1% всех участников экзамена. Результаты этого года еще не получены — их детальный разбор впереди.
А пока я предлагаю вам задачу в таком же формате, но значительно сложнее. Ее частным случаем является задача с двумя ромбами, которую я выложил две недели назад. Даже она, если судить по предложенным решениям, оказалась совсем не простой.
Пишите свои ответы и решения в комментариях.