Геометрия помогает алгебре

Принято считать, что алгебра «решает» геометрию, то есть любую не очень сложную геометрическую задачу можно посчитать с помощью координат или векторов. До некоторой степени это верно, и главная проблема здесь — количество времени, необходимое на такие расчеты. Вообще, проблема времени еще не до конца оценена современной математикой. Если доказательство утверждения занимает больше тысячи страниц, то есть реальный шанс не успеть дочитать его до конца жизни, тем более отыскать в нем ошибку.

Интересно, что существуют алгебраические задачи, которые гораздо проще решить с помощью геометрии. В таких случаях уже геометрия протягивает алгебре руку помощи. В нашем учебнике 9 класса есть такие задачи — им даже посвящен небольшой раздел.
Вашему вниманию я предлагаю две задачи такого типа. Попробуйте их решить без громоздких вычислений.
Свои ответы пишите в комментариях.

Три перпендикуляра

Выкладываю свой рабочий листок по теме Теорема о трех перпендикулярах.
В данной подборке есть задачи на нахождение длины перпендикуляра из точки на прямую в пространстве, а так же задачи на перпендикулярность скрещивающихся прямых в кубе или пирамиде. В обоих случаях теорема оказывается очень полезной.

Также теорема о трех перпендикулярах очень помогает при построении сечений, перпендикулярных прямым в некоторых многогранниках: кубе, правильной пирамиде и призме. Но этим задачам посвящена отдельная подборка.

На три равные части

Вот две мои задачи об отрезках в треугольнике, которые делятся вписанной в него окружностью на три равные части. Первая из них довольно легкая, вторая сложнее. Интересно, что форма треугольника однозначно определяется в каждом случае.

Эти задачи в целом на расчеты: теорему Пифагора, квадрат касательной, тригонометрию. Поэтому они больше подходят для программы 9 класса или старших классов школы. Но ведь уметь считать — важное умение для любого математика, физика или инженера.
Ответ достаточно получить с точностью до градуса, но скажу сразу: синус половины одного из нужных углов обрадует тех, кто заканчивал со мной одну школу :)

Геометрия помогает алгебре. Решения.

Выкладываю решение двух задач, с которыми гораздо легче справиться, если использовать геометрическую интерпретацию, теорему косинусов и дополнительные построения.
В комментариях можно выкладывать свои задачи с такими же геометрическими идеями и ответы к ним. Конечно, желательно использовать идеи, которые не повторяют разобранные в этом посте :)

Про медицину

По Москве гуляет бактерия менингокока. Мой дядя самых честных правил, когда не в шутку занемог менингитом 70 лет назад, учился заново ходить 3 месяца. Сейчас антибиотики лучше, но все равно бактерия очень опасна.

Сначала я решил, что подхватил грипп, но потом началось страшное: были судороги, я потерял сознание и едва дождался скорой. Хорошо, что врачи сразу определили менингит! Меня отнесли вниз дворники в состоянии овоща, и я полетел с мигалками в инфекционную больницу на Соколиной горе.
Только через 5 дней я обнаружил над собой потолок реанимации и услышал красивую музыку...
Заново родился... Восстановление займет несколько месяцев, так как я получил еще и двустороннее воспаление легких.

Первые симтомы заразы – высокая температура, сыпь на теле, ломота в суставах и мышцах. Что делать? Сразу просить у врачей антибиотики (курс Амоксиклава или разово Циплофлуксицин). И родным, кто близко контактировал, - тоже. Можно заранее сделать вакцину. Не нужно никому болеть этой гадостью!
Всем здоровья!

Спасибо еще раз всем! Обязательно следите за собой. Это заболевание часто начинается с обычных густых соплей и боли в горле, либо с растройства и отравления, либо с боли в суставах и голове. Довольно скоро температура поднимается до 40 градусов, и дальше через пару дней менингокок попадает в легкие и в мозг. Дальше уже счет идет на минуты...

Квантландия
Среди читателей нашего канала есть замечательный человек – Михаил Евдокимов, один из авторов журнала Квантик, составитель олимпиадных задач, автор книг "Сто граней математики" и "От задачек к задачам".

Недавно команда авторов журнала Квантик сделала бесплатные онлайн-турниры Квантландия с интерактивными задачами и головоломками, смесь олимпиады и компьютерной игры. В прошлом году в нем принимали участие не только школьники, но и взрослые.
Турнир идет до конца марта, и участие в нем бесплатное.

На три равные части. Решение

Выкладываю решение задачи об отрезках в треугольнике, которые делятся вписанной окружностью на три равные части. Первый пункт этой задачи довольно несложен, второй требует некоторой изобретательности. В обоих случаях интересно, что форма треугольника определяется однозначно данным условием. Задачи подходят для учеников 9 класса, для подготовки к единому экзамену в конце 11 класса, а также для всех любителей геометрии.

Равнобедренные треугольники в квадрате

Предлагаю две свои задачи на нахождение площадей равнобедренных треугольников в «домиках», образованных единичным квадратом с «крышей» в виде правильного треугольника.
Первая из них может быть решена без особых вычислений методами
8 класса. Для неё даже не нужна теорема Пифагора.
Вторая конфигурация, скорее всего, потребует некоторых выкладок.

Скажу сразу, что ответы в задачах хорошие, а один из них даже рациональный. Как обычно, пишите их в комментариях.

Верно или нет? Ответы

Выкладываем ответы на пять поставленных вопросов викторины. Только один из них требует ответа НЕТ: правильный треугольник нельзя накрыть двумя меньшими его копиями. Кстати, такой же ответ будет для кругов или квадратов.
Тетраэдр, все грани которого прямоугольные треугольники, существует — в этом поможет убедиться теорема о трех перпендикулярах.
Как из квадрата вырезать 5 равных квадратов наибольшей площади вы можете видеть на рисунке, они в сумме составляют больше 68% его площади.
На вопрос о четырехугольнике с прямыми углами в пространстве верно ответили только 40% . Решение его короткое и красивое и давно стало классикой.
Разрезание на 4 части выпуклого четырехугольника прямо связано с паркетом из четырехугольников — плитками такой формы можно замостить всю плоскость.

Тень от ведра

На последнем турнире городов была предложена задача про тень от ведра. В ней ведро ставили на пол, а потом переворачивали верх дном. Нужно было доказать, что тень от него при этом всегда уменьшается. Очевидно, решение этой задачи предполагалось на качественном уровне безо всяких формул.
Тем не менее можно получить точные формулы как для задачи с этого турнира, так и для более интересной задачи о наибольшей площади тени от ведра, которое подняли над полом. Однозначный ответ можно получить в случае, когда солнечные лучи падают на пол отвесно.
Предлагаю вам решить эту задачу сначала в конкретных числах, а потом и в общем случае. Решение можно прочесть в комментариях.
Присылайте свои ответы в частях квадратного метра.

Площадь равнобедренного треугольника в квадрате с «крышей». Решение.

Выкладываю решение первой задачи о вычислении площади равнобедренного треугольника в квадрате с крышей. Оно представляет интерес, так как может быть проведено без особых вычислений методами 8 класса.
Добавлю, что примерно такое же решение предложил читатель нашего канала Владислав.
А решение для второго треугольника вы можете прочитать в комментарии Игоря к этому посту.

Формат ЕГЭ +

До единого экзамена остается 2 месяца, и поэтому мы снова открываем рубрику подготовки к профильному ЕГЭ по геометрии.
Эту задачу предложили ученикам 11 класса на олимпиаде Курчатова в прошлое воскресенье, и она как раз соответствует формату задач второй части ЕГЭ на «доказательство + вычисление».
К сожалению, в данном на олимпиаде варианте задача была без рисунка и с некорректными длинами отрезков, поэтому я предлагаю решить второй пункт этой задачи с отрезками 1 и 4.
Как обычно, свои ответы пишите в комментариях.

01 04

Так уж сложилось, что свой первый урок в школе много лет назад я провел 1 апреля. Мне достался 8 класс, из которого учительница математики ушла в декрет накануне. Со звонком я зашел в кабинет и попросил ребят достать двойные листочки для проверочной работы. Как будто хотел проверить уровень их знаний. На доске я стал писать условия задач — одна другой сложнее. Мне было слышно, как по рядам прошел ропот, однако ученики все равно стали пытаться что-то решить. И я им не мешал минут 15. Только потом поздравил класс с 1 апреля и разрешил оставить работы себе на память.

Отношения с этим классом сложились отличные, и тот урок они помнят до сих пор. В начале сентября прошлого года мы с ними опять встречались. Кстати, все задачки проверочной работы на том уроке мы разобрали :)

А как вы отмечали этот день в школе? Пишите, какие шутки вы помните из своей практики!

Треугольник с углами 40, 60 и 80 градусов.

Пожалуй самую красивую задачу, которую я придумал за последний год, вчера решали семиклассники на Московской устной олимпиаде. Само собой, что она была им по возрасту, то есть должна была иметь решение без счета и тригонометрии. Предлагаю вам над ней тоже подумать. Обещаю: получите большое удовольствие!

ЕГЭ+ Решение

По просьбам читателей выкладываю решение аналога задачи с Олимпиады Курчатова (с корректными числами).
Хотя в комментариях к условию этой задачи похожие решения уже были, но нам часто пишут, что многие читатели комменты читать не успевают, либо в них не все понятно без рисунков.
Идея решения пункта Б) — это обобщенная теорема синусов. Интересно, что у этой задачи есть два ответа — и оба реализуются.

Интервью

Этот пост не о геометрии и даже не о математике :)
Дело в том, что завтра на радио Калина Красная в прямом эфире у меня будут брать интервью. Там наверняка будет разговор о стихах и музыке, немного о математике и кто знает о чём ещё. Во время этого разговора поставят записи нескольких моих песен — их тоже можно будет послушать.
Заходите, кому интересно!
P.S. В первом комменте фото из студии и фрагмент эфира

Серединные перпендикуляры

Эту мою задачку решали ученики 9 класса на олимпиаде Курчатова в марте. Не исключаю, что у нее можно найти решение на материале восьмого или даже седьмого класса. Попробуйте это сделать:)

ЕГЭ

Продолжаем рубрику подготовки ко второй части ЕГЭ по геометрии. На этот раз задача будет без плюса: она вполне соответствует задачам второй части этого экзамена как по формату, так и по своей сложности.
Как обычно, ответы пишите в комментариях.